Спектр собственных значений физического оператора тождественен наблюдаемому спектру соответствующей физической величины.

 

При решении уравнения на собственные функции и собственные значения физического оператора находятспектр собственных значений. Например, в случае дискретного спектра – это { F ₁, F ₂, …, F _n, … }. С другой стороны, на эксперименте измеряют физическую величину F и тоже получают ее спектр. Постулат 4 устанавливает связь этой математики квантовой механики с физикой.

 

Рассмотрим некоторые следствия этого постулата.

а). Предположим, что состояние микрочастицы описывается волновой функцией Ψ(ξ) (время не имеет значения и мы его не включаем). Пусть для физического оператора   нам известен его спектр собственных значений, например, { F ₁, F ₂, …, F _n, … } и соответствующие собственные функции { φ₁(ξ), φ₂(ξ), …, φ _n (ξ), … }. Допустим, что волновая функция совпадает с одной из собственных функций, например, Ψ(ξ) = φ _n (ξ). Тогда Ψ(ξ) = φ _n (ξ) = F _n φ _n (ξ) = F _n Ψ(ξ). Это означает, что при измерении физической величины F будет получено только значение F = F _n. Иначе, если есть много одинаковых микрочастиц и каждая находится в состоянии с волновой функцией Ψ(ξ),то при измерении физической величины F будет у каждой частицы получаться только одно и то же значение

F = F _n. В этом случае говорят, что физическая величина F имеетопределенное значение.

Например, спектр собственных значений и собственные функции оператора  имеют вид: ; ;

(m = 0, ±1, ±2 …).

Если волновая функция будет совпадать с одной из собственных , скажем, Ψ = , то при измерении физической величины L_z будет получаться только одно значение .

б). Предположим, что волновая функция не совпадает ни с одной из собственных функций: Ψ(ξ) φ _n (ξ)

(n =1, 2, …). Тогда Ψ(ξ) φ _n (ξ) = F _n φ _n (ξ) и при измерении физической величины F при каждом измерении будут получаться, в общем случае, новые значения. Однако это будут значения из спектра собственных значений (см. постулат 4). В этом случае говорят, что физическая величина F

не имеетопределенного значения.

Так, если в приведенном выше примере Ψ

 (m = 0, ±1, ±2 …), то при измерении величины L_z будут получаться разнообразные значения, но они будут обязательно из спектра собственных значений оператора .

В отличие от квантовой механики в классической механике термина «физическая величина не имеет определенного значения» не существует!

Лекция 8

СРЕДНЕЕ ЗНАЧЕНИЕ И ВЕРОЯТНОСТЬ РЕЗУЛЬТАТА ИЗМЕРЕНИЯ ФИЗИЧЕСКОЙ ВЕЛИЧИНЫ

 

О среднем значении

Пусть задано состояние микрочастицы, т.е. известна ее волновая функция Ψ(ξ) (в ее аргументы, как и выше, временную переменную пока не включаем). Также допустим, что в этом состоянии интересующая нас физическая величина F не имеет определенного значения. Тогда при ее измерении будут получаться различные значения F ₁, F ₂, …, F _n, … из спектра собственных значений оператора . Следовательно, можно ставить вопрос о среднем значении

величины F. Его можно рассчитать по формуле:

          ,           (8.1),

где предполагается, что волновая функция нормирована:

.

Если этого нет, то вычисление проводится по формуле:

                   .             (8.2)

Можно доказать следующие свойства среднего значения:

а). Для эрмитовых операторов  среднее значение всегда действительно, т.е. ()^*= ;

б). Если волновая функция Ψ(ξ) совпадает с собственной функцией оператора , т.е., например,

Ψ(ξ)=φ _n (ξ), то =F _n, т.е. равно точному значению из спектра собственных значений.

 

О вероятности результата измерения

 физической величины

 

Дискретный спектр

Предположим, что нас интересует физическая величина F с дискретным спектром и для ее оператора  известны собственные функции и собственные значения, т.е. известно решение уравнения

φ _n (ξ) = F _n φ _n (ξ) (n =1, 2, …).
Пусть физическая величина F не имеет определенного значения в заданном состоянии Ψ(ξ). Тогда при неоднократном измерении F каждый раз, в принципе, будут получаться разные значения из спектра, и можно ставить вопрос о вероятности результата ее измерения. Для ее расчета, используя свойство полноты системы собственных функций { φ₁(ξ), φ₂(ξ), …, φ _n (ξ), … }, разложим по ним волновую функцию Ψ(ξ):

                  .               (8.3)

Здесь коэффициенты разложения a_n имеют вид (см. формулу (6.4)):

              .               (8.4)

Подставим Ψ(ξ) в виде (8.3) и аналогичное разложение для Ψ^*(ξ) в выражение(8.1)для среднего значения :

.

                    .                   (8.5)

Кроме того, коэффициенты разложения a_n в (8.3) удовлетворяют критерию полноты (см. (6.5)):

                      .                      (8.6)

Предположим, что нам была бы известна вероятность W_n (F = F_n)  того, что при измерении величины F будет получено конкретное значение

F = F_n. Тогда величину (иначе – «математическое ожидание») можно вычислить по правилам теории вероятностей:

                                        (8.7)

при условии, что

                       .                  (8.8)

Из сравнения формул (8.7) и (8.5), а также (8.6) и (8.8), следует:

     .  (8.9)

Это и есть искомая вероятность результата измерения физической величины. Для ее расчета следует разложить волновую функцию Ψ(ξ) в ряд по собственным функциям φ₁(ξ), φ₂(ξ), …, φ _n (ξ), … оператора   с дискретным спектром собственных значений. Тогда квадрат модуля соответствующего коэффициента разложения и определит искомую вероятность. Можно и сразу воспользоваться формулой (60), однако первый способ иногда может быть проще.

Непрерывный спектр

В случае, если оператор   имеет непрерывный спектр собственных значений F и известны его собственные функции φ (F, ξ), то способ нахождения вероятности результата измерения аналогичен случаю дискретного спектра. Однако теперь из-за непрерывности спектра следует вводить вероятность dW (F) = W (F) dF того, что физическая величина F находится в бесконечно малом интервале F, F + dF. Величина W (F) называется плотностью вероятности. Далее следует рассчитать среднее значение физической величины  по правилам теории вероятности, используя дифференциальную вероятность dW (F) = W (F) dF. Затем необходимо сделать прямой расчет величины  по формуле (8.1), разложив волновую функцию Ψ(ξ) по собственным функциям φ (F, ξ) (см. ф-лу (6.10)):

 

и сравнить результаты. При этом еще надо учесть, что

коэффициент разложения a (F) имеет вид

(см. ф-лу (6.11))

и для него выполняется критерий полноты

 (ф-ла (6.12)):

.

В итоге получается, что искомую плотность вероятностиW (F) можно вычислить по формуле, аналогичной ф-ле (8.9):

    . (8.10)

Соответственно дифференциальная вероятность имеет вид:

. 

Лекция 9

ВРЕМЕННОЕ УРАВНЕНИЕ ШРЁДИНГЕРА.

 

Уравнение Шрёдингера позволяет находить вид волновой функции микрочастицы или системы микрочастиц. В соответствии с постулатом 1 волновая функция Ψ(ξ, t) определяет все свойства системы в данный момент времени t. Это означает, что волновая функция Ψ(ξ, t) определяет и то, как система будет меняться в будущем. Иными словами, функция Ψ(ξ, t) должна определять, как будет изменяться в будущем и ее первая производная по времени. Поэтому можно написать

 ,

где - пока неизвестный нам оператор с размерностью [время]^-1, решающий поставленную задачу. Для дальнейшего удобно его переопределить:

,

где оператор также пока не известен. Так как размерность постоянной Планка  - это [энергия·время], то оператор имеет размерность энергии. С учетом этой замены получаем:    

              .              (9.1)

В общем случае . Про зависимость от пространственной переменной пока ничего не известно, а вот от времени t оператор должен зависеть как от параметр а, т.е. не содержать ни производных, ни интегралов по t. Действительно, пусть в оператор входит первая производная по времени . Но цель уравнения (9.1) как раз и выразить первую производную от волновой функции через саму эту функцию, и с помощью оператора как раз такая задача и решается. Получается, что включение в этот оператор производной  выражает  не только через Ψ(ξ, t), как требуется, но еще и через нее саму же. Иными словами, оператор будет не тем, который нужен. Предположим теперь, что в  входит вторая производная по времени . Тогда для полного определения состояния системы в момент времени t =0 требуется задать в этот момент времени не только саму волновую функцию Ψ(ξ, t =0), но и ее первую производную . Это противоречит постулату 1, согласно которому все должна определять только волновая функция Ψ(ξ, t =0). Помимо этой функции, для полного определения состояния системы в момент времени t =0 дополнительно потребуются и другие функции, если в операторе будут производные , n =3, 4, … Это опять будет противоречить постулату 1. Аналогичная ситуация будет возникать и тогда, когда в операторе будет содержаться интегрирование по времени. Опять в этом случае для определения состояния системы в момент времени t =0 не будет достаточно знания только Ψ(ξ, t =0). Потребуется знать всю предыдущую историю системы, т.е. поведение волновой функции Ψ(ξ, t <0), что также противоречит постулату 1.

Для нахождения координатной зависимости

 оператора можно воспользоваться тем, что нам известен вид волновой функции для свободно движущейся частицы. Это волна де Бройля    . Будем рассматривать нерелятивистскую задачу, поэтому можно считать: . Подставим  в уравнение (9.1) и подберем так вид оператора , чтобы это уравнение удовлетворялось. Подстановка в левую часть (9.1) дает:

.

В итоге

                                        .              (9.2)

При подстановке  в правую часть уравнения (9.1) воспользуемся постулатом 3. Для свободно движущейся частицы, когда силового поля нет, ее полная энергия – это кинетическая энергия, т.е. . В соответствии с постулатом 3 оператор кинетической энергии  

(см. ф-лу (7.8)). Поэтому в уравнении (9.1) можно считать, что  . Подставим этот оператор и функцию  теперь в правую часть уравнения (9.1):

.

В итоге

                  .              (9.3)

Из сравнения (9.2) и (9.3) следует, что уравнение (9.1) удовлетворяется тождественно при одновременной замене →  и оператора на оператор кинетической энергии . Иными словами, для свободно движущейся частицы уравнение (9.1) имеет вид:

 

                 ;            (9.4)

                       .                 (9.5)

Пусть на микрочастицу действует силовое поле, описываемое потенциальной функцией . Постулируется, что оператор , который в (9.5) имел вид оператора кинетической энергии , следует заменить на оператор . В итоге для нахождения волновой функции микрочастицы  получится уравнение:

 

                 ;            (9.6)

                     .               (9.7)

Уравнение (9.6) с оператором в виде (9.7) было получено в 1926 г. Э. Шрёдингером и называется: «Уравнение Шрёдингера». Это основное уравнение квантовой механики. Оно позволяет найти волновую функцию микрочастицы, содержащую всю необходимую физическую информацию о ее состоянии.  Оператор , определенный ф-лой (9.7), принято называть оператором Гамильтона, или гамильтонианом.

Особенностью уравнения Шрёдингера является наличие в нем мнимой единицы i. Это дифференциальное уравнение есть первого порядка по времени. Обычно в физике уравнения такого рода описывают необратимые процессы, например, процессы диффузии или теплопроводности. Из-за мнимой единицы уравнение Шрёдингера допускает и периодические решения.

Из-за наличия в уравнении потенциальной функции , вид которой зависит от физических условий, в которых движется микрочастица, для уравнения Шрёдингера невозможно написать общее решение. По сути дела, его в зависимости от вида  приходится каждый раз решать заново.

Наконец, дифференциальное уравнение первого порядка по времени требует задания начального условия, т.е. вида в начальный момент времени волновой функции . Для ее нахождения поступают следующим образом. В начальный момент времени t =0 из эксперимента для микрочастицы определяют набор физических величин L, M, N, …, которые одновременно имеют определенные значения. Их число должно быть равно числу степеней свободы у микрочастицы. Можно показать, что соответствующие физические операторы  будут коммутировать друг с другом. Как упоминалось в конце лекции 6, операторы такого рода будут иметь общую систему собственных функций. Произведение этих функций и будет определять .

Можно записать уравнение Шрёдингера и для системы из N микрочастиц:

,   ; (9.8)

. (9.9)

Здесь m_j - масса j -ой частицы, ,  - потенциальная функция, характеризующая силовое поле, которое действует на j -ую частицу,   - потенциальная энергия взаимодействия i -ой и j -ой частиц,  - расстояние между ними.

                             

 

  Лекция 10

СОХРАНЕНИЕ ЧИСЛА ЧАСТИЦ В КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ

 

В классической механике закон сохранения числа частиц следует из уравнения непрерывности

                .          (10.1)

Здесь  - плотность частиц в выделенном объеме,  - плотность тока частиц,  - их скорость. В квантовой механике можно получить аналог уравнения (10.1). Запишем уравнение Шрёдингера и уравнение, комплексно ему сопряженное:

;

.

Умножим первое уравнение на , а второе – на  и вычтем одно из другого:

;

          .     (10.2)

Проинтегрируем обе части этого выражения по ξ.

.

Здесь учтена эрмитовость гамильтониана, в соответствии с которой

(см. (5.6)). Итак, получили:

                 .           (10.3)

Это соотношение можно рассматривать как законсохранения числа частиц в интегральном виде. Действительно, из вероятностной трактовки волновой функции следует, что величина - это вероятность обнаружить микрочастицу в точке  в момент времени t. Тогда  - по теореме сложения вероятностей это будет вероятность того, что микрочастица в момент времени t вообще находится где-то в пространстве. Следовательно, соотношение (10.3) утверждает, что эта вероятность не меняется со временем, т.е. микрочастица не исчезнет.

Из (10.3) вытекает еще одно следствие. Интеграл  используется для нормировки волновой функции. Тогда из (10.3) следует, что эта нормировка с течением времени

  не изменяется, т.е. const (t) будет константой и по времени t.

Из соотношения (10.2) можно получить закон сохранения микрочастиц в дифференциальном виде. Подставим в (10.2) оператор   (см. ф-лу (9.7)) и учтем при этом, что из эрмитовости оператора следует: .

;

        .    (10.4)

Плотность вероятности была введена раньше (см. ф-лу (4.3)). Теперь еще определим новую величину

, (10.5)

и назовем ее плотностью тока вероятности. Тогда соотношение (10.4) можно представить в виде:

              .            (10.6)

Здесь учтено, что  и использовано определение дивергенции вектора :

 .

Из сравнения уравнений (10.1) и (10.6) следует, что их вид одинаков, только в последнем случае обозначения  и   имеют другой смысл. В квантовой механике уравнение (10.6) также можно назвать законом сохранения числа частиц. Согласно ему, изменение плотности вероятности в каком-либо заданном объеме со временем может быть связано только с пространственным изменением (дивергенцией) плотности тока вероятности.

Например, умножив уравнение (10.6) на электрический заряд микрочастицы e, получим закон сохранения заряда в дифференциальном виде:

.

Здесь  - плотность заряда и - плотность тока заряда.

Обратим внимание, что, как это следует из определения (10.5), плотность тока вероятности , если волновая функция действительна, т.е.  .  

 

Лекция 11

УРАВНЕНИЕ ШРЁДИНГЕРА

ДЛЯ СТАЦИОНАРНЫХ СОСТОЯНИЙ

 

Для нахождения волновой функции временным уравнением Шрёдингера имеет смысл пользоваться только тогда, когда явно зависит от времени гамильтониан . В нем такая зависимость возникает только через потенциальную функцию . Если зависимость гамильтониана от времени отсутствует, т.е. , то волновую функцию находят из уравнения Шредингера для стационарных состояний (часто говорят – из «уравнения Шрёдингера» без слова «временное»).

Пусть гамильтониан не зависит от времени: . Тогда в нем можно разделить переменные ξ и t. Имеем:

              .             (11.1)

Ищем волновую функцию в виде:

                                               .                 (11.2)
Подставим (11.2) в (11.1) и разделим переменные.

 ;

             .        (11.3)

Величина E – константа с размерностью энергии. Введена она потому, что в (11.3) левая сторона зависит только от t, а правая сторона – только от ξ. Поэтому равенство возможно, только если и правая, и левая стороны будут константами.

Из (11.3) получаются два уравнения:               

       ;    (11.4)

                  .             (11.5)

Интегрирование в (11.4) дает:

                         .                    (11.6)

Константа интегрирования положена равной 1, так как общая константа в (11.2) все равно будет находиться из условия нормировки.

 Уравнение (11.5) позволяет найти волновую функцию  и величину E. Так как гамильтониан от времени не зависит, то, следовательно, в нем вместо потенциальной функции  будет потенциальная энергия микросистемы . Это означает, что гамильтониан  становится оператором энергии и уравнение (11.5) есть уравнение на его собственные функции и собственные значения. Последние – это энергии соответствующих состояний системы, имеющие определенные значения.

Состояние с определенным значением энергии E называется стационарным, а уравнение (11.5) называется уравнением Шрёдингера для стационарных состояний. Итак, в случае одной микрочастицы () это уравнение имеет вид:

                     ,                  (11.7)

                      .               (11.8)
Обычно интерес представляет именно волновая функция , так как зависимость от времени полной волновой функции определена ф-лой (11.6). Но в ряде случаев требуется знание именно полной волновой функции стационарного состояния системы, и в соответствии с (11.2) она имеет вид:

                                    ,           (11.9)

а величины  и E находятся из уравнения (11.5) или из уравнения (11.7) с гамильтонианом (11.8), если . Спектр энергий может быть дискретным или непрерывным. В первом случае волновые

 функции (11.9) принимают вид

                  , n = 1, 2, … (11.10)

Во втором случае –

                               .     (11.11)