Корреляционный и спектральный анализ детерминированных процессов

Пространство сигналов

Пусть на выходе некоторого измерительного устройства наблюдается сигнал x (t), представляющий собой зависимость напряжения от времени. Если к резистору с сопротивлением R приложено постоянное напряжение U, то выделяющаяся мощность равна

за время Т на резисторе выделится тепловая энергия

Если к этому резистору приложено переменное напряжение x (t), то за время [ Т ₁, T ₂] на нем выделится энергия

средняя мощность за это время

Полагая R =1, получаем определения энергии и средней мощности, принятые в теории сигналов. Если x (t) измеряется в вольтах (В), а время – в секундах (с), то мощность имеет размерность В², а энергия - В²с.

    Если полная энергия x (t) конечна,

то такой сигнал называют интегрируемым с квадратом, или сигналом с ограниченной энергией. Многие важные соотношения теории сигналов требуют предположения о конечности энергии. Если это условие не выполняется (например, для периодических функций), приходится использовать специальные подходы, например, использовать аппарат обобщенных функций.

     Наиболее распространенная обобщенная функция – дельта-функция или функция Дирака δ(t). Ее можно представить как бесконечно узкий импульс с бесконечной амплитудой, сосредоточенный в точке t =0, при этом

Важнейшее свойство дельта-функции состоит в том, что для любой интегрируемой функции f (t), определенной в точке t ₀, выполняется следующее соотношение:

4.2. Преобразование Фурье

  Прямым преобразованием Фурье сигнала x (t) называется функция

спектральная функция   x (t), f – частота в герцах. Обратное преобразование имеет вид

                                                (4.1)

   Процесс x (t) дает представление сигнала в виде функции времени. Физический смысл F (f) состоит в том, что она дает представление того же сигнала в виде функции частоты. Для энергии сигнала выполняется равенство Релея

и его частный случай - равенство Парсеваля- Стеклова:

В этой связи величину

рассматривают как энергию сигнала в диапазоне частот [ f ₁, f ₂ ].

   Если x (t) – вещественная функция, то значения спектральной функции на частотах f и – f являются комплексно-сопряженными:

F (- f) = F *(f).

Если x (t) – четная функция, то F (f) - вещественная четная. Если x (t) – нечетная функция, то F (f) – чисто мнимая нечетная.

   Модуль спектральной функции A (f) = | F (f) | называют амплитудным спектром, а аргумент φ(f) - фазовым спектром. Размерность амплитудного спектра та же, что у исходного сигнала (В), фазовый спектр – величина безразмерная. Для вещественного сигнала амплитудный спектр является четной, а фазовый – нечетной функцией частоты:

| A (- f)|= | A (f) |; φ(- f)= - φ(f).

   Произведение длительности сигнала на ширину его спектра (база сигнала) не может быть меньше единицы (принцип неопределенности). Из этого следует, что можно сформировать сигнал большой длительности с широким спектром, но короткий сигнал с узким спектром существовать не может.

   Квадрат модуля спектральной функции сигнала S (f)=| F (f) |² называют спектральной плотностью мощности или энергетическим спектром. Его размерность – В².

  Корреляционная функция K (τ) сигнала x (t) с конечной энергией определяется как интеграл от произведения двух копий сигнала, сдвинутых на время τ:

Она показывает степень сходства между сигналом и его сдвинутой копией: чем она больше, тем сходство сильнее. Очевидно, что

и что при всех τ K (τ) ≤ K (0). Замечательный факт состоит в том, что корреляционная функция не зависит от фазового спектра сигнала и определяется только его энергетическим спектром по формулам:

Размерность K (τ) - В²с.

    К сожалению, этот подход годится только для сигналов с конечной энергией. Для периодических процессов с периодом T корреляционную функцию приходится вычислять, усредняя произведение сдвинутых копий в пределах одного периода

так что K (τ) является периодической функцией с периодом T, K (0) равно не энергии, а средней мощности, а ее размерность – не В²с, а В².