Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Криволинейный интеграл I рода.
Пусть АВ – дуга кусочно-гладкой пространственной кривой, в каждой точке которой определена непрерывная функция f(x,y,z). Разбивая дугу на части ∆ l i и выбирая в каждой части произвольную точку Mi (xi, yi, zi), вычислим значение f(M i). Умножим это значение на длину элементарной дуги ∆li. Сложим все произведения, и найдем предел этой суммы при условии, что наибольшая из элементарных дуг max ∆ li →0, а их число n →∞. lim f (x, y, z) dl (5.1) max ∆ li →0 При непрерывности функции f (x, y, z) на дуге АВ этот предел существует и не зависит от способа разбиения дуги на части. Этот предел называется криволинейным интегралом I рода. Физическая интерпретация криволинейного интеграла первого рода (5.1) - масса кривой АВ. Вычисление криволинейного интеграла I рода сводится к вычислению определенного интеграла. Если кривая АВ задана параметрическими уравнениями: x = X (t), y = Y (t), z = Z (t), где tА≤ t ≤ tB, то f (x, y, z) dl = · dt.
Если кривая АВ задана на плоскости уравнением y = f (x) при a ≤ x ≤ b, то f (x, y) dl = · dx. 5.1. Задачи на механические приложения криволинейного интеграла. С помощью криволинейного интеграла I рода можно вычислить: а) массу кривой m = , где - плотность б) статические моменты относительно координатных осей для плоской дуги Mx = My = в) статические моменты относительно координатных плоскостей для пространственной дуги Mxoy = Myoz = Mxoz = г) моменты инерции относительно координатных осей плоской дуги Jx = Jy =
д) координаты центра тяжести xc = yc = zc = Пример: вычислить интеграл 2 ydl, где ﮞ АВ – часть окружности + = , лежащая в первой четверти. Тогда y = . Найдем дифференциал дуги dl = dx y ′=- ; = ; 1 + 1 + = Тогда dl = dx 2 ydl = dx = R dx = Пример: вычислить dl, где АВ - дуга кубической параболы y=x3 от точки (1;1) до точки (2;8) Найдем дифференциал дуги dl = dx y ′=3 x 2; 9 x 4; 9 x 4; Тогда dl = dx d l= dx = dx- =J1-J2 J1= dt = · = ·( - ) J 2 = = = J 1 - J 2 = ·( - )- Пример: найти массу одной арки циклоиды, считая плотность постоянной, равной единице.
x = a (t - ); y = a (1- ); 0≤ t ≤2 π Найдем дифференциал дуги dl= =a(1- ); =a ; + =a2(1+2 + + = a2(1+2 +1)= a2(2+2 )=2 a2(1+ )=4 a2 Тогда dl=2a dt m= =-4a =-4a(-1-1)=8a Пример: найти массу дуги однородной пространственной кривой (a >0) от точки О(0,0,0) до точки А(x 0, y 0, z 0). Если в задаче сказано, что дуга однородная, принимаем плотность f(x,y,z)=const= 1. Найдем массу дуги по формуле m = при dl =
dl = = dx = m = = · = = = Пример: найти статический момент относительно плоскости XOY части однородной конической винтовой линии. x = t ∙ cos t, y = t ∙ sin t, z = t при 0≤ t ≤ t 0 Mxoy= dl= = (tcos(t))′=t′cos(t)+t(cos(t))′=cos(t)-tsin(t) =(tsin(t))′=t′sin(t)+t(sin(t))′=sin(t)+tcos(t)
dl= dt= = = = dt= dt f(x,y,z)=const=1 Mxoy = = dt = =
= = dx = = ( )= ( - ) Пример: найти центр тяжести однородной дуги. (-∞< t ≤ 0) Примем плотность f(x, y, z)= const = 1 m= dl dl= ẋ = - = (cost-sint) ẏ = + = (sint+cost) ż= dl= dt= = dt m= = = ( - )= Myoz= Myoz= *costdt= *costdt= ( (sint+2cost) = = * *2=0.4 При вычислении интеграла используем формулу “интегрирования по частям” *costdt dt = = *cost-4 *costdt 5 *costdt= *cost *costdt= Mzox= Mzox= *sintdt= ( (cost-2sint) = = *( - )*1=- 0.2 При вычислении интеграла используем формулу “интегрирования по частям” *sintdt =- *cost 2 + = =- *cost+2 *sint- 4 *costdt 5 =- *sint+2 *cost =- Mxoy= Mxoy= dt= = = * =0.5 Координаты центра тяжести: x ц . т . = = =0.4 y ц.т. = = =-0.2 z ц.т. = = =0.5
6. Поверхностный интеграл первого рода Пусть S – поверхность в трёхмерном пространстве Оxyz, а F(x,y,z) непрерывная функция, определённая в точках этой поверхности. Поверхность S сетью линий разобьём на n участков ΔS1, ΔS2,...., ΔSi,..., ΔSn, не имеющих общих внутренних точек (рис.6.1). Площади "элементарных" участков обозначим теми же буквами Si(i = 1,...,n), а наибольший из диаметров этих участков через λ. На каждом "элементарном" участке ΔSi произвольным образом выберем по точке Mi(xi,yi,zi) (i = 1,...,n) и составим сумму
которая называется интегральной суммой для функции F(x,y,z) по поверхности S. Если существует конечный предел не зависящий от способа разбиения поверхности S на "элементарные" участки ΔSi и от выбора точек Mi ΔSi(i=1,....n), то он называется поверхностным интегралом первого рода от функции F (x,y,z) по поверхности S и обозначается Если поверхность S задана уравнением z= f(x,y), где функция f(x,y) и её частные производные f'x(x,y) и f'y(x,y) непрерывны в замкнутой области координатной плоскости Oху, а функция F(x,y,z) непрерывна на S, то интеграл существует. Вычисление поверхностных интегралов первого рода обычно производится путём их сведения к двойным интегралам. Пусть выполнены все условия, приведенные выше, тогда, обозначив проекцию ΔSi (и площадь проекции) на плоскость Oxy через Δ D i, по теореме о среднем будем иметь: где (xi, yi) Δ D i, а, следовательно, при данном выборе точек Mi. Но сумма, стоящая справа, в последнем интеграле есть интегральная сумма для функции Переходя к пределу, получаем:
Свойства поверхностного интеграла первого рода 1. Если положить F(x,y,z)=1, то интеграл будет численно равен площади поверхности S. 2.Постоянный множитель можно вынести за знак интеграла. 3.Интеграл от алгебраической суммы функций равен сумме интегралов от слагаемых. 4.Если область S состоит из 2-х частей, описываемых разными уравнениями, то 5.Если F (x, y, z)≥ φ (x, y, z) то 6.
6.2. Задачи на механические приложения поверхностного интеграла 1-ого рода.
1.Если F (x, y, z) - плотность вещества, то масса поверхности S 2.Если F(x,y,z)=1, то интеграл численно равен площади поверхности S. 3.Статистические моменты относительно координатных плоскостей 4.Моменты инерции относительно координатных осей
5.Моменты инерции относительно координатных плоскостей
6.Координаты центра масс
Пример: вычислить поверхностный интеграл где S - поверхность конуса при 1≤ z ≤2 (рис.6.2)
Очевидно, что поверхность S проектируется на плоскость Oxy в кольцо D: 1 ≤ x 2 + y 2 ≤2 В области D функция и её производные и непрерывные функции. Следовательно, Пример: вычислить поверхностный интеграл I рода. где S – часть плоскости x + y + z =1, лежащая в I октанте. z=1-x-y, zx’=-1; zy’=-1
рис.6.3.
Пример: найти массу поверхности полусферы если в каждой её точке поверхностная плоскость вещества пропорциональна квадрату расстояния этой точки от оси Oz. Имеем и, следовательно, x 2 + y 2 ≤ 4 – переходим в полярную систему координат Масса поверхности полусферы равна . Пример: найти моменты инерции однородной треугольной пластины x + y + z =1 при (x ≥ 0; y ≥ 0; z ≥ 0) относительно координатных плоскостей. Моменты инерции относительно координатных плоскостей вычисляются по формулам: где µ - плотность пластины (у однородной пластины µ=1).
рис.6.4.
Моменты инерции равны между собой, т.к. пластина расположена симметрично относительно осей координат в первом октанте.
Таблица производных (u + v - w)′= u ′+ v ′+ w ′ c ′=0 x ′=1 (u·v)′= u′v + v′u (c·u)′= c·u′ ′= (un)′x= n·un-1·u′x (xn)′= n·xn-1 ( )′= ( )′= ′= - ′= - (au)′x= au·lna·u′ (ax)′= ax·lna (eu)′= eu·u′ (ex)′= ex (lnu)′= (lnx)′= (logau)′= (logax)′= (lgu)′= (lgx)′= ( )′x= ·u′ ( )′= ( ′x=- ·u′ ( )′= - (tgu)′= (tgx)′= (ctgu)′= - (ctgx)′= - (arccosu)′x= - (arccos x)′= - (arcsinu)′x= (arcsin x)′= (arctgu)′x= (arctgx)′= (arcctgu)′x= (arcctgx)′= -
Варианты заданий на несобственные интегралы и ФМП Вариант № 1
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Последнее изменение этой страницы: 2021-04-04; просмотров: 76; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 18.220.140.5 (0.14 с.) |