Методом дифракции от одной щели

 

Цель работы: Ознакомление с дифракцией световых волн от щели и методом измерения длины световой волны.

Приборы и принадлежности: Осветитель, коллиматор, два светофильтра, металлическая пластинка с щелью известной ширины, измерительная лупа, оптическая скамья.

 

ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ВВЕДЕНИЕ

 

Дифракцией называют совокупность явлений, наблюдаемых при распространении волн в среде с резкими неоднородностями и связанных с отклонением от законов геометрической оптики. В данной работе такой неоднородностью является щель, длина которой во много раз больше ее ширины.

Дифракция плоских световых волн или дифракция в параллельных лучах была впервые рассмотрена И.Фраунгофером. Расчет интенсивности дифракционной картины осуществляют с использованием принципа Гюйгенса-Френеля: бесконечно малые элементы волновой поверхности представляют источниками вторичных сферических когерентных волн, амплитуды которых пропорциональны площади элемента; амплитуда колебаний в любой точке пространства за волновой поверхностью определяется суперпозицией таких вторичных волн.

Рассмотрим щель шириной а, перпендикулярно плоскости которой падает пучок параллельных монохроматических лучей с длиной волны l (рис.44.1). В соответствии с принципом Гюйгенса - Френеля каждая из освещенных точек волновой поверхности АВ становится источником колебаний (вторичных элементарных когерентных волн), распространяющихся в пространстве за щелью во всех направлениях. Линза Л собирает параллельные пучки, распространяющиеся под углом j к

Рисунок 44.1

направлению первичного пучка света, в соответствующей точке Р₁ экрана Э, расположенного в ее фокальной плоскости.

Задача заключается в нахождении распределения интенсивности света по экрану в зависимости от угла дифракции j. Разобьем открытую часть волновой поверхности (ширину щели) на элементарные зоны шириной dx, параллельные краям щели.

Вторичные волны для данного угла j соберутся в точке Р₁. Для не слишком больших углов амплитуда колебаний dA, возбужденных зоной в точке экрана будет зависеть лишь от площади зоны, пропорциональной ширине dx, т.е. dA = Cdx, где C - константа. Если А ₀ - суммарная амплитуда колебаний в некоторой точке экрана, то

, откуда C = A ₀ / a.

Окончательно для амплитуды получаем

.

Сопоставим фазы колебаний, возбуждаемых в точке Р₁ элементарными зонами с координатами 0 и х. Если фаза колебаний при х= 0 равна w t, то фаза колебаний, возбуждаемых элементарной зоной в точке с координатой х, будет равна

,

где l - длина волны, D = х sinj - разность хода лучей.

Колебания, возбужденные элементарной зоной в точке Р₁, можно представить в виде

.

Результирующее колебание, возбужденное всей волновой поверхностью в точке Р₁, найдем интегрированием

                                   .                         (44.1)

Введем новую переменную , откуда, дифференцируя dy / dx, находим

Новые пределы интегрирования будут y ₁ = w t и . Для новой переменной уравнение (44.1) примет вид

.

После интегрирования получаем

.           (44.2)

Воспользовавшись тригонометрической формулой для преобразования разности косинусов двух углов в произведение, находим из (44.2) окончательно

.        (44.3)

Выражение, стоящее в квадратных скобках, дает амплитуду результирующего колебания в точке Р₁

.                          (44.4)

Видно, что амплитуда определяется только углом j (при неизменных А ₀, а иl).

   Интенсивность света I в разных точках экрана пропорциональна квадратам амплитуды А:

                                ,                                     (44.5)

где =  - интенсивность центрального максимума, соответствующего j = 0. 

Значения углов , соответствующих максимумам интенсивности, определяются условием:

                               ,                               (44.6)

следовательно   

, , ,  и т.д.

Минимумы интенсивности света будут наблюдаться в точках, для которых А= 0, т.е. , или

. (m = ±1, ±2, ±3...)                    (44.7)

На экране освещенность меняется, принимая максимальные и минимальные значения (чередование светлых и темных полос). Основная часть световой энергии сосредоточена в центральном или нулевом максимуме. Освещенность следующих максимумов, расположенных симметрично относительно нулевого, быстро убывает. Так примерно 5% энергии приходится на первые, 2% - на вторые максимумы. Число светлых полос, которое удается наблюдать с каждой стороны от нулевой полосы, обычно невелико.

Как показывают расчеты, количественным критерием, позволяющим определить характер дифракции, служит безразмерный параметр

b =а²/(l l),

где l - расстояние от щели до экрана. Если этот параметр много меньше единицы, наблюдается дифракция Фраунгофера, если он порядка единицы - дифракция Френеля, если этот параметр много больше единицы, то оказывается применимым приближение геометрической оптики. Таким образом, критерием применимости геометрической оптики является не малость длины волны по сравнению с шириной щели (или размером преграды), а значение параметра b.

 

ОПИСАНИЕ УСТАНОВКИ И МЕТОДА ИЗМЕРЕНИЙ

 

Все приборы измерительной установки собраны на оптической скамье.

Коллиматор К служит для получения пучка параллельных лучей, для чего на закрытом конце трубы (правом, на рис.44.2) имеется щель, помещенная

в главной фокальной плоскости объектива L ₁. Перед щелью коллиматора располагается лампа, накал которой можно регулировать с помощью реостата R.

Рисунок 44.2

 

Пучок выходящих из коллиматора К лучей проходит через светофильтр F и падает на металлическую пластинку А с узкой вертикальной щелью.

На пути дифрагировавших на щели лучей находится измерительная лупа В, состоящая из небольшой трубки с короткофокусной линзой L ₂, перед которой находится нанесенная на стекле шкала N с делениями. Перемещением линзы (окуляра) L ₂ в оправе трубки можно добиться отчетливого видения делений этой шкалы (сфокусировать лупу на изображение шкалы N). Поместив глаз перед лупой, наблюдатель будет видеть дифракционную картину, совмещенную с делениями шкалы. Параллельные лучи света, идущие от щели, сходятся в одну точку на сетчатке глаза и интерферируют друг с другом.

Расстояние l от плоскости щели А до шкалы N измеряют с помощью линейки оптической скамьи.

Рисунок 44.3

Для определения величины угла дифракции j (рис.44.3) находят расстояние d от середины центральной светлой полосы до середины m -ой темной полосы, для чего измеряют в делениях шкалы N расстояние между двумя симметрично расположенными темными дифракционными полосами одного порядка (одного значения m). Тогда

,                                      (44.8)

где к =1,0 мм - цена большого деления шкалы N.

Так как углы дифракции малы, то

tg .                                     (44.9)

Тогда  из равенств (44.5) и (44.9) следует:

.                                        (44.10)

Определив на опыте величины a, d, m и l, вычисляют длину световой волны l.

ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ

 

1. Ставят перед коллиматором красный светофильтр.

2. Штатив с щелью А помещают на расстоянии 10-15 см от коллиматора, совместив ее указатель с некоторым делением линейки на оптической скамье.

3. Штатив с измерительной лупой В устанавливают на расстоянии l (не менее 20-30 см). Записывают это расстояние в таблицу.

4. Включают установку в сеть и, наблюдая сквозь лупу деления шкалы, небольшими поворотами кольца линзы L ₂ добиваются резкого изображения делений, а затем вращением винта под кольцом с пластиной А ориентируют щель вертикально, т.е. параллельно щели коллиматора. При этом дифракционная картина видна наиболее резко. Выбрав две темные полоски, принадлежащие дифракционному минимуму m (например, четвертому) определяют в делениях шкалы N (с точностью до половины малого деления) n ₁ и n ₂ - положение середин этих полосок (рис.44.4). Данные заносят в таблицу, повторяя измерения три раза.

5. Аналогичные измерения производят с симметрично расположенными темными полосками другого порядка m (например, третьего и второго и первого).

7. Производят опыт при другом значении расстояния l от щели до шкалы N. Для этой цели измерительную лупу передвигают по оптической скамье (в этом случае можно ограничиться двумя измерениями n ₁ и n ₂).

8. Заменяют светофильтр и повторяют опыт (см. пп.2-7).

 

ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ

 

1. Для каждого измерения по формуле (44.8) вычисляют d; для темных полосок одного порядка находят < d >.

2. По значениям < d > для темных полосок одного порядка вычисляют длину волны l в соответствии с формулой (44.10). Ширина щели a указана на установке.

3. По значениям длины волны l при работе с первым светофильтром находят среднее значение <l>.

4. Аналогично находят <l> из опытов со вторым светофильтром.

5. Результаты всех наблюдений и расчетов сводят в таблицу.

6. При заданной надежности a обрабатывают экспериментальные данные как для прямых многократных измерений.

7. Окончательный результат записывают в виде

мкм.

 

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ И ЗАДАНИЯ

1. Найти радиус пятой зоны Френеля для плоского волнового фронта (длина волны l), если построение делается для точки наблюдения, находящейся на расстоянии L от фронта волны.

2. На щель шириной а нормально падает пучок монохроматического света с длиной волны l. Под каким углом к первоначальному направлению наблюдается максимум первого порядка?

3. Посередине между точечным источником монохроматического света с длиной волны l и экраном находится диафрагма с круглым отверстием. Дифракционная картина наблюдается на экране, расположенном на расстоянии l от источника. Определите радиус отверстия, при котором центр дифракционных колец, наблюдаемых на экране, будет наиболее темным.

4. Лучи какого цвета отклоняются на больший дифракционный угол в спектре третьего порядка, если щель освещается белым светом?

5. На диафрагму с круглым отверстием d падает нормально параллельно пучок лучей монохроматического света с длиной волны l. Точка наблюдения находится на оси отверстия на расстоянии l от него. Темное или светлое пятно получится в центре дифракционной картины, если в месте наблюдения поместить экран?

6. На щель шириной а нормально падает пучок монохроматического света с длиной волны l. Сколько главных максимумов наблюдается до угла отклонения φ от первоначального направления?

 

 

Лабораторная работа № 45

 

 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ДЛИНЫ СВЕТОВОЙ ВОЛНЫ ПРИ ПОМОЩИ

ДИФРАКЦИОННОЙ РЕШЕТКИ

Цель работы: Определение длины световой волны при помощи дифракционной решетки.

Приборы и принадлежности: Гониометр, дифракционная решетка, источник монохроматического света, измерительная лупа.

 

ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ВВЕДЕНИЕ

Длина световых волн в данной работе определяется по результатам наблюдений явления дифракции.

Дифракционной решеткой называется система параллельных щелей равной ширины, разделенных одинаковыми непрозрачными промежутками. Она представляет собой стеклянную пластинку, на которой с помощью делительной машины нанесены параллельные друг другу штрихи и оставлены узкие неповрежденные полоски. Применяемые в учебных лабораториях решетки являются отпечатками таких гравированных решеток (реплики); они изготовляются из специальной пластмассы.

Сумму ширины прозрачного промежутка (щели) а и ширины непрозрачного промежутка (штриха) b принято называть постоянной (или периодом) решетки d (рис.45.1) d = a + b.

Постоянная решетки может быть задана числом линий, приходящихся на единицу длины, например, на 1 мм d = 1 / N.

Если дифракционная решетка освещается монохроматическим светом, имеющим плоский фронт волны и падающим перпендикулярно ее плоскости, то по другую сторону от решетки свет будет распространяться по всем направлениям. Световые пучки, распространяющиеся под углом j, собираются линзой Л в соответствующей точке экрана Э, расположенного в ее фокальной плоскости (рис.45.1), где и происходит их интерференция. Как и в случае фраунгоферовой дифракции от одной щели (лабораторная работа 44), распределение интенсивности на экране для дифракционной решетки зависит от угла дифракции j. Решетка есть система щелей, поэтому картины, создаваемые на экране каждой щелью в отдельности будут

Рисунок 45.1            совершенно одинаковыми. Результирующую картину можно определить путем сложения этих картин с учетом взаимной интерференции волн, идущих от всех щелей.

Очевидно, в тех направлениях, по которым ни одна из щелей не посылает свет, будут наблюдаться минимумы. Эти минимумы называют главными, их положение определяется условием минимума для дифракции на одной щели

,                                     (45.1)

где m = 1,2,3...

В направлениях, определяемых условием

,                              (45.2)

где р =1,2,3... N -1, вследствие взаимной интерференции световых лучей, посылаемых каждой щелью, возникают минимумы. Их называют добавочными. В случае N щелей число добавочных минимумов, наблюдаемых между соседними главными максимумами, будет N -1.

Действие одной щели усиливается другими, если лучи от соответствующих точек двух соседних щелей приходят в одинаковой фазе. В этом случае на оптической разности хода D дифрагировавших лучей укладывается четное число полуволн l/2

,                                       (45.3)

где m = 0, ±1, ±2... Эти максимумы называют главными. В результате, на экране наблюдаются центральная наиболее яркая полоса (m = 0, центральный 

Рисунок 45.2

максимум нулевого порядка) и ряд постепенно убывающих по яркости параллельных линий, расположенных симметрично относительно центральной (максимумы следующих порядков m = 1,2,3...). Из-за конечной ширины спектрального интервала излучения обычно отчетливо наблюдаются линии не выше третьего порядка (рис.45.2).

 Из формулы (45.3) следует

                                        (45.4)

Зная период d и угол j между направлением светового пучка, дающего светлую линию m -го порядка и направлением неотклоненного луча, дающего максимум нулевого порядка, можно определить длину волны наблюдаемого света.

 

ОПИСАНИЕ ПРИБОРОВ И МЕТОДА ИЗМЕРЕНИЙ

Задача определения длины волны l с помощью решетки с известной постоянной d сводится к измерению углов j, с помощью гониометра (рис.45.3) и вычислений по формуле (45.4).

Гониометр состоит из металлической стойки 1, вращающейся части 2 с лимбом 3, коллиматора 4, укрепленного на неподвижном кронштейне, и зрительной трубы 5, кронштейн которой прикреплен к вращающейся части прибора.

Конус основания, на который насажена вращающаяся часть, имеет наверху площадку для установки столика 6 с дифракционной решеткой. Угол поворота зрительной трубы отсчитывается с помощью нониусов. При этом следует пользоваться лупой.

Коллиматор позволяет получить параллельный пучок света, поскольку

              Рисунок 45.3                 щель коллиматорной трубы, освещаемая источником 7, находится в главном фокусе линзы, помещенной на левом конце коллиматора.

Зрительная труба при помощи линзы собирает в фокальной плоскости объектива параллельные пучки света, идущие от дифракционной решетки. Для установки изображения щели точно в центре поля зрения окуляра в зрительной трубе на том месте, где лежит действительное изображение щели коллиматора, помещают тонкую нить. Изображение щели (полос) и нить рассматриваются через лупу окуляра зрительной трубы.

 

ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ

1. Включают источник света, совмещают нить в зрительной трубе с изображением щели. Щель должна казаться шириной в 1-2 мм и быть отчетливо видна.

2. Наведя нить на неотклоненное изображение щели (нулевая линия), делают отсчеты по обоим нониусам лимба с той точностью, которую могут дать нониусы (  и ) (см. правила пользования круговым нониусом).

3. Совмещают нить с линией первого порядка, поворачивая зрительную трубу влево, и делают отсчеты  и  по нониусам.

4. Аналогично снимают измерения для линий второго и третьего порядков.

5. Те же измерения проделывают, поворачивая зрительную трубу вправо от нулевой линии.

ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ

 

1. Рассчитывают средний угол по формуле

.

2. По значениям j и известной постоянной решетки из формулы (45.4) определяют l для каждого значения m.

3. На основании частных значений l вычисляют среднее значение длины волны <l>.

4. Результаты измерений и вычислений заносят в таблицу.

5. При заданной надежности a обрабатывают экспериментальные данные как для прямых многократных измерений.

7. Окончательный результат записывают в виде

мкм.

Правила пользования круговым нониусом

Круговой нониус - это движок в виде небольшой дуги с делениями, перемещающейся вдоль круга лимба, разделенного на градусы и их доли (рис 45.4).

 

 

Рисунок 45.4

 

j = 173°30¢ + 14¢ = 173° 44¢

Определив цену наименьшего деления на лимбе a, находят цену деления нониуса a₁, для чего совмещают нуль нониуса с каким-либо делением на лимбе. Отсчитывают число наименьших делений лимба, совпадающих с n делениями нониуса. Нониус устроен так, что его n делений соответствуют (n -1) делений лимба, т.е. n a₁=(n -1). Получаемая из этой формулы разность

называется точностью кругового нониуса, т.е. точность нониуса равна отношению цены наименьшего деления лимба к числу делений на нониусе.

Для определения угла находят по лимбу число градусов и его долей до нуля нониуса, и число m - номер деления нониуса, которое совпадает с некоторым делением лимба. Измеряемый угол равен углу, найденному по лимбу, сложенному с точностью нониуса a/ n, умноженной на номер m.

 

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ И ЗАДАНИЯ

1. На дифракционную решетку (рис. 45.1) падает монохроматический свет с длиной волны l. В точке Р₁ наблюдается второй главный максимум. Чему равен отрезок D?

2. Изменится ли число максимумов, наблюдаемых на экране с помощью дифракционной решетки и линзы, если вместо данной линзы поставить линзу с удвоенным фокусным расстоянием?

3. На дифракционную решетку, содержащую N штрихов на миллиметр, падает нормально монохроматический свет с длиной волны l. Максимум какого наибольшего порядка можно наблюдать?

4. Определите полное число главных максимумов, которое можно реализовать, если период решетки d, а длина волны l.

5. На плоскую отражательную решетку нормально падает свет длиной волны λ. Найти число штрихов решетки на единицу ее ширины, если спектр второго порядка наблюдается под углом дифракции φ.

6. Для линии λ₁ в спектре второго порядка нормально падающего на дифракционную решетку света угол дифракции равен φ₁. Найти угол дифракции для линии λ₂ в спектре пятого порядка.

 

 

Лабораторная работа №46