Свойства стационарных состояний

1.  Волновые функции в виде (11.10) или (11.11) образуют полную систему, т.е. допускают разложение произвольной функции :

,

если спектр энергий дискретный, и

,

если спектр энергий непрерывный.

 

2.  Плотность вероятности  и плотность тока вероятности   не изменяются с течением времени.

По определению (см. (4.3)) и с учетом (11.9) получаем:

,

что и требовалось доказать. Аналогично с использованием формул (10.5) и (11.9) (в этом

случае ξ = ) доказывается, что .

3.   Среднее значение физической величины от времени не зависит.

Если микросистема находится в состоянии с волновой функцией , то по определению (8.1) среднее значение физической величины F

.

Подстановка в это выражение волновой функции в виде (11.9) дает утверждаемое выше:

.

4.  Вероятность результата измерения физической величины не изменяется с течением времени.

Пусть микросистема находится в стационарном состоянии . Рассмотрим, например, физическую величину F с дискретным спектром. Тогда вероятность того, что F = F_n, будет (см. (8.9)):

 ,

что и требовалось доказать.

 

 

 

Лекция 12

СООТНОШЕНИЕ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ

 

Предположим, что нас интересуют две физических величины F и G, например, L_z и , или x и p_x,

или L_x и L_y и пр. Соответственно предполагается, что известны их операторы  и , а также коммутатор

             .          (12.1)

Оператор может быть любым - нулем (тогда операторы  и  коммутируют), константой или оператором. Например, операторы и коммутируют и  , для операторов x и , а для операторов  и .

Если известно состояние микрочастицы, т.е. ее волновая функция (включать в аргумент время не будем), то можно будет вычислить средние значения  и  по формуле (8.1):

;

.

Можно ввести операторы отклонения от среднего значения:  и . Так как средние значения  и  - это константы, то коммутатор операторов  и   будет таким же, как и операторов  и :

   . (12.2)

С помощью операторов  и  можно рассчитать среднеквадратичные отклонения  и  для физических величин F и G:

;

.

Именно они используются для количественной характеристики разброса, т.е. неопределенности, значений физических величин F и G при их экспериментальном измерении. Если, например, , то разброс отсутствует и величина F имеет вполне определенное значение. В классической физике величины  и  никак не связаны друг с другом. Однако в квантовой механике такая взаимосвязь может возникнуть, и именно она фиксируется соотношением неопределенностей.

Получим это соотношение. Пусть есть три линейных эрмитовых оператора ,  и , и они связаны коммутационным соотношением

                        ,                  (12.3)

или

                       .             (12.3^*)

Введем очевидное неравенство:

                .         (12.4)

Здесь  - волновая функция микрочастицы (время включать в аргумент не будем), α – произвольный параметр (будем считать его действительным, т.е.

α = α ^*). Очевидность неравенства (12.4) в том, что под знаком интеграла стоит всюду неотрицательная величина, а потому и сам интеграл будет неотрицательным. Раскроем неравенство (12.4):

 

.

Здесь для подчеркнутых операторов были использованы их свойства эрмитовости (см. (5.6)), определение среднего значения (см. (8.1), знак  означает усреднение), а также соотношение (12.3^*).

Итак, получено:

                       .      (12.5)

Функция y (α) имеет вид параболы и, если ее нарисовать в плоскости (α, y), то ни при каких значениях α она не должна пересекать ось абсцисс

(), но может ее касаться сверху (). Иными словами, квадратное уравнение по параметру α, т.е. уравнение , не должно иметь действительных корней, но их величины могут и совпадать. Как известно из алгебры, два корня x ₁ и x ₂ квадратного уравнения  имеют вид:

 .

Отсюда следует, что, если

 → ,

действительных корней либо не будет (знак “>”), либо они будут совпадать (знак “=”). Соответственно, полагая , получаем условие выполнения соотношения (12.5):

                       .               (12.6)

Операторы ,  и  - произвольные, и можно выбрать их как физические операторы: ,  и . Подставляя их в (12.6), получаем соотношение неопределенностей для физических величин F и G:

    .          (12.7)

Из него следует, что среднеквадратичные значения физических величин  и действительно не будут независимы, если величина . Более того, если, например, величина , т.е. F имеет определенное значение, то , т.е. G не будет иметь определенного значения. И, наоборот, если , то , и физическая величина F не будет иметь определенного значения.

В классической физике такого не бывает!

Рассмотрим частный случай соотношения неопределенностей (12.7), положив F = x и G = p_x. Поскольку коммутатор , то  и . Соотношение неопределенностей (12.7) тогда принимает вид:

               .           (12.8)

Это соотношение неопределенностей Гейзенберга, полученное им в 1925 г. Иногда его записывают

в упрощенном виде:

                             ,                (12.9)

подразумевая под величинами Δ x и Δp_x неточности в значениях координаты x и проекции импульса p_x на ось x при их экспериментальном измерении у микрочастицы. Из (12.9) прямо следует, что у микрочастицы понятие траектории отсутствует в классическом ее понимании. Действительно, движение частицы по траектории означает, что в любой момент времени для точно заданной координаты x можно указать точное значение проекции импульса p_x и наоборот. А из соотношения (12.9) следует, что чем точнее измеряется координата, т.е. Δ x →0, тем неопределеннее будет проекция импульса, так как Δp_x → . И, наоборот, если Δp_x →0,

 то Δ x → .

Дифракция электронов на одной щели.

 

Соотношение неопределенностей утверждает,

что для характеристики состояния микрочастицы нельзя использовать физические величины из классической физики, если их операторы не коммутируют. Для этой цели следует применять только те из них, которые являются интегралами состояния.

 

                    

Лекция 13

ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ОПЕРАТОРОВ ПО ВРЕМЕНИ И ИНТЕГРАЛЫ СОСТОЯНИЯ КВАНТОВОЙ СИСТЕМЫ

 

Предположим, что оператор физической величины действует не только на координаты микрочастиц ξ, но еще зависит и от времени t, т.е. . Если известна волновая функция системы Ψ(ξ, t), можно вычислить среднее значение :

          .       (13.1)

Продифференцируем это соотношение по времени:

 .

Для удобства в последнем интеграле производная  переставлена с функцией .

Подставим сюда производные  и , взяв их из временного уравнения Шрёдингера

(  - гамильтониан):

; .

       (13.2)

Введем оператор , который называется «производной оператора по времени»:

         . (13.3)

Здесь - коммутатор операторов   и .

Сравнивая (13.2) и (13.3), получаем:  

                           .                     (13.4)

Это соотношение позволяет вычислять величину , используя определение (13.3) оператора .

Если среднее значение физической величины не изменяется с течением времени, то такая физическая величина называется интегралом состояния системы. Из соотношения (13.4) следует, что это будет тогда, когда . Как видно из (13.3), для этого от оператора  требуется выполнение двух условий:

1. , т.е. оператор  не должен явно зависеть от времени;

2. , т.е. оператор  должен коммутировать с гамильтонианом .

Для физических операторов первое условие выполняется, поэтому необходимо вычислять их коммутаторы с гамильтонианом. Если для каких-то из них коммутаторы будут равны нулю, то эти физические величины и будут интегралами состояния микросистемы.

 

 

Лекция 14

СВОЙСТВА ПРОСТРАНСТВА-ВРЕМЕНИ

 И ИНТЕГРАЛЫ СОСТОЯНИЯ КВАНТОВОЙ СИСТЕМЫ: ЭНЕРГИЯ И ИМПУЛЬС

 

В классической механике показывается, что существование интегралов движения у частицы или системы частиц есть следствие однородности времени и однородности или изотропии пространства. Аналогичное положение имеет место и в квантовой механике, и это позволяет получить вид операторов тех физических величин, которые являются интегралами состояния микросистемы.