Поведение волновых функций для частицы в потенциальном поле: слева – частица в потенциальной яме с бесконечно высокими стенками; справа – для линейного гармонического осциллятора.

 

Предположим теперь, что имеется система частиц в силовом поле, имеющем центр симметрии, и частицы взаимодействуют друг с другом. В этом случае гамильтониан будет также включать слагаемое

, где   - потенциальная энергия взаимодействия i -ой и j -ой частиц,  - расстояние между ними (см. вид гамильтониана системы (9.9)). Возникает вопрос: останется ли гамильтониан симметричным и будет ли сохраняться четность? Для разных типов взаимодействия (электромагнитного, сильного и слабого) ответ был получен в 1956 г. физиками-теоретиками Т.Ли и Ч.Янгом совместно с физиком-экспериментатором Ц.Ву. Они проверили, что есть много экспериментальных свидетельств относительно электромагнитного и сильного взаимодействия: они четность сохраняют. Однако для слабого взаимодействия, из-за которого почти все наблюдаемые элементарные частицы и многие атомные ядра нестабильны и распадаются, таких доказательств не было. Совместно с Ц.Ву ими был поставлен эксперимент с бета-распадом ориентированных ядер изотопа кобальта-60 и показано, что слабое взаимодействие четность не сохраняет. Проявлялось это в асимметрии вылета бета-распадных электронов по направлению ориентации ядер и против нее.

 

 

Если бы четность сохранялась, вылет бета- электронов был бы симметричным.

 

За это открытие вышеперечисленные физики в 1957 году получили Нобелевскую премию по физике.

Что является удивительным в этом открытии? Операция инверсии с заменой  - это замена декартовых переменных x, y, z на - x, - y, - z, что эквивалентно замене правой системы декартовых координат на левую (или наоборот). Физики привыкли, что физические законы – это объективная реальность, и они не зависят от того, в какой системе координат (правой или левой) их описывать. Результат должен был быть одинаков! Несохранение четности же означает, что описание явления в правой или левой системах координат даст различные результаты. Для явлений с участием слабого взаимодействия это было подтверждено экспериментально. Физика с такими явлениями столкнулась впервые. Заметим, что в классической физике такого интеграла состояния, как четность, не существует, это квантовое понятие.     

Лекция 17

МАТРИЧНЫЙ ФОРМАЛИЗМ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ – ТЕОРИЯ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ

 

Основы матричного формализма в квантовой механике были заложены В.Гейзенбергом еще до того, как стало известным уравнение Шредингера. По своей сути, это ее альтернативный вариант, иногда более удобный при решении некоторых задач. В традиционном формализме волновая функция  и собственные функции операторов определяются в координатном пространстве. В нем же действуют и физические операторы . В этом случае говорят о координатном представлении. Однако возможны и другие представления функций и операторов.

Пусть для некоторого линейного и эрмитового оператора известны собственные функции и собственные значения (для определенности пусть спектр будет дискретным):

                       (17.1)

Набор собственных функций { } – это основа для перехода к G -представлению. Оно называется так по оператору, чьи собственные функции используются.

Пусть волновая функция в координатном представлении известна:  (время t не включаем). Пользуясь полнотой системы собственных функций оператора , разложим по ним волновую функцию:

                 .            (17.2)
Соответственно для коэффициентов разложения имеем (см. (6.4)):

               .              (17.3)

Формулы (17.2) и (17.3) – это основа для перехода из координатного в G -представление и наоборот. Зная волновую функцию , по ф-ле (17.3) можно получить соответствующий ей набор коэффициентов { a ₁, a ₂, …, a _n, …}. И, наоборот, получив каким-то образом набор коэффициентов { a ₁, a ₂, …, a _n, …}, по ф-ле (17.2) можно найти волновую функцию . Иными словами, имеет место взаимно однозначное соответствие:  { a ₁, a ₂, …, a _n, …}. Оно позволяет назвать набор коэффициентов { a ₁, a ₂, …, a _n, …} тоже волновой функцией, но только не в координатном, а в G -представлении. Получается, что в G -представлении это не функция, а определенный набор чисел или матрица из этих чисел с одним столбцом:

                    .                 (17.4)

Пусть теперь оператор  имеет непрерывный спектр и известны его собственные функции, т.е. решение уравнения

                                          .           (17.5)
Тогда вместо соотношений (17.2) и (17.3) будет

                 ;             (17.6)

                     .        (17.7)

Как и в случае дискретного спектра имеет место взаимно однозначное соответствие волновой функции  и функции a (G). Поэтому функцию a (G) можно назвать волновой функцией в

G -представлении.

Ограничимся дальше только случаем дискретного спектра у оператора . Рассмотрим, какой вид принимает заданный оператор . Пусть его действие определено соотношением:

                    ,                 (17.8)

где от функций  только требуется, чтобы они удовлетворяли стандартным условиям. Переведем их в G -представление.

                   ;         (17.9)

                 .      (17.10)

В соответствии с данными выше определениями совокупности коэффициентов { a ₁, a ₂, …, a _n, …} и { b ₁, b ₂, …, b _n, …} – это соответственно функции и в G -представлении. Подставляя разложения (17.9) и (17.10) в соотношение (17.8), получим его эквивалент в G -представлении.

.

Умножим обе части этого соотношения на , проинтегрируем по координате и воспользуемся свойством ортонормировки собственных

функций :      

                                           .                  (17.11)

Здесь, как и n, m = 1, 2, 3, … и введено обозначение                  

                                   .          (17.12)

Таким образом, соотношение (17.11) – это не одно, а система алгебраических уравнений, и она есть эквивалент соотношения (17.8) в G -представлении. Тогда входящую в эту систему уравнений матрицу из матричных элементов F_mn можно назвать оператором в G -представлении. Итак, получаем, что оператор в G -представлении имеет вид матрицы:

 .  (17.13)

Заметим, что систему уравнений (17.11) можно сразу записать в матричном виде:

.

Здесь (·) – символ матричного умножения, матрицы A и B – это функции и в G -представлении, имеющие вид     

 ,

а матрица F была определена выше.

Посмотрим, как должен выглядеть оператор в своем собственном представлении, т.е. когда оператор - это и есть оператор : . Тогда функции  - это собственные функции оператора :

                     (17.14)
Для матричных элементов F_mn в соответствии (17.12) получим:

.

Здесь использованы условие ортонормировки собственных функций и для подчеркнутого выражения соотношение (17.14). Таким образом, в своем собственном представлении оператор представляется диагональной матрицей и по диагонали стоят его собственные значения:

 .        (17.15)

Приведем еще часто используемый в матричном виде оператор , который называется оператором, сопряженным оператору , и часто используется на практике. В приведенном определении тильда означает транспонирование матрицы, т.е. замену строк на столбцы и наоборот, звездочка – операцию комплексного сопряжения.

.

Можно показать, что для эрмитово сопряженных операторов , т.е.

,

или   (m, n = 1, 2, 3, …).

Пользуясь волновой функцией в G -представлении, можно рассчитать непосредственно в этом представлении среднее значение физической величины :

.

Таким образом, для вычисления среднего значения физической величины нет необходимости возвращаться из G -представления в координатное, можно сразу воспользоваться формулой

                  .                 (17.16)

Можно непосредственно в G -представлении найти собственные значения и собственные функции заданного оператора , т.е. эквивалент уравнения

                       .              (17.17)

В G -представлении аналогичное уравнение будет иметь вид:

                 .  (17.18)

Здесь матричные элементы F_mn определены ф-лой (17.12), c_n - коэффициенты разложения искомой функции по базисным функциям, т.е. по собственным функциям оператора : . Их совокупность { c ₁, c ₂, …} для каждого собственного значения F будет определять искомую собственную функцию оператора в G -представлении.

Система уравнений (17.18) однородная. Как известно, для нахождения ее нетривиального решения (тривиальное – это все c_n = 0) следует приравнять нулю определитель матрицы :

,

или в явном виде

 .

Если определитель раскрыть, получится алгебраическое уравнение по степеням искомой величины F, решение которого даст его корни

F ₁, F ₂, …, F _k, … Подставляя k -ый корень F _k

в систему уравнений (17.18) и решая ее, найдем соответствующий набор коэффициентов  , т.е. собственную функцию  оператора в G -представлении. И так для каждого F _k (k = 1, 2, …), получив тем самым все соответствующие собственные функции в G -представлении.

Точно также непосредственно в G -представлении можно решить уравнение Шрёдингера для стационарных состояний, получить спектр энергий и соответствующие волновые функции. Вид уравнения Шрёдингера в G -представлении будет аналогичен алгебраической системе

 уравнений (17.18):

                (17.19).

Здесь набор коэффициентов { a ₁, a ₂, …} – волновая функция стационарного состояния  в G -представлении и

                      (17.20)

- гамильтониан в G -представлении. Дальнейшие действия для нахождения энергетического спектра E ₁, E ₂,…, E_k,…и соответствующих волновых функций {  } (k = 1, 2,…) из системы уравнений (17.19) такие же, как и при решении

системы уравнений (17.18).

Наконец, можно получить в G -представлении аналог временного уравнения Шрёдингера

             ;      (17.21)

.

Перейдем в   G -представлении, разложив волновую функцию  по базисным функциям  

(n = 1, 2, …):

                  .               (17.22)

Подставляя (17.22) в (17.21) получим:

.

Умножим это равенство  (m = 1, 2, …) и проинтегрируем по .

;

     , m = 1, 2, …     (17.23)

При получении (17.23) использовано условие ортонормировки для базисных функций  и введено обозначение:

.

Это есть система дифференциальных уравнений первого порядка по времени. Ее решение позволяет найти совокупность величин a ₁ (t), a ₂ (t), …, a_n (t), …, т.е. волновую функцию в G -представлении. Однако для определенности решения необходимо к системе дифференциальных уравнений (17.23) задать начальные условия a_n (t =0) (n = 1, 2, …).  

Суммируем все сказанное в виде таблицы.

Координатное представление	G -представление
	{ a 1, a 2, …, a n, …}
	;
	;
	, m = 1, 2,…;

  

Лекция 18

СПИН ЭЛЕКТРОНА, СПИНОВЫЙ ФОРМАЛИЗМ

 

Электрон в атоме, двигаясь в кулоновском поле ядра, обладает орбитальным моментом. В этом поле в числе интегралов состояния электрона будут  и : , где - орбитальное квантовое число, и , всего  значений. m – магнитное квантовое число. Это подтверждено экспериментально в опытах Штерна-Герлаха. В магнитном поле пучок атомов, находящихся в состоянии с , расщеплялся на пучок в соответствии с количеством значений магнитного квантового числа m. Однако было обнаружено, что и при  , когда пучок не должен был расщепляться, так как m = 0, он все равно расщеплялся надвое.

 

Для объяснения результата этого эксперимента было сделано предположение: электрон обладает собственным механическим моментом – спином . Его проекция s_z на любое направление оси О z   может принимать только два значения: . Если по аналогии с  ввести спиновое магнитное квантовое число m_s, то тогда  и . Также по аналогии с орбитальным квантовым числом  можно ввести спиновое квантовое число s:  (сравни с ). Однако, в отличие от квантового числа , s принимает только одно значение: s = 1/2. Таким образом, есть аналогия , но со спецификой спина как собственного момента импульса: спиновое квантовое число принимает только одно значение s = 1/2, а спиновое магнитное квантовое число только два значения - . Спин нельзя понимать как вращение электрона вокруг собственной оси. Если бы это было так, то скорость вращения на его поверхности в 200 раз превышала бы скорость света. Спин электрона - это квантовое понятие, у него нет классического аналога. У электрона есть масса и электрический заряд, а теперь в квантовой механике еще и спин, и это тоже физическая характеристика.

В квантовой механике, если есть некая физическая величина, должен быть и соответствующий ей оператор. Следовательно, должен быть оператор спина . Его вид был введен в 1925 г. Дж.Уленбеком и С.Гаудсмитом, они же разработали и спиновый формализм.

Спин электрона – это тоже механический момент импульса. Поэтому постулируется, что для компонент оператора спина   коммутационные соотношения такие же, как и для компонент оператора , т.е.

  (18.1)

Еще, в соответствии с принципами квантовой механики, оператор спина должен быть эрмитовым:

            .     (18.2)

И все же спиновый формализм существенно отличается от формализма, связанного

с оператором . У проекции момента импульса  различных значений , да и само орбитальное квантовое число  может принимать любые целые значения от 0 до ∞. Проекция же спина , т.е. этих проекций всего две. Опираясь на этот факт, было предложено представлять спиновые операторы в виде матриц 2×2 и в дальнейшем использовать матричный формализм. Как известно, в своем собственном представлении матрица-оператор должна иметь диагональный вид, причем по диагонали должны стоять собственные значения (см. (17.15)). Поэтому каждая из матриц-операторов спина  в своем собственном представлении должна иметь вид:

                  .                (18.3)

Представим оператор спина в виде: . Здесь каждая из проекций имеют вид безразмерной матрицы 2×2, а в своем собственном представлении, в соответствии с (18.3), вид . Если возвести эту матрицу в квадрат, то получится:

 , т.е. единичная матрица, или тождественное преобразование. Но единичная матрица остается такой в любом представлении. И это позволяет написать уже независимо от выбора представления, что

                 .             (18.4)

Эрмитовость оператора спина позволяет для матричных операторов  записать соотношения (см. (18.2)):

          .   (18.5)

Наконец, из коммутационных соотношений (18.1) с учетом определения  получим:

       (18.6)

Мы пока не знаем конкретного вида матричных операторов , но можно использовать соотношения (18.4)-(18.6) в качестве уравнений для нахождения матричных элементов этих операторов. Зададим представление – пусть это будет -представление. Тогда этот оператор в своем собственном представлении имеет вид диагональной матрицы: . Матрицы  с  не коммутируют, поэтому уже не будут диагональными:

 ,

и матричные элементы a_ij и b_ij надо найти. Подстановка матриц в соотношения (18.4)-(18.6) дает уравнения для нахождения чисел a_ij и b_ij, и этих уравнений достаточно для решения задачи. В итоге получаем:

.  (18.7)

В этом виде эти матрицы называются матрицами Паули. Они дают вид операторов спина  в соответствии с определением  и записаны в -представлении. Хотя матрицы Паули – это операторы, «шляпку» над ними ставить не принято. Для матриц Паули можно получить полезные в приложениях два соотношения, которые являются следствием соотношений (18.6).

1). Матрицы Паули антикоммутируют:

.

2). .

Зная вид операторов спина в матричном представлении, можно найти и их собственные функции. Опять используем аналогию с моментом импульса. Как известно (см. (14.7) и (14.13)), его собственные функции удовлетворяют уравнениям:

; ,

          , .  (18.8) 

Пусть  - собственная функция операторов  и  (аналог ). По аналогии с (18.8) она должна удовлетворять уравнениям:

         , s = 1/2; (18.9)

         , m_s = ± 1/2.   (18.10)

Первое уравнение не информативно. Действительно,

.

Здесь учтено свойство (18.4) операторов . Поскольку  - это единичная матрица, действие оператора  сводится к тождественному преобразованию, и уравнение (18.9) удовлетворяется любой функцией. Поэтому спиновую собственную функцию  следует находить только из уравнения (18.10). Непосредственной подстановкой в уравнение (18.10) можно проверить, что эту функцию для значений m_s = ± 1/2 можно взять в матричном виде:

. (18.11)

В этих определениях опущен индекс s = 1/2, так как он, в отличие от индекса  у функции , не меняется, принимая только одно значение. Такого рода двухкомпонентные функции называются спинорами.

 Проверим, что, например, спиновая функция  действительно удовлетворяет уравнению (18.10).

 .

Из сравнения подчеркнутых членов с тем, что должно было получиться в соответствии с уравнением (18.10), следует, что функция  в виде (18.11) и есть искомое решение. Отметим также, что, как и должно быть у собственных функций оператора, спиновые функции   удовлетворяют условию ортонормировки:

                    .               (18.12)

Проверим, например, нормировку спиновой функции  и ортогональность спиновых функций  и .

;

 

.

Рассмотрим теперь, как изменяется вид волновой функции, если в уравнении Шрёдингера учитывается наличие спина у микрочастицы. Для частицы со спиновым квантовым числом (часто говорят – со спином) s =1/2 и проекцией спина  в волновую функцию следует включить еще и спиновую переменную s_z, т.е. . Изучение свойств атомов показывает, что, в общем случае, имеет место корреляция орбитального движения электрона и направления спина. Она возникает из-за так называемого спин-орбитального взаимодействия, оператор которого имеет вид: и  функция U задает силовое поле, в котором движется электрон. Поэтому волновые функции  для  и  будут различаться. По сути, волновая функция тоже становится матрицей:

.

Однако в атомах спин-орбитальное взаимодействие по сравнению с полем ядра, также действующим на атомные электроны, гораздо слабее. Это позволяет в гамильтониане атома спин-орбитальным взаимодействием пренебречь, и он уже не будет зависеть от спиновых переменных электронов. Тогда становится возможным разделить переменные  и s_z в волновой функции и представить ее в виде: .

Здесь  - решение уравнения Шрёдингера без учета спина у электрона, а зависимость от спиновых переменных войдет в решение через известную спиновую функцию .

 

 

Лекция 19

ЧАСТИЦА В ЭЛЕКТРОМАГНИТНОМ ПОЛЕ. УРАВНЕНИЕ ПАУЛИ

 

Пусть частица массы m еще имеет электрический заряд q и магнитный момент . Пусть также вместе с  силовым полем  на нее действует и электромагнитное поле. Как известно, его можно охарактеризовать или заданием напряженностей электрического и магнитного полей  и , или скалярного и векторного потенциалов φ и .Эти два способа эквивалентны, так как имеют место соотношения:

  

(c – скорость света). В теории предпочитают использовать скалярный и векторный потенциалы, так как есть определенная свобода при их выборе. Обобщим уравнение Шрёдингера на случай, когда на частицу действует и электромагнитное поле.

Известно, как в такой ситуации в классической физике преобразуется функция Гамильтона: надо импульс частицы заменить на обобщенный и одновременно изменить силовое поле. Конкретно

(при необходимости всегда  можно заменить на ). В соответствии с постулатом 3 (см. лекцию 6) в гамильтониане  следует сделать аналогичные замены:

  . (19.1)

В (19.1) учтено, что в квантовой механике вместо магнитного момента может быть соответствующий оператор. Поскольку в общем случае и скалярный, и векторный потенциалы могут зависеть от времени, необходимо использовать временное уравнение Шрёдингера. В итоге, делая в нем замены (19.1), получим искомое уравнение:

 

       . (19.2)

 

Можно записать гамильтониан в раскрытом виде. Для этого следует вычислить первый член с учетом того, что в общем случае оператор импульса  и векторный потенциал   не коммутируют. Вид их коммутатора известен (обычно задача его вычисления решается на практических занятиях):

                                                       .                (19.3)

Часто для векторного потенциала используют калибровку  и тогда , т.е. операторы коммутируют. Однако в общем случае необходимо использовать общее соотношение (19.3). С его учетом получаем:     

              .  (19.4)

Подставляя (19.4) в (19.2), получим в раскрытом виде временное уравнение Шрёдингера для частицы в электромагнитном поле:

          .       (19.5)

Если положить φ=0 и , то ,

где  - гамильтониан для частицы, когда электромагнитное поле отсутствует.

Рассмотрим частный случай, когда частица – это электрон. Тогда m = m_e, q = - e и вид оператора магнитного момента для него тоже известен:

                   .         (19.6)

Тогда временное уравнение Шрёдингера (19.2) принимает вид:

.   (19.7)

 

Это есть уравнение Паули. Иными словами, уравнение Паули – это временное уравнение Шрёдингера для частицы в электромагнитном поле, только это конкретная частица – электрон.

 

 

Лекция 20

ДВИЖЕНИЕ ЧАСТИЦЫ В ЦЕНТРАЛЬНОМ ПОЛЕ – ОБЩИЕ СВОЙСТВА

 

Рассмотрим движение микрочастицы в поле, силовое воздействие которого на нее зависит от расстояния до центра силы, но не зависит от направления. Иными словами, потенциальная энергия частицы , или в сферических координатах r, θ, φ . Такое поле называется центральным.

 С соответствующим гамильтонианом будут коммутировать операторы момента импульса ,

, так как они действуют только на угловые переменные, и инверсии, т.е.

        .   (20.1) 

Как следствие, интегралами движения у такой частицы будут энергия E (гамильтониан сам с собой тоже коммутирует), квадрат момента импульса  (орбитальное квантовое число ), компонента момента импульса  (магнитное квантовое число ) и четность  (см. пример 2 в лекции 15). Волновая функция будет находиться из уравнения Шрёдингера. Как известно (см. свойство 1 в лекции 6), если операторы коммутируют, то у них должна быть общая система собственных функций.

Вследствие (20.1) волновая функция частицы в центральном поле должна одновременно удовлетворять уравнениям:

                    ;                (20.2)

     , ; (20.3)

; (20.4)

                .        (20.5)

Потенциальная энергия частицы в центральном поле не зависит от угловых переменных, поэтому удобно искать решение уравнений (20.2)-(20.5) в сферической системе координат, т.е. . Как известно (см. (15.7) и (15.13)), решением уравнений (20.3) и (20.4) является сферическая функция . Она же удовлетворяет и уравнению (20.5), как это было показано в примере 2 в лекции 15. Следовательно, при решении уравнения Шрёдингера (20.2) волновую функцию можно искать в виде: