Все они впоследствии стали лауреатами нобелевской премии по физике.

Основоположниками квантовой механики считаются Нильс Бор, Макс Планк, Альберт Эйнштейн, Луи де Бройль, Эрвин Шредингер, Вернер Гейзенберг.

Все они впоследствии стали лауреатами Нобелевской премии по физике.

 

 

Лекция 1

ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ОСНОВЫ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ: ЯВЛЕНИЯ, ОБУСЛОВЛЕННЫЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕМ СВЕТА С ВЕЩЕСТВОМ

Основные явления, которые в этой области не могла объяснить классическая физика, это:

Законы теплового излучения

(и поглощения) абсолютно черного тела;

2) фотоэффект.

Абсолютно черное тело – тело, поглощающее полностью попадающее на него электромагнитное излучение, в частности, тепловое или оптическое.

Модель абсолютно черного тела

Введем плотность излучения ,

где  - энергия излучения, приходящаяся на интервал частот .

На эксперименте вначале отверстие закрывают, нагревают черное тело до температуры Т, и из-за колебаний частиц в стенках полости она заполняется равновесным тепловым излучением. Затем отверстие открывают и исследуют спектр выходящего теплового излучения.

Законы:

а). Вид спектра излучения (и поглощения) (впоследствии его назвали «планковским»).

Особенности спектра:

1.  Распределение энергии по спектру неоднородное и зависит от температуры. При этом функция ρ(ω, Т) →0 при ω →0 и ω → ∞.

Площадь под кривой существенно зависит от температуры.

3.  Частота, определяющая положение максимума, ω _m Т.

б). Закон Вина

При больших частотах ρ(ω,Т) exp (- b ω / T)

(константа b >0).
 

в). Закон Стефана-Больцмана

Полная энергия излучения (площадь под кривой)

(σ – постоянная Стефана-Больцмана).

Классическая теория для плотности излучения дает закон Релея-Джинса: ρ(ω,Т) ω ² T.

Видно, что ρ(ω,Т) → , когда ω → , и = .

Этот результат известен под названием: «ультрафиолетовая катастрофа».

Фотоэффект

С позиций классической физики нельзя было объяснить второй закон фотоэффекта. Почему?

Электрон обладает электрическим зарядом – e. При облучении вещества со стороны электромагнанитной волны на него будет действовать сила , где - напряженность электрического поля. Следовательно, ускорение электрона  и скорость вылетающего электрона тоже пропорциональна  : .

В результате кинетическая энергия вылетевшего электрона . В электродинамике величина  определяет интенсивность электромагнитной волны, т.е. энергия электрона должна зависеть от интенсивности, а не от длины волны (или частоты).

Чтобы устранить противоречия между экспериментом и классической физикой, необходимы были новые идеи. Они были сформулированы М.Планком и А.Эйнштейном. Оба ученых сделали предположение:

Из этого «закона Планка» получаются и закон Релея-Джинса, и закон Вина.

При малых частотах, когда можно считать , экспоненту можно разложить в ряд, оставив только два члена разложения:

                             .                        (1.2)

Подставив (1.2) в (1.1), получим: , что соответствует закону Релея-Джинса.

При больших частотах, когда можно считать ,

единицей в знаменателе (1.1) можно пренебречь. Тогда , что соответствует закону Вина, причем константа .

Объяснение законам фотоэффекта дал А. Эйнштейн. Он предположил, что само световое излучение состоит из квантов – из фотонов. Фотон – это частица, обладающая энергией и импульсом , где - волновой вектор, направленный в сторону распространения излучения ().

При облучении светом вещества электрон поглощает фотон. Энергия фотона тратится на преодоление энергетического барьера для электрона на границе вещества (это работа выхода W _вых.) и его кинетическую энергию ԑ. Иными словами, из закона сохранения энергии следует:

                   .             (1.3)

Из (1.3) видно, что энергия вылетающего электрона зависит только от частоты излучения (работа выхода W _вых. для конкретного вещества является константой), как и следует из эксперимента.  

         

Итак, и в теории излучения черного тела М. Планка, и в теории фотоэффекта А. Эйнштейна преодоление трудностей классической физики было найдено в реализации идеи дуализма (двойственной природы) света. Как оказалось, свет может проявлять и свойства волн (это его волновая природа, известная в классической макрофизике), и свойства частиц – фотонов (новое представление при трактовке явлений на уровне микромира). Именно последнее обстоятельство обеспечило успех теории и заложило фундамент квантовой механики.

Лекция 2

ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ОСНОВЫ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ: ЯВЛЕНИЯ, ОБУСЛОВЛЕННЫЕ АТОМНОЙ И МОЛЕКУЛЯРНОЙ СТРУКТУРОЙ ВЕЩЕСТВА

    

Основные явления, которые в этой области не могла объяснить классическая физика:

Экспериментально было показано, что некоторые физические характеристики атомов являются дискретными. Так, в опытах Франка-Герца была доказана дискретность величины энергии, которую могут принимать атомы ртути при столкновениях с электронами. В экспериментах Штерна-Герлаха была продемонстрирована дискретность проекции момента количества движения атома на заданное направление, т.е. пространственное квантование у атомов.

Недостатки теории.

Даже его спектр.

Что такой путь правильный.

Однако требовались новые идеи.

Лекция 3

ГИПОТЕЗА ДЕ БРОЙЛЯ И ЕЕ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЕ ПОДТВЕРЖДЕНИЕ

 

Объяснение явлений, обусловленных взаимодействием с веществом электромагнитного излучения, было получено в предположении, что последнее имеет двойственную природу – проявляет и свойства волн, и свойства частиц в виде фотонов. Это дуализм «волна-частица».

Тем не менее, гипотеза де Бройля требовала экспериментального подтверждения. Надо было показать,  что микрочастицы, обладая свойствами волн, могут дифрагировать и интерферировать. Эти явления являются особенностью только волнового движения.

Является общепринятой

Частица в потенциальной яме

 с бесконечно высокими стенками

Физический смысл волновой функции остается таким же, как и у волны де Бройля:

квадрат модуля волновой функции определяет вероятность обнаружения микрочастицы   в данном месте пространства

в момент времени t.

 

                                     .    (4.1)

Возьмем элемент объема dV (иначеего обозначают как d ³ r, в декартовой системе координат (x, y, z) →

dV = dx ۰ dy ۰ dz, в сферической системе координат

(r, θ, φ) → dV = r ² ۰ dr ۰ dΩ, где dΩ = sinθ ۰ dθ ۰ dφ

– элемент телесного угла). Тогда дифференциальная вероятность dw обнаружить микрочастицу в этом элементе объема будет (по М. Борну):

          .        (4.2)

Величина    называется плотностью вероятности:

               .          (4.3)

По теореме сложения вероятностей вероятность обнаружить микрочастицу вообще где-то в пространстве  будет достоверным событием. Следовательно,

                      .                (4.4)

Это условие нормировки волновой функции. Оно используется для определения произвольной константы, которая обычно возникает при нахождении волновой функции. Эта константу называют нормировочной.

От волновой функции требуется выполнение стандартных условий. Это:

а) конечность; б) непрерывность; в) однозначность.

Суммируем сказанное.

Если микрочастица не одна и их количество N, то волновая функция будет зависеть от координат всех микрочастиц: . Тогда величина дает в момент времени tвероятностьодновременного обнаружения

всех частиц, каждую в своей пространственной точке  (i = 1, 2,…, N).

Условие нормировки будет иметь вид:

        .

Часто весь набор координат    обозначают одной буквой ξ, т.е. ξ = ( ). Тогда  .

Лекция 5

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФОРМАЛИЗМ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ. ОПЕРАТОРНЫЙ ФОРМАЛИЗМ

 

Микрочастицы обладают как свойствами частиц, так и волн – это «корпускулярно-волновой дуализм». Как следствие, математический аппарат классической физики для них не применим. Для описания состояния микрочастиц используется операторный формализм.

    

Пусть имеются две функции одного класса:  и . Если есть математическая операция (обозначим ее ), которая переводит функцию  в функцию , т.е. = , то  - это и есть оператор.

Иными словами, оператор – это символ, который показывает, какое действие следует произвести над функцией данного класса, чтобы получить другую функцию того же класса.

Арифметика операторов.

Сложение операторов

Оператор  называется суммой операторов  и , если результаты действия на произвольную функцию Ψ операторов  и  будут одинаковы:

                       Ψ = Ψ Ψ.                      (5.1)

Естественно, что вместо знака (+)

Умножение операторов

Оператор  называется произведением операторов  и , если результаты действия на произвольную функцию Ψ операторов  и  будут одинаковы:

                      .                (5.2)

Каждой динамической переменной классической механики в квантовой механике сопоставляется линейный эрмитовый оператор. Соотношение между операторами такое же, как и между динамическими переменными в классической механике.

В классической механике для характеристики состояния системы используются динамические переменные:

 - координата,  - импульс,  - момент импульса (иначе – момент количества движения), E - энергия.

Квантовая механика использует операторный формализм.

Физические операторы имеют вид (вид некоторых из них впоследствии будет обоснован из свойств пространства-времени и законов сохранения):

а). Оператор координаты .

Его действие на функцию сводится просто к умножению этой функции на соответствующую координату, т.е.

;

аналогично действие операторной функции  от сводится просто к умножению на функцию , т.е.

.

б). Оператор импульса .

  .       (7.1)

Соответственно векторный оператор импульса имеет вид:

 . (7.2)

Таким образом,  выражается через известный в векторной алгебре оператор «набла»:

               .              (7.3)

в). Оператор момента импульса .

В классической механике оператор момента импульса имеет вид:   (  - знак векторного произведения). В соответствии с постулатом 3 оператор момента импульса будет иметь вид:

                                 .                      (7.4)

 

  =

=  =

=  .    

Отсюда следует, что компоненты векторного  оператора  имеют вид:

 

. (7.5)

Наряду с операторами   обычно рассматривают и оператор квадрата момента импульса  :

                                       (7.6)

Операторы  определены выше в декартовой системе координат (x, y, z), и

оператор , рассчитанный по ф-ле (7.6), также получится в этой системе координат.

Поскольку физически момент импульса связан с поворотами системы в пространстве, часто удобнее пользоваться его определением в сферической системе координат (r, θ, φ). В этой системе наиболее используемые на практике операторы  и имеют вид:

    . (7.7) 

г). Оператор энергии

Приведем сначала вид оператора кинетической энергии . В классической механике выражение для кинетической энергии имеет вид:

.

Здесь m и - масса и скорость частицы, - ее импульс. В квантовой механике вводится лишь оператор импульса. Тогда в соответствии с постулатом 3 оператор кинетической энергии будет иметь вид:

. (7.8)

Δ – оператор Лапласа. Здесь использован вид операторов и  (см. ф-лы (7.2) и (7.3)) и учтено, что

     .     (7.9)

В классической механике полная энергия частицы равна:

 .

Здесь  - потенциальная энергия частицы,  - функция Гамильтона. В соответствии постулатом 3 оператор полной энергии микрочастицы будет иметь вид:

                .           (7.10)

 называется оператором Гамильтона. В явном виде

                         ,                  (7.11)

или

                         .                    (7.12)

Нередко требуется оператор Гамильтона не в декартовой,

 а в сферической системе координат.

Он имеет вид:

         .    (7.13)

 

Таблица физических операторов

 

Физическая величина	Оператор физической величины
Координата и функция от нее и	Операторы координаты  и функции от нее  и
Импульс	Оператор импульса ; ; . ; .
Момент импульса (момент количества движения) ,	Оператор момента импульса (момента количества движения) ,
Энергия (функция Гамильтона)	Оператор энергии (гамильтониан)

Дискретный спектр

Предположим, что нас интересует физическая величина F с дискретным спектром и для ее оператора  известны собственные функции и собственные значения, т.е. известно решение уравнения

φ _n (ξ) = F _n φ _n (ξ) (n =1, 2, …).
Пусть физическая величина F не имеет определенного значения в заданном состоянии Ψ(ξ). Тогда при неоднократном измерении F каждый раз, в принципе, будут получаться разные значения из спектра, и можно ставить вопрос о вероятности результата ее измерения. Для ее расчета, используя свойство полноты системы собственных функций { φ₁(ξ), φ₂(ξ), …, φ _n (ξ), … }, разложим по ним волновую функцию Ψ(ξ):

                  .               (8.3)

Здесь коэффициенты разложения a_n имеют вид (см. формулу (6.4)):

              .               (8.4)

Подставим Ψ(ξ) в виде (8.3) и аналогичное разложение для Ψ^*(ξ) в выражение(8.1)для среднего значения :

.

                    .                   (8.5)

Кроме того, коэффициенты разложения a_n в (8.3) удовлетворяют критерию полноты (см. (6.5)):

                      .                      (8.6)

Предположим, что нам была бы известна вероятность W_n (F = F_n)  того, что при измерении величины F будет получено конкретное значение

F = F_n. Тогда величину (иначе – «математическое ожидание») можно вычислить по правилам теории вероятностей:

                                        (8.7)

при условии, что

                       .                  (8.8)

Из сравнения формул (8.7) и (8.5), а также (8.6) и (8.8), следует:

     .  (8.9)

Это и есть искомая вероятность результата измерения физической величины. Для ее расчета следует разложить волновую функцию Ψ(ξ) в ряд по собственным функциям φ₁(ξ), φ₂(ξ), …, φ _n (ξ), … оператора   с дискретным спектром собственных значений. Тогда квадрат модуля соответствующего коэффициента разложения и определит искомую вероятность. Можно и сразу воспользоваться формулой (60), однако первый способ иногда может быть проще.

Непрерывный спектр

В случае, если оператор   имеет непрерывный спектр собственных значений F и известны его собственные функции φ (F, ξ), то способ нахождения вероятности результата измерения аналогичен случаю дискретного спектра. Однако теперь из-за непрерывности спектра следует вводить вероятность dW (F) = W (F) dF того, что физическая величина F находится в бесконечно малом интервале F, F + dF. Величина W (F) называется плотностью вероятности. Далее следует рассчитать среднее значение физической величины  по правилам теории вероятности, используя дифференциальную вероятность dW (F) = W (F) dF. Затем необходимо сделать прямой расчет величины  по формуле (8.1), разложив волновую функцию Ψ(ξ) по собственным функциям φ (F, ξ) (см. ф-лу (6.10)):

 

и сравнить результаты. При этом еще надо учесть, что

коэффициент разложения a (F) имеет вид

(см. ф-лу (6.11))

и для него выполняется критерий полноты

 (ф-ла (6.12)):

.

В итоге получается, что искомую плотность вероятностиW (F) можно вычислить по формуле, аналогичной ф-ле (8.9):

    . (8.10)

Соответственно дифференциальная вероятность имеет вид:

. 

Лекция 9

ВРЕМЕННОЕ УРАВНЕНИЕ ШРЁДИНГЕРА.

 

Уравнение Шрёдингера позволяет находить вид волновой функции микрочастицы или системы микрочастиц. В соответствии с постулатом 1 волновая функция Ψ(ξ, t) определяет все свойства системы в данный момент времени t. Это означает, что волновая функция Ψ(ξ, t) определяет и то, как система будет меняться в будущем. Иными словами, функция Ψ(ξ, t) должна определять, как будет изменяться в будущем и ее первая производная по времени. Поэтому можно написать

 ,

где - пока неизвестный нам оператор с размерностью [время]^-1, решающий поставленную задачу. Для дальнейшего удобно его переопределить:

,

где оператор также пока не известен. Так как размерность постоянной Планка  - это [энергия·время], то оператор имеет размерность энергии. С учетом этой замены получаем:    

              .              (9.1)

В общем случае . Про зависимость от пространственной переменной пока ничего не известно, а вот от времени t оператор должен зависеть как от параметр а, т.е. не содержать ни производных, ни интегралов по t. Действительно, пусть в оператор входит первая производная по времени . Но цель уравнения (9.1) как раз и выразить первую производную от волновой функции через саму эту функцию, и с помощью оператора как раз такая задача и решается. Получается, что включение в этот оператор производной  выражает  не только через Ψ(ξ, t), как требуется, но еще и через нее саму же. Иными словами, оператор будет не тем, который нужен. Предположим теперь, что в  входит вторая производная по времени . Тогда для полного определения состояния системы в момент времени t =0 требуется задать в этот момент времени не только саму волновую функцию Ψ(ξ, t =0), но и ее первую производную . Это противоречит постулату 1, согласно которому все должна определять только волновая функция Ψ(ξ, t =0). Помимо этой функции, для полного определения состояния системы в момент времени t =0 дополнительно потребуются и другие функции, если в операторе будут производные , n =3, 4, … Это опять будет противоречить постулату 1. Аналогичная ситуация будет возникать и тогда, когда в операторе будет содержаться интегрирование по времени. Опять в этом случае для определения состояния системы в момент времени t =0 не будет достаточно знания только Ψ(ξ, t =0). Потребуется знать всю предыдущую историю системы, т.е. поведение волновой функции Ψ(ξ, t <0), что также противоречит постулату 1.

Для нахождения координатной зависимости

 оператора можно воспользоваться тем, что нам известен вид волновой функции для свободно движущейся частицы. Это волна де Бройля    . Будем рассматривать нерелятивистскую задачу, поэтому можно считать: . Подставим  в уравнение (9.1) и подберем так вид оператора , чтобы это уравнение удовлетворялось. Подстановка в левую часть (9.1) дает:

.

В итоге

                                        .              (9.2)

При подстановке  в правую часть уравнения (9.1) воспользуемся постулатом 3. Для свободно движущейся частицы, когда силового поля нет, ее полная энергия – это кинетическая энергия, т.е. . В соответствии с постулатом 3 оператор кинетической энергии  

(см. ф-лу (7.8)). Поэтому в уравнении (9.1) можно считать, что  . Подставим этот оператор и функцию  теперь в правую часть уравнения (9.1):

.

В итоге

                  .              (9.3)

Из сравнения (9.2) и (9.3) следует, что уравнение (9.1) удовлетворяется тождественно при одновременной замене →  и оператора на оператор кинетической энергии . Иными словами, для свободно движущейся частицы уравнение (9.1) имеет вид:

 

                 ;            (9.4)

                       .                 (9.5)

Пусть на микрочастицу действует силовое поле, описываемое потенциальной функцией . Постулируется, что оператор , который в (9.5) имел вид оператора кинетической энергии , следует заменить на оператор . В итоге для нахождения волновой функции микрочастицы  получится уравнение:

 

                 ;            (9.6)

                     .               (9.7)

Уравнение (9.6) с оператором в виде (9.7) было получено в 1926 г. Э. Шрёдингером и называется: «Уравнение Шрёдингера». Это основное уравнение квантовой механики. Оно позволяет найти волновую функцию микрочастицы, содержащую всю необходимую физическую информацию о ее состоянии.  Оператор , определенный ф-лой (9.7), принято называть оператором Гамильтона, или гамильтонианом.

Особенностью уравнения Шрёдингера является наличие в нем мнимой единицы i. Это дифференциальное уравнение есть первого порядка по времени. Обычно в физике уравнения такого рода описывают необратимые процессы, например, процессы диффузии или теплопроводности. Из-за мнимой единицы уравнение Шрёдингера допускает и периодические решения.

Из-за наличия в уравнении потенциальной функции , вид которой зависит от физических условий, в которых движется микрочастица, для уравнения Шрёдингера невозможно написать общее решение. По сути дела, его в зависимости от вида  приходится каждый раз решать заново.

Наконец, дифференциальное уравнение первого порядка по времени требует задания начального условия, т.е. вида в начальный момент времени волновой функции . Для ее нахождения поступают следующим образом. В начальный момент времени t =0 из эксперимента для микрочастицы определяют набор физических величин L, M, N, …, которые одновременно имеют определенные значения. Их число должно быть равно числу степеней свободы у микрочастицы. Можно показать, что соответствующие физические операторы  будут коммутировать друг с другом. Как упоминалось в конце лекции 6, операторы такого рода будут иметь общую систему собственных функций. Произведение этих функций и будет определять .

Можно записать уравнение Шрёдингера и для системы из N микрочастиц:

,   ; (9.8)

. (9.9)

Здесь m_j - масса j -ой частицы, ,  - потенциальная функция, характеризующая силовое поле, которое действует на j -ую частицу,   - потенциальная энергия взаимодействия i -ой и j -ой частиц,  - расстояние между ними.

                             

 

  Лекция 10

СОХРАНЕНИЕ ЧИСЛА ЧАСТИЦ В КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ

 

В классической механике закон сохранения числа частиц следует из уравнения непрерывности