Из протонов, атомов и молекул.

Это означало, что при движении волновые свойства проявляют все микрочастицы. Следовательно, дуализм «волна-частица» для микрочастиц –

это закон природы!

Физическая интерпретация волн де Бройля

Сначала делались попытки совместить наличие волновых свойств у микрочастиц с классическими понятиями.

1. Сами микрочастицы – это образование из волн. Теоретически такое образование из волн действительно можно создать – это так называемый «волновой пакет».

Эта идея была отвергнута, т.к. противоречит атомизму микрочастиц – они в природе всегда проявляют себя как целое.

Волны де Бройля появляются только в среде из одинаковых микрочастиц и состоят из них.

Это предположение было опровергнуто экспериментально.

В опытах, аналогичных опыту Дэвиссона-Джермира, частицы пропускались через кристалл практически по отдельности (пучок был очень малой плотности), но дифракционная картина получалась такая же.

Принципиально новую трактовку волн де Бройля предложил М.Борн.

 

Для обычных волн их интенсивность определяет энергию, сосредоточенную в данном месте пространства в данный момент времени.

По М.Борну интенсивность волн де Бройляопределяет только вероятность обнаружения микрочастицы в данном месте пространства в данный момент времени.

Из оптики известно, что интенсивность волны определяет квадрат ее амплитуды a ². Для волны де Бройля в виде (3.3), содержащей мнимую единицу i, интенсивность получится следующим образом:

.   

Таким образом, вероятность найти свободно движущуюся микрочастицу в момент времени t в пространственной точке   определяется величиной:

                             .        (3.5)

  Эта вероятностная,

или статистическая, трактовка

Волн де Бройля в настоящее время  

Является общепринятой

И лежит в основе квантовой механики.

Лекция 4

ВОЛНОВАЯ ФУНКЦИЯ

 

Волна де Бройля   соответствует движению свободной микрочастицы. Если на микрочастицу будет действовать силовое поле, то вид волны будет другой, и мы обозначим его как  . Это так называемая «волновая функция».

Частица в потенциальной яме

 с бесконечно высокими стенками

Физический смысл волновой функции остается таким же, как и у волны де Бройля:

квадрат модуля волновой функции определяет вероятность обнаружения микрочастицы   в данном месте пространства

в момент времени t.

 

                                     .    (4.1)

Возьмем элемент объема dV (иначеего обозначают как d ³ r, в декартовой системе координат (x, y, z) →

dV = dx ۰ dy ۰ dz, в сферической системе координат

(r, θ, φ) → dV = r ² ۰ dr ۰ dΩ, где dΩ = sinθ ۰ dθ ۰ dφ

– элемент телесного угла). Тогда дифференциальная вероятность dw обнаружить микрочастицу в этом элементе объема будет (по М. Борну):

          .        (4.2)

Величина    называется плотностью вероятности:

               .          (4.3)

По теореме сложения вероятностей вероятность обнаружить микрочастицу вообще где-то в пространстве  будет достоверным событием. Следовательно,

                      .                (4.4)

Это условие нормировки волновой функции. Оно используется для определения произвольной константы, которая обычно возникает при нахождении волновой функции. Эта константу называют нормировочной.

От волновой функции требуется выполнение стандартных условий. Это:

а) конечность; б) непрерывность; в) однозначность.

Суммируем сказанное.

Если микрочастица не одна и их количество N, то волновая функция будет зависеть от координат всех микрочастиц: . Тогда величина дает в момент времени tвероятностьодновременного обнаружения

всех частиц, каждую в своей пространственной точке  (i = 1, 2,…, N).

Условие нормировки будет иметь вид:

        .

Часто весь набор координат    обозначают одной буквой ξ, т.е. ξ = ( ). Тогда  .

Лекция 5

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФОРМАЛИЗМ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ. ОПЕРАТОРНЫЙ ФОРМАЛИЗМ

 

Микрочастицы обладают как свойствами частиц, так и волн – это «корпускулярно-волновой дуализм». Как следствие, математический аппарат классической физики для них не применим. Для описания состояния микрочастиц используется операторный формализм.

    

Пусть имеются две функции одного класса:  и . Если есть математическая операция (обозначим ее ), которая переводит функцию  в функцию , т.е. = , то  - это и есть оператор.

Иными словами, оператор – это символ, который показывает, какое действие следует произвести над функцией данного класса, чтобы получить другую функцию того же класса.

Арифметика операторов.

Сложение операторов

Оператор  называется суммой операторов  и , если результаты действия на произвольную функцию Ψ операторов  и  будут одинаковы:

                       Ψ = Ψ Ψ.                      (5.1)

Естественно, что вместо знака (+)