Уравнение плоской механической волны

Под уравнением волны понимают уравнение, определяющее смещение x от положения равновесия точек среды, находящихся на произвольном расстоянии от источника колебаний в любой момент времени.

Запишем уравнение плоской монохроматической волны, распространяющейся в положительном направлении оси О x [3]. Пусть источник находится в начале координат (рис. 2.19) и совершает колебания по закону:

                                              x(0, t) = A cosw t.                                      (2.69)

Благодаря упругой связи между частицами среды спустя некоторое время в колебательное движение вступит и произвольная точка М среды, находящаяся на расстоянии x от источника колебаний. Причем, если среда не поглощает энергию (или поглощением энергии средой можно пренебречь), то точка М будет совершать колебания с той же частотой и амплитудой, что и источник.

Рис. 2.19

Но так как волне нужно время, чтобы пройти это расстояние x, то колебания точки М будут отставать по фазе от колебаний в источнике.

                                          ,                                 (2.70)

где  – время, необходимое для того, чтобы волна от источника дошла до точки М.

С учетом этого

                            .                  (2.71)

Уравнение (2.71) является уравнением плоской монохроматической волны, распространяющейся в положительном направлении оси Ох.

Для плоской монохроматической волны, распространяющейся в отрицательном направлении оси Ох, уравнение волны примет вид:

                           .                  (2.72)

С помощью уравнения волны (2.71) можно построить два различных графика:

1) «моментальная фотография» волны – зависимость смещения точек среды в данный момент времени от их координат (рис. 2.20, а);

2) «временная развертка» – зависимость смещения конкретной точки среды от времени (рис. 2.20, б).

Рис. 2.20

С помощью уравнений (2.71) и (2.72), можно найти скорость и ускорение частиц среды, в которой распространяется волна, в любой момент времени:

                     ,            (2.73)

                    .          (2.74)

Выбор знака перед вторым слагаемым в скобках, определяется направлением распространения плоской волны: знак «–» ставится если волна распространяется в положительном направлении оси Ох, и знак «+» – если в отрицательном направлении оси Ох.

Волновое уравнение

Уравнения (2.71), (2.72) плоской волны, распространяющейся в положительном (отрицательном) направлении оси Ох являются решениями дифференциального уравнения второго порядка, называемого волновым:

                                                .                                       (2.75)

Если плоская гармоническая волна распространяется в произвольном направлении, которое можно задать радиус-вектором ,то ее волновое уравнение и уравнение волны запишутся, соответственно, следующим образом

                 ,        (2.76)

Вопросы и задания для самоконтроля к лекции 6

1.  Сформулируйте определения поперечной и продольной волны. В каких средах они могут распространяться?

2. Выберите утверждения, которые Вы считаете верными для волны, распространяющейся в упругой среде?

1) фронт волны является волновой поверхностью;

2) волновые поверхности при распространении волны перемещаются;

3) частицы среды вместе с волной не перемещаются, перемещается только фронт волны;

4) волновых поверхностей может быть бесконечное множество.

3. Для двух точек плоской гармонической волны, расстояние между которыми l =3l/4, разность фаз колебаний равна…

1) Dj=4π/3      2) Dj=3π/2      3) Dj=π/2        4) Dj=π

4. Чему равна длина волны с частотой 4 Гц, распространяющейся по шнуру со скоростью 8 м/с?

5. На рисунке приведены фотография плоской волны, распространяющейся в упругой среде вдоль оси 0 х, в некоторый момент времени и зависимость скорости колебаний произвольной частицы среды от времени. Используя приведенные зависимости, определите фазовую скорость волны и максимальную скорость колебаний частиц среды.

Лекция 7

Основные понятия и законы, которые должны быть освоены в ходе лекции: определение электромагнитной волны (ЭМВ, основные свойства ЭМВ; волновое уравнение; объемная плотность энергии электромагнитной волны; поток энергии; вектор Умова – Пойнтинга.

Электромагнитные волны