Экстремум функции нескольких переменных.

Функция f (x ₁, x ₂,…, x_n) имеет максимум (минимум) в точке Р, если для всех отличных от Р точек Р₁ в достаточно малой окрестности точки Р выполняется неравенство f (p)< f (p ₁). Максимум или минимум функции называется локальным экстремумом. Точки, в которых дифференцируемая функция f (x ₁, x ₂,…, x_n) может достигать экстремума, называются стационарными точками.

Необходимые условия экстремума. Если дифференцируемая функция u = f (P) достигает экстремума в точке Р₀,то в этой точке все её первые частные производные обращаются в ноль, т.е.                                                 (2.12)

 

Из решения системы уравнений (2.12) находят координаты стационарных точек.

Достаточные условия экстремума. Пусть функция u = f (P) дважды непрерывно дифференцируема в окрестности её стационарной точки Р₀. Тогда если второй дифференциал d ² u (P ₀) в окрестности точки Р₀ имеет постоянный знак, то функция имеет максимум в точке Р₀, если d ² u (P ₀)<0 и минимум, если d ² u (P ₀)>0. Для функции двух переменных z = f (x, y) достаточные условия формулируются следующим образом. Пусть P ₀ (x ₀; y ₀)- стационарная точка функции z = f (x, y) и

Тогда: а) если D >0, то в точке P ₀ (x ₀; y ₀) есть экстремум, причём максимум, если A <0 и минимум, если A >0;

б) если D <0, экстремума в точке P ₀ (x ₀; y ₀) нет;

в) если D =0 – требуются дополнительные исследования.

Пример: исследовать функцию на экстремум z =2 x ³ +2 y ³ -36 xy +430.

Находим первые частные производные

Найдём стационарные точки, решив систему:

Из первого уравнения y =, подставив его во второе уравнение, получим

x ⁴ -216 x =0, которое запишем так x (x ³ -216)=0. Разлагая на множители выражение в скобках получим: x (x -6)(x ² +6 x +36)=0.

Данное уравнение имеет два действительных корня x ₁ =0, x ₂ =6. Получили две стационарные точки P ₁ (0;0) и P ₂ (6;6).

Проверим достаточные условия для каждой из точек:

A=     =12x; C=    =12y; B=     = -36

 

Точка Р₁(0;0): A =0; C =0; D = AC - B ² <0, т.е. в точке P ₁ (0;0) экстремума нет.

Точка P ₂ (6;6): A =72; C =72: D =72·72-36²>0 - в точке Р₂(6;6)- экстремум есть, а т.к. A =72>0, то имеет место минимум z_min =-2.

Пример: найти стационарные точки и исследовать их характер у функции

z=x ³ +y ³ -3xy

Составляем систему для нахождения стационарных точек:

                      , т.е. x = y ², подставим это равенство в первое уравнение,

получим

3 y ⁴ -3 y =0; 3 y (y ³ -1)=3 y (y -1)(y ² + y +1)=0.

Возможны два решения y =0, тогда и x =0, т.е. первая стационарная точка Р₁(0;0).

Или y=1, тогда x=1, вторая стационарная точка Р₂(1;1).

Проверим достаточные условия для каждой из точек;

A=

Р₁(0;0): A=   =0;                    т.е. D=0·0-(-3)² <0-экстремума нет.

Р₂(1;1): A=   =6; C=    =6; B=     =-3, т.е. D=6·6-9>0, и A=   =6>0,

т.е. в точке Р₂(1;1)- минимум.

Z_min (1;1)=-1

Двойные интегралы.

Индивидуальные домашние задания второго семестра кроме задач на несобственные интегралы и дифференцирование ФМП содержат задачи на интегральное исчисление функций двух и трех независимых переменных. Задания по теме «Двойные интегралы» включают в себя следующие задачи: а) начертить область, на которую распространен двойной интеграл, поменять порядок интегрирования, записать интеграл в полярной системе координат;

б) используя представление о декартовой и полярной системах координат на плоскости, решить задачу на приложения двойного интеграла.                      Задача об объеме цилиндрического тела приводит нас к понятию двойного интеграла. Если функция f(x,y) = f(P) определена и непрерывна в замкнутой ограниченной области D плоскости XOY, а  - площади элементарных подобластей, полученных разбиением области D, диаметры которых d , то предел интегральных сумм (если он существует) называется двойным интегралом от функции f (x,y) по области D:

3.1 Свойства двойного интеграла.

а) геометрический смысл двойного интеграла – объем цилиндрического тела

б) если f(x,y) = 1, то численно двойной интеграл равен площади области D

в) константу можно выносить за знак интеграла

г) интеграл от суммы функций равен сумме интегралов

д) если D= , где  - не пересекаются, то

е)