Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Дифференцирование сложных функций.
Пусть функция z =ƒ(x, y), дифференцируема в точке A (x o, y o), а функции x = X (t) и y = Y (t) - дифференцируемы по независимой переменной t, тогда z =ƒ[ X (t), Y (t)] – сложная функция, в конечном счете, зависящая только от переменной t. Производная по аргументу t вычисляется по формуле: dz/dt = ∂ z /∂ x ∙ dx/dt + ∂ z /∂ y ∙ dy/dt (2.1) В формулу входят как полные, так и частные производные. Пример: найти dz/dt, если z = x ²+ y ²+ x ∙ y, где x = sin t, y = tg t. Найдем первые частные производные от функции z =ƒ(x, y): ∂ z /∂ x = 2 x + y, ∂ z /∂ y =2 y + x; найдем производные по попеременной t: dx/dt= cos t, dy/dt=1 /(cos t)²= sec ² t; тогда по формуле (2.1) dz/dt = (2 x + y)∙ cos t + (2 y + x)∙ sec ² t =(2 sin t + tg t)∙ cos t +(2 tg t + sin t)∙ sec ² t Пример: найти dz/dt, если z=arcsin(x-y), x=3t, y=4t³ Найдём первые частные производные от функции z = ƒ (x, y): = ; = Найдём производные от функций x =X(t) и y = Y (t) по переменной t
Для окончательного решения примера воспользуемся формулой (2.1): Если функция z = ƒ (x, y), а её аргументы сами являются функциями 2-х переменных, т.е. x = X (u, v); y = Y (u, v), то тогда функция z =ƒ[ X (u, v), Y (u, v)] - сложная функция переменных u и v. Тогда:
Пример: найти и , если z = x 2 y - y 2 x, где x = u cos v, y = u sin v.
Пример: найти ∂z/∂u и ∂z/∂v, если z=x²∙lny, где Найдем частные производные и воспользуемся формулой (2.2):
Если функция z = ƒ(x, y), а y =φ(x), то z = ƒ[ x,φ(x)], т.е. z является сложной функцией одного аргумента x, поэтому будет существовать производная dz/dx, а т.к. z= f (x, y), то существуют частные производные , где (2.3) Пример: найти и если z=xy²+x²y, а y=sinx ∂z/∂x = y²+2xy, ∂z/∂y=2xy+x², dy/dx = cosx Тогда по формуле (2.3) dz/dx = (y²+2xy)+(2xy+x²)∙cosx Пример: найти , если z = tg (3 t +2 x 2); x = Дифференцирование функций, заданных неявно.
Пусть задано уравнение F (x, y)=0, причём функция F (x, y) и её частные производные F ´ x (x, y) и F ´ y (x, y)- определены и непрерывны в некоторой окрестности точки (x 0, y 0). Пусть F (x 0, y 0)=0,а F ´ y (x, y)≠0. Считаем, что функция y =ƒ(x) неявно задана уравнением F (x, y)=0. Тогда существует производная (2.4) Если задано уравнение F (x, y, z)=0 и z =ƒ(x, y)- функция, заданная неявно, то (2.5) Пример: найти если F (x, y)= xey + yex -e xy =0 F ´ x = ey + yex - exy y; F ´ y = xey + ex - exy x Тогда в соответствии с формулой (2.4)
Пример: найти , если F (x, y, z)= z 3 +3 xyz - a 3 F ´ x =3 yz; F ´ y =3 xz; F ´ z =3 z 2 +3 xy Тогда по формуле (2.5) Производная по направлению. Если функция f (x, y, z) дифференцируема в точке (x, y, z), то для неёимеет смысл производная по направлению любого единичного вектора l (cos α, cos β, cos γ) и , OZ) Т.к. вектор l - единичный, то cos 2 α+ cos 2 β+cos2γ=1 (2.7) Пример: найти производную функции u = x ²-3 yz +5 в точке М(1,2,-1) в направлении, составляющем одинаковые углы со всеми координатными осями. Т.к. α=β=γ, то cos α=cos β= cos γ, тогда в соответствии с формулой (2.7) cos2 α=cos2 β= cos2 γ=1/3, т.е. cos α=cos β= cos γ= =
2x |M Пример: найти производную функции z=2y²-xy-2x² в точке P (2;1) в направлении, составляющем с осью O X угол 30°.
Тогда:
|
|||||||||||||||||||||||||
Последнее изменение этой страницы: 2021-04-04; просмотров: 220; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 18.188.66.13 (0.013 с.) |