Постулат 1. О волновой функции

Волновая функция Ψ(ξ, t) полностью определяет состояние системы в данный момент времени t. Величина  определяет вероятность обнаружения N микрочастиц соответственно в точках  в момент времени t.

Постулат 2. О принципе суперпозиции

Если система может находиться в состоянии, которому соответствует волновая функция Ψ₁(ξ, t), или Ψ₂(ξ, t),…, или Ψ _n (ξ, t),…, то она может находиться и в состоянии, которому соответствует волновая функция

 .

Сложное состояние с волновой функцией Ψ(ξ, t) называют суперпозицией «простых» состояний с волновыми функциями Ψ _n (ξ, t) (n =1, 2, …).

Дифракция электрона на кристалле. Волновая функция электрона

до → ; после → .

До прохождения кристалла у электрона импульс был , после прохождения кристалла он не имеет определенного значения.

Кот Шрёдингера: .

Измерение в квантовой механике разрушает суперпозицию и делает состояние микрочастицы определенным.

 

Постулат 3. О физических операторах квантовой механики

Постулируется:

Каждой динамической переменной классической механики в квантовой механике сопоставляется линейный эрмитовый оператор. Соотношение между операторами такое же, как и между динамическими переменными в классической механике.

В классической механике для характеристики состояния системы используются динамические переменные:

 - координата,  - импульс,  - момент импульса (иначе – момент количества движения), E - энергия.

Квантовая механика использует операторный формализм.

Физические операторы имеют вид (вид некоторых из них впоследствии будет обоснован из свойств пространства-времени и законов сохранения):

а). Оператор координаты .

Его действие на функцию сводится просто к умножению этой функции на соответствующую координату, т.е.

;

аналогично действие операторной функции  от сводится просто к умножению на функцию , т.е.

.

б). Оператор импульса .

  .       (7.1)

Соответственно векторный оператор импульса имеет вид:

 . (7.2)

Таким образом,  выражается через известный в векторной алгебре оператор «набла»:

               .              (7.3)

в). Оператор момента импульса .

В классической механике оператор момента импульса имеет вид:   (  - знак векторного произведения). В соответствии с постулатом 3 оператор момента импульса будет иметь вид:

                                 .                      (7.4)

 

  =

=  =

=  .    

Отсюда следует, что компоненты векторного  оператора  имеют вид:

 

. (7.5)

Наряду с операторами   обычно рассматривают и оператор квадрата момента импульса  :

                                       (7.6)

Операторы  определены выше в декартовой системе координат (x, y, z), и

оператор , рассчитанный по ф-ле (7.6), также получится в этой системе координат.

Поскольку физически момент импульса связан с поворотами системы в пространстве, часто удобнее пользоваться его определением в сферической системе координат (r, θ, φ). В этой системе наиболее используемые на практике операторы  и имеют вид:

    . (7.7) 

г). Оператор энергии

Приведем сначала вид оператора кинетической энергии . В классической механике выражение для кинетической энергии имеет вид:

.

Здесь m и - масса и скорость частицы, - ее импульс. В квантовой механике вводится лишь оператор импульса. Тогда в соответствии с постулатом 3 оператор кинетической энергии будет иметь вид:

. (7.8)

Δ – оператор Лапласа. Здесь использован вид операторов и  (см. ф-лы (7.2) и (7.3)) и учтено, что

     .     (7.9)

В классической механике полная энергия частицы равна:

 .

Здесь  - потенциальная энергия частицы,  - функция Гамильтона. В соответствии постулатом 3 оператор полной энергии микрочастицы будет иметь вид:

                .           (7.10)

 называется оператором Гамильтона. В явном виде

                         ,                  (7.11)

или

                         .                    (7.12)

Нередко требуется оператор Гамильтона не в декартовой,

 а в сферической системе координат.

Он имеет вид:

         .    (7.13)

 

Таблица физических операторов