КОРРЕЛЯЦИОННЫЙ И СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ ДЕТЕРМИНИРОВАННЫХ ПРОЦЕССОВ



Мы поможем в написании ваших работ!


Мы поможем в написании ваших работ!



Мы поможем в написании ваших работ!


ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?

КОРРЕЛЯЦИОННЫЙ И СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ ДЕТЕРМИНИРОВАННЫХ ПРОЦЕССОВ



Пространство сигналов

Пусть на выходе некоторого измерительного устройства наблюдается сигнал x(t), представляющий собой зависимость напряжения от времени. Если к резистору с сопротивлением R приложено постоянное напряжение U, то выделяющаяся мощность равна

за время Т на резисторе выделится тепловая энергия

Если к этому резистору приложено переменное напряжение x(t), то за время [Т1,T2] на нем выделится энергия

средняя мощность за это время

Полагая R=1, получаем определения энергии и средней мощности, принятые в теории сигналов. Если x(t) измеряется в вольтах (В), а время – в секундах (с), то мощность имеет размерность В2, а энергия - В2с.

    Если полная энергия x(t) конечна,

то такой сигнал называют интегрируемым с квадратом, или сигналом с ограниченной энергией. Многие важные соотношения теории сигналов требуют предположения о конечности энергии. Если это условие не выполняется (например, для периодических функций), приходится использовать специальные подходы, например, использовать аппарат обобщенных функций.

     Наиболее распространенная обобщенная функция – дельта-функция или функция Дирака δ(t). Ее можно представить как бесконечно узкий импульс с бесконечной амплитудой, сосредоточенный в точке t =0, при этом

Важнейшее свойство дельта-функции состоит в том, что для любой интегрируемой функции f(t), определенной в точке t0, выполняется следующее соотношение:

4.2. Преобразование Фурье

  Прямым преобразованием Фурье сигнала x(t) называется функция

спектральная функция  x(t), f – частота в герцах. Обратное преобразование имеет вид

                                                (4.1)

   Процесс x(t) дает представление сигнала в виде функции времени. Физический смысл F( f ) состоит в том, что она дает представление того же сигнала в виде функции частоты. Для энергии сигнала выполняется равенство Релея

и его частный случай - равенство Парсеваля- Стеклова:

В этой связи величину

рассматривают как энергию сигнала в диапазоне частот [ f1, f2 ].

   Если x(t) – вещественная функция, то значения спектральной функции на частотах f и –f являются комплексно-сопряженными:

F( -f ) = F*( f ).

Если x(t) – четная функция, то F(f ) - вещественная четная. Если x(t) – нечетная функция, то F(f ) – чисто мнимая нечетная.

   Модуль спектральной функции A( f ) = | F( f ) | называют амплитудным спектром, а аргумент φ( f ) - фазовым спектром. Размерность амплитудного спектра та же, что у исходного сигнала (В), фазовый спектр – величина безразмерная. Для вещественного сигнала амплитудный спектр является четной, а фазовый – нечетной функцией частоты:

| A( -f )|= | A( f ) |; φ( -f )= - φ( f ).

   Произведение длительности сигнала на ширину его спектра (база сигнала) не может быть меньше единицы (принцип неопределенности). Из этого следует, что можно сформировать сигнал большой длительности с широким спектром, но короткий сигнал с узким спектром существовать не может.

   Квадрат модуля спектральной функции сигнала S( f )=| F( f ) |2 называют спектральной плотностью мощности или энергетическим спектром. Его размерность – В2.

  Корреляционная функция K(τ) сигнала x(t) с конечной энергией определяется как интеграл от произведения двух копий сигнала, сдвинутых на время τ:

Она показывает степень сходства между сигналом и его сдвинутой копией: чем она больше, тем сходство сильнее. Очевидно, что

и что при всех τ K(τ) ≤ K(0). Замечательный факт состоит в том, что корреляционная функция не зависит от фазового спектра сигнала и определяется только его энергетическим спектром по формулам:

Размерность K(τ) - В2с.

    К сожалению, этот подход годится только для сигналов с конечной энергией. Для периодических процессов с периодом T корреляционную функцию приходится вычислять, усредняя произведение сдвинутых копий в пределах одного периода

так что K(τ) является периодической функцией с периодом T, K(0) равно не энергии, а средней мощности, а ее размерность – не В2с, а В2.



Последнее изменение этой страницы: 2021-04-05; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы!

infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 35.172.223.30 (0.008 с.)