Возведение оператора в степень

Оператор  называется n -ой степенью оператора , если результаты действия на произвольную функцию Ψ оператора и n -кратного действия оператора  одинаковы:

               .                   (5.3)

Алгебра операторов некоммутативна. Если в обычной алгебре a ۰ b = b ۰ a, то для операторов в общем случае , т.е. они не коммутируют. Именно поэтому при перемножении операторов важно следить за их расстановкой в произведении. Для двух операторов   и принято указывать коммутатор. Так называется оператор

                   .                     (5.4)

Если коммутатор  равен нулю, т.е. , говорят, что операторы коммутируют.

Коммутатор можно использовать, если необходимо переставить операторы. Например, из (5.4)

 .

В квантовой механике используются только операторы линейные и самосопряженные (иначе – эрмитовые).

Оператор  называется линейным, если он при действии на суперпозицию функций действует на каждое слагаемое в отдельности:

                ,          (5.5)

(  - произвольные коэффициенты).

Свойство самосопряженности, или эрмитовости, оператора интегральное. Оператор  называется самосопряженным (эрмитовым), если для него удовлетворяется соотношение:

. (5.6)

Здесь функции  и  - произвольные, но должны удовлетворять стандартным условиям; интегрирование выполняется по всему пространству.

В алгебре операторов одной из основных является задача нахождения собственных функций и собственных значений операторов. Для ее решения используется уравнение:

                    .                 (5.7)

Здесь неизвестными являются как константа F, называемая собственным значением оператора , так и функция   - собственная функция оператора . Собственная функция должна удовлетворять стандартным условиям, т.е. быть конечной, непрерывной и однозначной во всей области определения переменной ξ. При решении уравнения (5.7) эти условия играют роль граничных.

Различных собственных значений F может быть много. Вся их совокупность образует спектр собственных значений. Спектр может быть дискретным – F = F ₁, F ₂, … F_n, … (n – квантовое число, нумерующее собственные значения). Если собственное значение F может принимать любые значения, то спектр называется непрерывным. Каждому собственному значению соответствует своя собственная функция. Так, если спектр дискретный, то уравнение (5.7) записывают в виде

                    , n = 1, 2, …,          (5.8)

и каждому собственному значению F_n = F ₁, F ₂, … соответствует собственная функция φ _n (ξ)

(n = 1, 2, …). Если спектр непрерывный, то уравнение (5.7 ) записывают в виде

                                                   ,                 (5.9)

или иначе – собственное значение F вносят в виде аргумента в собственную функцию, т.е.

                                           .              (5.9^*)

И здесь каждому собственному значению F соответствует своя собственная функция φ (F,ξ).

Возможен случай, когда одному и тому же собственному значению F соответствует не одна, а несколько собственных функций:

                      , α = 1, 2, …, f_n.     (5.10)

В этом случае говорят, что спектр вырожденный, а число f_n – это кратность вырождения, т.е. число различных собственных функций φ _nα (ξ), соответствующих собственному значению F_n. В случае вырождения собственная функция оператора несет два квантовых числа –

n = 1, 2, … и α = 1, 2, …, f_n.

Лекция 6

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФОРМАЛИЗМ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ

Свойства собственных функций и собственных значений операторов

 

О собственных значениях

Собственные значения эрмитовых операторов действительны.

Покажем это. Возьмем уравнение (5.7) на собственные функции и собственные значения оператора  и комплексно сопряженное ему:

;

.

Умножим слева первое уравнение на φ ^*(ξ),а второе – на φ (ξ), вычтем из первого уравнения второе и результат проинтегрируем по всему пространству:

 .

Здесь учтено, что для нормированных собственных функций (их также нормируют, как и волновую функцию)   (см. (4.4)). Для эрмитовых, или самосопряженных, операторов имеет место соотношение (5.6). Учитывая произвольность в нем функций Ψ₁ (ξ) и Ψ₂ (ξ), полагая в нем Ψ₁ (ξ)= Ψ₂ (ξ)= φ (ξ), получим:

.

В итоге F - F ^* = 0 и F = F ^*, что и требовалось доказать.