Сложение гармонических колебаний

Диаграмма вектора амплитуды. Сложение гармонических колебаний одного направления и одинаковой частоты

Гармонические колебания можно представить с помощью вектора амплитуды, вращающегося вокруг точки O с угловой скоростью w (рис. 2.8). Длина этого вектора равна амплитуде колебаний. В начальный момент времени угол между вектором амплитуды и положительным направлением оси x равен начальной фазе колебаний. Тогда проекция вектора  на ось  в момент времени t = 0 равна . С течением времени проекция на ось O х вращающегося вектора амплитуды изменяется по гармоническому закону . Такой способ представления гармонических колебаний называют векторной диаграммой или диаграммой вектора амплитуды.

Рис. 2.8

С помощью векторной диаграммы удобно складывать колебания одинаковой частоты и одного направления. Рассмотрим подробнее.

Пусть тело одновременно участвует в двух гармонических колебаниях одинаковой частоты, происходящих в одном направлении согласно законам

                                           ,                                  (2.33)

                                          .                                 (2.34)

Результирующее движение представляет собой сумму колебаний  и  и будет также гармоническим колебанием той же циклической частоты  [3]              

                                      .                                          

Рис. 2.9

Чтобы найти амплитуду и начальную фазу результирующего колебания воспользуемся диаграммой вектора амплитуды. Из точки O проведем вектора  и  под углами j₀₁ и j₀₂ к оси  (рис. 2.9) и приведем их во вращение с угловой скоростью .

Проекции векторов  и  на ось  при этом совершают гармонические колебания в соответствии с уравнениями (2.33, 2.34). Результирующее колебание будет изображаться проекцией на ось  вектора , полученного из векторов  и  по правилу параллелограмма [3]. Из построения на рис. 2.9 и теоремы косинусов следует, что

                                    ,                          (2.35)

                                ,                      (2.36)

где A – амплитуда, – начальная фаза результирующего колебания.

Рассмотрим некоторые частные случаи сложения колебаний.

1. ,

т. е. если разность фаз складываемых колебаний равна четному числу π, то тогда колебания максимально усиливают друг друга.

2. ,

т. е. если разность фаз складываемых колебаний равна нечетному числу π, то тогда колебания максимально ослабляют друг друга [3].

3. .

Биения

Биения − это колебания, с периодически изменяющейся амплитудой, получающиеся в результате сложения двух гармонических колебаний одного направления с близкими частотами. Сами биения не являются гармоническими колебаниями.

Выведем уравнение биений. Для этого рассмотрим два гармонических колебания х ₁ и х ₂, происходящих в одном направлении с близкими частотами ( >> ) и равными амплитудами (для удобства расчетов):

.

Тогда результирующее колебание будет происходить по закону

                             ,                    (2.37)

где при выводе формулы (2.37) была учтена формула сложения косинусов ().

Первый сомножитель в выражении (2.37) изменяется со временем значительно медленнее второго (), поэтому можно считать, что результирующее колебание  представляет собой колебание с циклической частотой  и с изменяющейся со временем амплитудой [3]

                                          .                                (2.38)

Под периодом  биений – понимают период изменения амплитуды результирующего колебания:

                                     ,                           (2.39)

где – циклическая частота биений [3].

На рис. 2.10 приведены графики зависимости амплитуды биений  и смещения  м.т. от времени t [3].

Рис. 2.10

В общем случае, когда складываются колебания близких частот, но не равных амплитуд, амплитуда результирующего колебания (биений) изменяется в пределах, заключенных в интервале от  до ().

Приведем пример биений: источником двух звуковых сигналов является звуковой генератор. Сначала генерируются сигналы разных частот, таких, что человек различает эти сигналы как отдельные. По мере сближения с помощью звукового генератора частот этих сигналов, человек начинает вместо двух разных сигналов слышать один, но с переменной амплитудой (биения). При выравнивании частот сигналов человек слышит один звуковой сигнал с постоянной амплитудой.

Биения можно использовать, например: 1) для настройки музыкальных инструментов, при анализе восприятия звуков человеком; 2) для определения частоты какого-либо гармонического электрического колебания. Для этого на вход осциллографа подают гармонические колебания от звукового генератора (частоту  этих колебаний можно изменять) и гармонические колебания с неизвестной частотой  от какого-либо источника. По наблюдаемой на экране осциллографа картине биений определяют период биений  и частоту колебаний () [3].