КОРРЕЛЯЦИОННЫЙ АНАЛИЗ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ



Мы поможем в написании ваших работ!


Мы поможем в написании ваших работ!



Мы поможем в написании ваших работ!


ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?

КОРРЕЛЯЦИОННЫЙ АНАЛИЗ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ



 5.1. Описание и классификация случайных процессов

   Опр. Случайный процесс ξ – это функция двух аргументов ξ = ξ( t,ω ): . В качестве аргумента t чаще всего выступает время, тогда T = [0, ). Процессы с многомерным Т называются случайными полями. Часто приходится рассматривать комплексные процессы ξ(t,ω):  и векторные процессы ξ(t,ω):

  Случайная величина ξ(t0,ω) называется сечением процесса в момент t0

  Функция времени ξ(t00) называется траекторией или выборочной функцией процесса.

  Случайный процесс задается семейством своих конечномерных распределений

где t1,…,tk , A1,…,Ak - борелевские множества из области значений процесса.

  Конечномерные распределения должны обладать следующими свойствами:

  1. При любых фиксированных t1,…,tk  семейство функций является совместным распределением k –мерного случайного вектора.

2.  для любой перестановки i1,…,ik.

3. Если X – область значений процесса, то

Опр. Случайный процесс называется нормальным или гауссовым, если все его конечномерные распределения являются нормальными.

Математическое ожидание и корреляционная функция

Опр. Математическое ожидание:

           Корреляционная функция:

          Дисперсия:

    Для комплексных процессов

  Опр. Случайный процесс называется нормальным или гауссовым, если все его конечномерные распределения являются нормальными.

   Теорема. Гауссов процесс полностью определяется своими математическим ожиданием и корреляционной функцией.

      Действительно, пусть процесс ξ(t) – гауссов, для него заданы его a(t) и K(s,t). Рассмотрим последовательность моментов времени t1<t2<…<tn и соответствующий случайный вектор  Он заведомо является гауссовым,

:

Для двух процессов рассматривается еще их взаимная корреляционная функция

Свойства корреляционной функции

1.  для комплексных процессов

2. Для любых t1,…,tn из T и любых z1,…,zn из С

Такие функции называются неотрицательно определенными ядрами.

Действительно,

3. Теорема. Если a(t) – произвольная, а K(s,t) удовлетворяет на условиям 1,2, то существует гауссов случайный процесс ξ(t), для которого

Mξ(t) = a(t), Kξ(s,t) = K(s,t).

4.

Это следует из очевидного неравенства a2+b2  2ab.

5.

Это следует из неравенства Коши-Буняковского

6. Если K(s,t) непрерывна на диагонали, т.е. K(s,s) непрерывна, то она непрерывна во всех точках .

Действительно,

.

Аналогично доказывается, что если K(s,t) дифференцируема на диагонали, т.е. K(s,s) дифференцируема, то она дифференцируема во всех точках .

7. Kξη(s,t) непрерывна тогда и только тогда, когда непрерывна Kξη(s,s);

8. Kξη(s,t) дифференцируема тогда и только тогда, когда дифференцируема Kξη(s,s).



Последнее изменение этой страницы: 2021-04-05; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы!

infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 18.204.48.64 (0.009 с.)