Тренд и сезонные составляющие

Оценивание тренда может производиться в параметрической и в непараметрической форме. Выше была рассмотрена процедура выделения тренда в параметрической форме, причем гипотезу о классе возможных моделей удалось выдвинуть на основе априорной информации. Основные параметры периодических составляющих сезонной компоненты обычно удается оценить вместе с параметрами тренда с помощью МНК (или одного из родственных методов), используя преобразования типа

C cos (w t + f) = C cos(f)cos(w t) - C sin(f) sin(w t) = = A cos(w t) + B sin(w t).          

При использовании МНК одно из основных исходных предположений состоит в некоррелированности случайных погрешностей измерений. При анализе временных рядов это предположение, как правило, не выполняет­ся. В инженерной практике корреляциями случайных погрешностей при оце­нивании тренда и сезонной составляющей приходится пренебрегать. Обычно при этом ссылаются на асимптотические результаты, оправдывающие такую практику. В действительности при конечном размере выборок корреляции погрешностей могут существенно снижать ожидаемую точность оценивания.

     Процедуры непараметрического оценивания тренда называют   сглаживанием. Наибольшее распространение имеют два подхода : локально-полиноми­альное сглаживание и экспоненциальное сглаживание.

2.3. Локально-полиноми­альное сглаживание

При локально-полиномиальном сглаживании ряда { x_k }, k = 1 ,..., n за­даются двумя параметрами: шириной сглаживающего окна (2 l + 1) и степенью аппроксимирующего полинома р. Для получения сглаженного значения в точке t _k  берут члены ряда

x_{k - l}, x_{k - l + 1} ,..., x_k,..., x_{k + l}

и аппроксимируют их по МНК полиномом степени р. Сглаженное значение в точке t_k  получа­ется как значение этого полинома в точке t_k. Сглаженные значения в крайних правых и в крайних левых точках получаются так же, но точка x_k уже не является центром окна. Легко доказать, что в вычислительном от­ношении эта процедура сводится к суммированию членов ряда, попавших в выбранное окно, с весами, которые определены заранее и зависят от пара­метров l и p. Таблицы таких весов можно найти во всех основных книгах по анализу временных рядов. Эта процедура проиллюстрирована на рис.3, соответствующие сценарии, в том числе программа вычисления весов weights, приведены в Докумен­те 2. 1.

Рис. 2.1. Локально-полиномиальное сглаживание