Параметрическое оценивание СПМ

    Полученные операторные представления ряда x (k) обеспечивают, в частности, возможность проведения параметрического спектрального анализа:

• если , т.е. то его спектральная плотность мощности имеет вид

;

• если , т.е. то его спектральная плотность мощности имеет вид

.

Чтобы получить минимальное представление, содержащее наименьшее число параметров, желательно учесть в модели обе компоненты, так что

или, в операторной форме,

Такую модель называют моделью авторегрессии со скользящим средним:  или  Спектральная плотность мощности такого процесса имеет вид

.

Авторегрессия: процессы Маркова и Юла

   Временной ряд { x (k)} называется процессом Маркова, если он удовлетворяет модели авторегрессии первого порядка AR (1):

Очевидно,

поэтому при  если , то  

если , то ряды расходятся. Это значит, что смоделированный таким образом процесс

   Временной ряд { x (k)} называется процессом Юла, если он удовлетворяет модели авторегрессии второго порядка AR (2):

                (8.8)

или  где  Условие устойчивости состоит в том, что оба корня полинома должны лежать внутри единичного круга комплексной плоскости. В терминах коэффициентов a ₁, a ₂ это означает, что они должны лежать внутри треугольника, приведенного на рис. 8.6. Спектральная плотность процесса (8.8) имеет вид

Контрольные вопросы

1. Формирующий фильтр

2. Отбеливающий фильтр

3. Условия стационарности и обратимости

4. Параметрическое оценивание СПМ

5. Процесс Маркова и его свойства

6. Процесс Юла и его свойства

Задания на лабораторную работу № 8

1. Сформировать выборку из стационарного процесса Юла

2. Интерпретировать ее как выходной сигнал системы, на вход которой подан гауссов белый шум.

3. Оценить СПМ процессов на входе и выходе в параметрической и в непараметрической форме

4. Проверить на данном примере выполнение основной теоремы теории линейных систем.

ОЦЕНИВАНИЕ ПАРАМЕТРОВ МОДЕЛЕЙ

Уравнения Юла-Уокера

   Уравнения, связывающие значения корреляционной функции процесса с ко­эффициентами a_i, b_j, называют уравнениями Юла-Уокера.

  Пример 9.1. Пусть временной ряд { x (k)} удовлетворяет модели авторегрессии второго порядка AR (2) - процесс Юла, уравнение (8.9). При моделировании такого ряда нужно обеспечить выполнение условий M x (1)=M x (2)=0, тогда, очевидно, M x (k)=0 для всех k. Требуется получить уравнения для ковариаций

K (j)=M[ x (k) x (k – j) ], .

Возьмем основное уравнение (11)

домножим обе его части на x (k -1), x (k -2), x (k - j),  и перейдем в полученных соотношениях к математическим ожиданиям:

В формировании значений x (k -1), x (k -2),… участвуют случайные составляющие с номерами только до k -1, поэтому

,

В терминах ковариаций K (j) получаем систему уравнений

                                      (9.1)

откуда

Обратно, если известны ковариации, то

Если известны оценки нескольких ковариаций, то оценки коэффициентов a ₁, a ₂ можно получить из системы (9.1) по МНК.

  Пример 9.2. Пусть временной ряд { x (k)} удовлетворяет модели ARMA (1,1):

                       (9.2)

Если обеспечить условие M x (1)=0, то, очевидно, M x (k)=0 для всех k. Требуется получить уравнения для ковариаций

K (j)=M[ x (k) x (k – j) ], .

   a) Возьмем основное уравнение (13), домножим обе его части на x (k -2) и перейдем в полученных соотношениях к математическим ожиданиям:

т.е. K_x (2)= aK_x (1),  Аналогично получаем, что для всех j

K_x (j+1)= aK_x (j), так что K_x (j +1)= a ^j K_x (1).

   Рассмотрим новый процесс

                                                (9.3)

и вычислим его дисперсию и первую ковариацию двумя способами.

b) Из первого выражения для y (k) в (9.3)

но, как показано в пункте a), K_x (2)= aK_x (1), поэтому

                                       

c) Из второго выражения для y (k) в (9.3)

Приравнивая выражения для моментов, полученные двумя разными способами, приходим к системе уравнений Юла-Уокера:

Таким образом, если имеются значения коэффициентов a, b, или их оценки, то

В то же время, если известны значения, например, K_x (0), K_x (1), K_x (2), то уравнения для нахождения a, b, оказываются нелинейными и параметры процесса определяются неоднозначно. Существует договоренность, согласно которой из нескольких решений та­кой системы уравнений выбирают то единственное решение, для которого выполняются условия устойчивости и обратимости. Такое решение назы­вают минимально-фазовым.