Сложение взаимно перпендикулярных колебаний. Фигуры лиссажу

Рассмотрим материальную точку, одновременно участвующую в двух взаимно перпендикулярных колебаниях, происходящих вдоль осей  и

                            ,                   (2.40)

В общем случае, в результате сложения этих колебаний материальная точка будет двигаться по траектории, определяемой соотношением их частот, амплитуд и разности начальных фаз  [3].

Пусть частоты складываемых колебаний одинаковы

                                                                                            

Проводя математические преобразования и избавляясь от временной зависимости, получим уравнение траектории результирующего движения:

                                                           (2.41)

Рассмотрим некоторые примеры сложения взаимно перпендикулярных колебаний.

1) ; ; ;

                                                                                               (2.42)

Выражение (2.42) является уравнением прямой. Траектория движения в этом случае изображена на рис. 2.11, а.

2) ; ;

                                                                                             (2.43)

Выражение (2.43) также является уравнением прямой. Траектория результирующего движения изображена на рис. 2.11, б.

3)

                                        .                                        (2.44)

Это уравнение эллипса (при  получается окружность). Траектория результирующего движения изображена на рис. 2.11, в.

Рис. 2.11

Направление движения точки по траектории определяется разностью начальных фаз (см. рис. 2.11, в).

Все изображенные на рис. 2.11 траектории движения м.т. называют фигурами Лиссажу. В случае, если частоты складываемых колебаний различны, получаются фигуры Лиссажу более сложной формы.

Фигуры Лиссажу можно применять для определения частоты какого-либо гармонического колебания (сигнала). Для этого нужно на входы х и у осциллографа подать два сигнала – с известной (колебание поступает от генератора электромагнитных колебаний, его частоту можно плавно изменять) и неизвестной частотой. Изменяя частоту генератора можно добиться устойчивой фигуры Лиссажу и, зная по ее виду отношение частот складываемых колебаний определить неизвестную частоту [3].

Вопросы и задания для самоконтроля к лекции 4

1. Сформулируйте суть метода диаграммы вектора амплитуды (векторной диаграммы). Для чего его применяют?

2. Материальная точка одновременно участвует в двух гармонических колебаниях одного направления: , см и , см. Постройте векторную диаграмму и запишите уравнение результирующего колебания.

3. Два гармонических колебания происходят с одинаковыми частотами в одном направлении с амплитудами А ₁ = 4 см и А ₂ = 3 см. Амплитуда их результирующего колебания А _р = 1 см. Определите разность фаз складываемых колебаний.

4. Что называют биениями? В результате чего биения возникают?

5.  Материальная точка одновременно участвует в двух взаимно перпендикулярных колебаниях, происходящих согласно уравнениям х =3cos(w t) и y =2sin(w t). Найдите уравнение траектории точки (фигуры Лиссажу) и постройте ее, указав направление движения.

На рисунке приведены графики биений, полученные при сложении двух колебаний одного направления с близкими частотами.

Для какого графика частота биений наименьшая? Для какого графика частота складываемых колебаний наибольшая?

Лекция 5

Основные понятия и законы, которые должны быть освоены в ходе лекции: электромагнитные колебания (незатухающие и затухающие); колебательный контур; зависимости от времени величин, описывающих электромагнитные колебания и их графики; коэффициент затухания, логарифмический декремент затухания, время релаксации, критическое сопротивление, апериодический режим.