Параметрическое оценивание СПМ



Мы поможем в написании ваших работ!


Мы поможем в написании ваших работ!



Мы поможем в написании ваших работ!


ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?

Параметрическое оценивание СПМ



    Полученные операторные представления ряда x(k) обеспечивают, в частности, возможность проведения параметрического спектрального анализа:

  • если , т.е. то его спектральная плотность мощности имеет вид

;

  • если , т.е. то его спектральная плотность мощности имеет вид

.

Чтобы получить минимальное представление, содержащее наименьшее число параметров, желательно учесть в модели обе компоненты, так что

или, в операторной форме,

Такую модель называют моделью авторегрессии со скользящим средним:  или  Спектральная плотность мощности такого процесса имеет вид

.

Авторегрессия: процессы Маркова и Юла

   Временной ряд {x(k)} называется процессом Маркова, если он удовлетворяет модели авторегрессии первого порядка AR(1):

Очевидно,

поэтому при  если , то  

если , то ряды расходятся. Это значит, что смоделированный таким образом процесс

   Временной ряд {x(k)} называется процессом Юла, если он удовлетворяет модели авторегрессии второго порядка AR(2):

                (8.8)

или  где  Условие устойчивости состоит в том, что оба корня полинома должны лежать внутри единичного круга комплексной плоскости. В терминах коэффициентов a1, a2 это означает, что они должны лежать внутри треугольника, приведенного на рис. 8.6. Спектральная плотность процесса (8.8) имеет вид

Контрольные вопросы

1. Формирующий фильтр

2. Отбеливающий фильтр

3. Условия стационарности и обратимости

4. Параметрическое оценивание СПМ

5. Процесс Маркова и его свойства

6. Процесс Юла и его свойства

Задания на лабораторную работу № 8

1. Сформировать выборку из стационарного процесса Юла

2. Интерпретировать ее как выходной сигнал системы, на вход которой подан гауссов белый шум.

3. Оценить СПМ процессов на входе и выходе в параметрической и в непараметрической форме

4. Проверить на данном примере выполнение основной теоремы теории линейных систем.

ОЦЕНИВАНИЕ ПАРАМЕТРОВ МОДЕЛЕЙ

Уравнения Юла-Уокера

   Уравнения, связывающие значения корреляционной функции процесса с ко­эффициентами ai, bj, называют уравнениями Юла-Уокера.

  Пример 9.1. Пусть временной ряд {x(k)} удовлетворяет модели авторегрессии второго порядка AR(2) - процесс Юла, уравнение (8.9). При моделировании такого ряда нужно обеспечить выполнение условий Mx(1)=Mx(2)=0, тогда, очевидно, Mx(k)=0 для всех k. Требуется получить уравнения для ковариаций

K( j )=M[ x( k ) x( k – j ) ], .

Возьмем основное уравнение (11)

домножим обе его части на x(k -1) , x(k -2), x(k - j),  и перейдем в полученных соотношениях к математическим ожиданиям:

В формировании значений x(k-1), x(k-2),… участвуют случайные составляющие с номерами только до k-1, поэтому

,

В терминах ковариаций K(j) получаем систему уравнений

                                      (9.1)

откуда

Обратно, если известны ковариации, то

Если известны оценки нескольких ковариаций, то оценки коэффициентов a1, a2 можно получить из системы (9.1) по МНК.

  Пример 9.2. Пусть временной ряд {x(k)} удовлетворяет модели ARMA(1,1):

                       (9.2)

Если обеспечить условие Mx(1)=0, то, очевидно, Mx(k)=0 для всех k. Требуется получить уравнения для ковариаций

K( j )=M[ x( k ) x( k – j ) ], .

   a) Возьмем основное уравнение (13), домножим обе его части на x(k -2) и перейдем в полученных соотношениях к математическим ожиданиям:

т.е. Kx(2)=aKx(1),  Аналогично получаем, что для всех j

Kx(j+1)=aKx(j), так что Kx(j+1)=a j Kx(1).

   Рассмотрим новый процесс

                                                (9.3)

и вычислим его дисперсию и первую ковариацию двумя способами.

b) Из первого выражения для y(k) в (9.3)

но, как показано в пункте a), Kx(2)=aKx(1), поэтому

                                       

c) Из второго выражения для y(k) в (9.3)

Приравнивая выражения для моментов, полученные двумя разными способами, приходим к системе уравнений Юла-Уокера:

Таким образом, если имеются значения коэффициентов a,b, или их оценки, то

В то же время, если известны значения, например, Kx(0), Kx(1), Kx(2), то уравнения для нахождения a, b, оказываются нелинейными и параметры процесса определяются неоднозначно. Существует договоренность, согласно которой из нескольких решений та­кой системы уравнений выбирают то единственное решение, для которого выполняются условия устойчивости и обратимости. Такое решение назы­вают минимально-фазовым.



Последнее изменение этой страницы: 2021-04-05; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы!

infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 35.172.223.30 (0.005 с.)