Стационарные процессы в линейных системах

  Линейная система – это оператор A, на вход которого подается процесс x (t), а на выходе получается процесс y (t)= A x (t), при этом для любой линейной комбинации α x ₁(t)+β x ₂(t) 

A [ α x ₁(t) + β x ₂(t) ]= α A x ₁(t) + β A x ₂(t).

Операторы с такими свойствами хорошо известны, в частности, это производная и интеграл. Оказывается, что любая линейная система имеет представление в виде интеграла

В подавляющем большинстве практически важных случаев можно считать, что свойства выходного сигнала в момент t зависят только от прошлых значений входного сигнала x (s), поэтому  при s > t, так что интеграл берется в пределах от 0 до t:

Функцию w (t, s) называют весовой функцией линейной системы. Если w (t, s) зависит только от разности t - s, w (t, s)= w (t - s,0), система называется однородной. Физически это означает, что свойства системы постоянны в любой момент времени. Весовую функцию такой системы обозначают w (τ):

                                           (6.3)

так что выход такой системы – это просто свертка входного сигнала и весовой функции, а универсальный аппарат для работы со свертками – это преобразование Лапласа L.

    Если x (s)=δ(s), т.е. на вход системы подается короткий импульс, моделируемый как дельта-функция, то, согласно (6.2),   

Это значит, что весовую функцию линейной системы можно оценить экспериментально, подавая на вход системы короткие импульсы в различные моменты s.

     Если входной сигнал имеет постоянную составляющую a =M x (t), то его нужно рассматривать как сумму этой составляющей и центрированного сигнала с нулевым математическим ожиданием. Постоянная составляющая преобразуется по основной формуле (3). Дальнейшие рассмотрения касаются центрированного сигнала x (t) с нулевым математическим ожиданием.

   Преобразование Лапласа весовой функции

                                                   (6.4)

называют передаточной функцией системы. В большинстве случаев весовая функция быстро убывает с ростом τ, поэтому сходимость интеграла в (6.4) обеспечена и передаточную функцию можно рассматривать для чисто мнимых значений ее аргумента. Такую функцию φ(iu) называют амплитудно-фазовой частотной характеристикой или, короче, спектральной характеристикой системы.

   Основная теорема теории линейных систем. Спектральные плотности входного S_x (u) и выходного S_y (u) сигналов связаны соотношением

   Доказательство. Вычислим двумя способами автокорреляционную функцию K_y (s, t) выходного сигнала y (t). Можно заранее предположить, что она зависит только от разности

  s - t. С одной стороны,

                                     (6.5)

С другой стороны,

Подставим вместо x (s ₁) и x (s ₂) их представления по формуле (6.1) и изменим порядок интегрирования:

Введем в двух первых интегралах вместо s ₁ и t ₁ новые переменные s ₂ и t ₂ по формулам s ₂= s - s ₁, t ₂= t - t ₁. Тогда разность под знаком экспоненты приобретет следующий вид:

s ₁ - t ₁ = s - s ₂ – t + t ₂ = (s - t) – (s ₂ - t ₂).

Окончательно имеем:

     (6.6)

Сравнивая две формулы для автокорреляционной функции (4) и (5), видим, что, действительно,

    Взаимная спектральная плотность входа и выхода S_xy (u) определяется как обратное преобразование Фурье от взаимной корреляционной функции

В отличие от обычной спектральной плотности она обычно не является вещественной и положительной.

  Теорема.  

   Доказательство этой формулы полностью аналогично приведенному выше доказательству основной теоремы.

    Пример 6.1. Оператор дифференцирования.

    Пусть x (t) – стационарный случайный процесс с нулевым математическим ожиданием. Для обеспечения сходимости интегралов потребуем, чтобы его спектральная плотность S_x (u) удовлетворяла условию

.

Рассмотрим линейное преобразование со спектральной характеристикой φ(iu) = iu. Запишем эту характеристику в виде

.

Тогда на выходе линейной системы получается процесс

В частности, это означает, что при ограничениях, обеспечивающих сходимость интегралов, спектральное представление (1) можно дифференцировать по t под знаком интеграла:

                    (6.7)

    Пример 6.2. Решение линейного стохастического дифференциального уравнения.

     Пусть линейная система задана в виде дифференциального уравнения , или, в более общем виде, A y = x (t), где A  - линейный дифференциальный оператор. Ему ставится в соответствие характеристический полином A (iu) = (iu)² - 2(iu) + 2. Входным сигналом является стационарный случайный процесс x (t) с нулевым средним и спектральной плотностью S_x (u). Тогда, согласно результатам примера 6.1,

Ay = ,

так что d Ф _x (u)= A (iu) d Ф _y (u). Тогда, повторяя рассуждения, проведенные выше при доказательстве основной теоремы теории линейных систем, получаем связь между спектральными плотностями:

На практике линейные системы часто предпочитают описывать линейными дифференциальными уравнениями вида Ly (t) = x (t),

.

Пусть  - характеристический многочлен дифференциального оператора L, тогда передаточная функция имеет вид φ(p) = [ L (p) ]^-1, так что

Прямое численное решение линейных стохастических дифференциальных уравнений может приводить к несколько различным временным рядам в зависимости от метода интегрирования. Обычно удовлетворительные результаты дает модифициро­ванный метод Эйлера (для стохастических уравнений его называют методом Хьюна) или методы Рунге-Кутты, однако нужно иметь в виду, что точность метода, рассчитанная для детерминированных уравнений, в стохастическом случае снижается на порядок. При этом существуют две "ловушки", в которые часто попа­дают начинающие исследователи:

1. Для стохастических уравнений чрезвычайно трудно построить кор­ректную разностную схему, определяющую аппроксимации производных выс­ших порядков, поэтому уравнения высших порядков всегда следует сводить к системе уравнений первого порядка.

2. Нелинейные уравнения всегда сводятся к соответствующему интег­ральному уравнению, при этом должно быть точно определено, какая конс­трукция стохастического интеграла имеется в виду.