Стационарные процессы в линейных системах



Мы поможем в написании ваших работ!


Мы поможем в написании ваших работ!



Мы поможем в написании ваших работ!


ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?

Стационарные процессы в линейных системах



  Линейная система – это оператор A, на вход которого подается процесс x(t), а на выходе получается процесс y(t)=Ax(t), при этом для любой линейной комбинации αx1(t)+βx2(t

A[ αx1(t) + βx2(t) ]= αAx1(t) + βAx2(t).

Операторы с такими свойствами хорошо известны, в частности, это производная и интеграл. Оказывается, что любая линейная система имеет представление в виде интеграла

В подавляющем большинстве практически важных случаев можно считать, что свойства выходного сигнала в момент t зависят только от прошлых значений входного сигнала x(s), поэтому  при s>t, так что интеграл берется в пределах от 0 до t:

Функцию w(t,s) называют весовой функцией линейной системы. Если w(t,s) зависит только от разности t-s, w(t,s)=w(t-s,0), система называется однородной. Физически это означает, что свойства системы постоянны в любой момент времени. Весовую функцию такой системы обозначают w(τ):

                                           (6.3)

так что выход такой системы – это просто свертка входного сигнала и весовой функции, а универсальный аппарат для работы со свертками – это преобразование Лапласа L.

    Если x(s)=δ(s), т.е. на вход системы подается короткий импульс, моделируемый как дельта-функция, то, согласно (6.2),   

Это значит, что весовую функцию линейной системы можно оценить экспериментально, подавая на вход системы короткие импульсы в различные моменты s.

     Если входной сигнал имеет постоянную составляющую a=Mx(t), то его нужно рассматривать как сумму этой составляющей и центрированного сигнала с нулевым математическим ожиданием. Постоянная составляющая преобразуется по основной формуле (3). Дальнейшие рассмотрения касаются центрированного сигнала x(t) с нулевым математическим ожиданием.

   Преобразование Лапласа весовой функции

                                                   (6.4)

называют передаточной функцией системы. В большинстве случаев весовая функция быстро убывает с ростом τ, поэтому сходимость интеграла в (6.4) обеспечена и передаточную функцию можно рассматривать для чисто мнимых значений ее аргумента. Такую функцию φ(iu) называют амплитудно-фазовой частотной характеристикой или, короче, спектральной характеристикой системы.

   Основная теорема теории линейных систем. Спектральные плотности входного Sx(u) и выходного Sy(u) сигналов связаны соотношением

   Доказательство. Вычислим двумя способами автокорреляционную функцию Ky(s,t) выходного сигнала y(t). Можно заранее предположить, что она зависит только от разности

 s - t. С одной стороны,

                                     (6.5)

С другой стороны,

Подставим вместо x(s1) и x(s2) их представления по формуле (6.1) и изменим порядок интегрирования:

Введем в двух первых интегралах вместо s1 и t1 новые переменные s2 и t2 по формулам s2=s- s1, t2=t- t1. Тогда разность под знаком экспоненты приобретет следующий вид:

s1 - t1 = s - s2 t + t2 = (s - t) – (s2 - t2).

Окончательно имеем:

     (6.6)

Сравнивая две формулы для автокорреляционной функции (4) и (5), видим, что, действительно,

    Взаимная спектральная плотность входа и выхода Sxy(u) определяется как обратное преобразование Фурье от взаимной корреляционной функции

В отличие от обычной спектральной плотности она обычно не является вещественной и положительной.

  Теорема.  

   Доказательство этой формулы полностью аналогично приведенному выше доказательству основной теоремы.

    Пример 6.1. Оператор дифференцирования.

    Пусть x(t) – стационарный случайный процесс с нулевым математическим ожиданием. Для обеспечения сходимости интегралов потребуем, чтобы его спектральная плотность Sx(u) удовлетворяла условию

.

Рассмотрим линейное преобразование со спектральной характеристикой φ(iu) = iu. Запишем эту характеристику в виде

.

Тогда на выходе линейной системы получается процесс

В частности, это означает, что при ограничениях, обеспечивающих сходимость интегралов, спектральное представление (1) можно дифференцировать по t под знаком интеграла:

                    (6.7)

    Пример 6.2. Решение линейного стохастического дифференциального уравнения.

     Пусть линейная система задана в виде дифференциального уравнения , или, в более общем виде, Ay = x(t), где A  - линейный дифференциальный оператор. Ему ставится в соответствие характеристический полином A(iu) = (iu)2 - 2(iu) + 2. Входным сигналом является стационарный случайный процесс x(t) с нулевым средним и спектральной плотностью Sx(u). Тогда, согласно результатам примера 6.1,

Ay= ,

так что dФx(u)=A(iu)dФy(u). Тогда, повторяя рассуждения, проведенные выше при доказательстве основной теоремы теории линейных систем, получаем связь между спектральными плотностями:

На практике линейные системы часто предпочитают описывать линейными дифференциальными уравнениями вида Ly(t) = x(t),

.

Пусть  - характеристический многочлен дифференциального оператора L, тогда передаточная функция имеет вид φ(p) = [ L(p) ]-1, так что

Прямое численное решение линейных стохастических дифференциальных уравнений может приводить к несколько различным временным рядам в зависимости от метода интегрирования. Обычно удовлетворительные результаты дает модифициро­ванный метод Эйлера (для стохастических уравнений его называют методом Хьюна) или методы Рунге-Кутты, однако нужно иметь в виду, что точность метода, рассчитанная для детерминированных уравнений, в стохастическом случае снижается на порядок. При этом существуют две "ловушки", в которые часто попа­дают начинающие исследователи:

1. Для стохастических уравнений чрезвычайно трудно построить кор­ректную разностную схему, определяющую аппроксимации производных выс­ших порядков, поэтому уравнения высших порядков всегда следует сводить к системе уравнений первого порядка.

2. Нелинейные уравнения всегда сводятся к соответствующему интег­ральному уравнению, при этом должно быть точно определено, какая конс­трукция стохастического интеграла имеется в виду.



Последнее изменение этой страницы: 2021-04-05; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы!

infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.235.60.144 (0.016 с.)