Замена переменной в двойном интеграле. Полярная система координат.

Замена переменной в интеграле   состоит в переходе от переменных x и y к новым переменным    u   и v, связанных соотношениями

x= X (u, v), y = Y (u,v), (u,v)  D.                                  (3.4)

При выполнении условий, что отображение (3.4) взаимно однозначно, а функции в соотношении (3.4) непрерывно-дифференцируемы, то якобиан отображения – определитель, составленный из первых частных производных:

тогда имеет место формула:

                                   (3. 5)

Обычно замена переменных производится с целью упрощения области интегрирования. Соотношения (3.4) называют переходом от прямоугольных декартовых координат к криволинейным. Примером криволинейных координат являются полярные координаты, связанные с прямоугольными формулами: 

,  , ,                                            (3.6)

;

В полярных координатах полюс совпадает с началом координат, полярная ось – с положительным направлением оси Ох, угол φ (положительный) отсчитывается от полярной оси против часовой стрелки.

Якобиан преобразования равен:

Если D =  , то

                               (3.7)

Пример: построить область интегрирования и перейти к полярной системе координат

Порядок интегрирования соответствует формуле (3.1):

 ;       верхняя граница

Возводя в квадрат правую и левую части и дополняя до полного квадрата разности, получили уравнение окружности

    с центром (

т.к. в верхнем пределе перед корнем нет знака, то приписывается знак плюс. Т.е. верхняя граница области D – верхняя часть окружности

Нижняя граница:

Переносим  в левую часть и возводим правую и левую часть в квадрат

Получили уравнение окружности

  с центром   радиуса

Рис. 3.8

Область интегрирования D - область между двумя выше указанными окружностями. Точка пересечения A (). Вся область D находится в первом квадранте, следовательно , но область ограничена двумя разными окружностями. Проведем луч из начала координат в точку А. Тогда область разделится на две части.

, следовательно, . Тогда в полярной системе координат область интегрирования и сам двойной интеграл разбиваются на две части: 0≤ φ≤π/6 и π/6≤φ≤π/2.

Окружность   в полярной системе примет вид

Окружность   в полярной системе примет вид     

Студентам рекомендуется запомнить следующее правило. Если центр окружности сдвинут по оси Ох вправо, ровно на радиус окружности R, то в полярной системе координат уравнение такой окружности  , если влево на радиус, то . Если центр окружности сдвинут на радиус по оси Оy вверх – уравнение окружности в полярной системе , если же центр окружности сдвинут ровно на радиус вниз, то . Это правило легко выводится из соотношений (3.6).

Окончательно в полярной системе координат двойной интеграл примет вид:

I=

 

Пример: начертить область на которую, распространяется двойной интеграл, изменить порядок интегрирования, записать интеграл в полярной системе координат.

 

Рис. 3.9

Уравнение нижней окружности:

 

Уравнение верхней окружности: x ²+ y ²=2. В декартовой системе координат заданный интеграл примет вид:

 порядок интегрирования изменен, где   (нижний предел интегрирования во внутреннем интеграле).

Используя вышеприведенное правило в полярной системе координат при

π≤φ≤7π/6 двойной интеграл примет вид:                              

 - двойной интеграл в полярной системе координат.

 

Геометрические и физические приложения двойного интеграла.

Пусть G – материальная пластинка (квадрируемая фигура) на плоскости с плотностью   

1. Площадь пластины

2. Масса пластины m=

3. Статические моменты пластинки относительно осей Ox и Oy

4. Координаты центра тяжести пластинки

5. Моменты инерции пластинки относительно осей Ox и Oy

,

6. Момент инерции пластинки относительно начала координат

 

Пример: вычислить площадь пластины ограниченной линиями: y=x; y=0; y ²-4 y + x ²=0; y ²-8 y + x ²=0

Запишем уравнения линий, ограничивающих область интегрирования:

y ² - 4 y + x ² =0                                                            y

                                                      

                                                       

Окружность с центром,                                    Окружность с центром,

сдвинутым по у на 4 единицы

сдвинутым по у на 2 единицы                                            

Рис. 3.10

Уравнения окружностей, в соответствии с вышеизложенным правило примут вид : ρ=4∙ sinφ и ρ=8∙ sinφ.  

                                                                 

                                  

Пример: вычислить с помощью двойного интеграла в полярных координатах площадь фигуры, ограниченной кривой, заданной уравнением

Проведем замену переменных: x=ρcosφ, y= ρsinφ. Тогда заданная кривая в полярной системе координат примет вид:

где

Рис.3.11

Тогда  С учетом того, что cos2  имеет период Т=π, и ρ≥0 параметр

С учетом симметрии фигуры (рис. 3.11), вычислим площадь четвертой части и результат умножим на четыре.

Вычислим площадь по формуле

Площадь всей фигуры, ограниченной данной линией, S=2 .

Пример: найти массу пластинка G, если она задана ограничивающими её кривыми (рис. 3.12):

 x = 0, y = 0,  ,

- поверхностная плотность.

 

Рис. 3.12

 

Пластинка расположена в прямоугольной системе координат таким образом, что центры окружностей совпадают с началом координат.

 

. Перейдем в двойном интеграле к полярным координатам

при этом область G преобразуется в прямоугольную область в полярной системе координат: 2≤ρ≤3, -π/2 ≤φ≤0, поверхностная плотность:

           

Масса плоской пластины вычисляется по формуле:

 

Пример: найти статические моменты относительно координатных осей Ох и Oy однородной фигуры, ограниченной кривыми y²=ax, y=x (рис. 3.13) Т.к. фигура однородная, примем поверхностную плотность μ=const=1.

Рис.3.13

 

Статический момент относительно оси Ох

Статический момент относительно оси Оу

Тройные интегралы

Задача о массе пространственного тела переменной плотности f(x,y,z) приводит к понятию тройного интеграла. Под областью “V”,на которую распространен тройной интеграл, понимается ограниченная замкнутая пространственная область, ограниченная снизу и сверху поверхностями , а с боков – цилиндрической поверхностью с образующими, параллельными оси OZ. Переменные x и y изменяются в плоской области , которая является проекцией на плоскость xoy пространственной области “V”. Функция f(x,y,z), стоящая под интегралом должна быть непрерывной и ограниченной в области “V”.

 

Свойства тройного интеграла аналогичны свойствами двойного интеграла.