Основные характеристики затухающих колебаний

1. Критический коэффициент сопротивления среды  – это такой коэффициент, при котором в системе происходит апериодическое движение. При этом изменение смещения груза к положению равновесия происходит в отсутствие колебательного движения (кривая 1 или 2 на рис. 2.6).

Убывание смещения  тела в механической системе по кривым 1 или 2, либо по кривой, расположенной между ними, зависит от начальных условий (например, от того, сообщили или нет маятнику после выведения его из положения равновесия начальную скорость).

Так как при r = r _к колебательное движение отсутствует, то

;

                                                                                            (2.22)

Для в среде наблюдается апериодическое движение тела, а при  в среде происходят затухающие колебания.

Рис. 2.6

2. Время релаксации τ – это время, в течение которого амплитуда колебаний убывает в e раз (e - основание натурального логарифма) [3]

,

                                                     .                                            (2.23)

За время релаксации в системе совершается  полных колебаний [3]

                                                .                                       (2.24)

3. Логарифмический декремент затухания δ характеризует уменьшение амплитуды за период колебаний и численно равен

                                       .                              (2.25)

4. Добротность Q системы вводят [3] как величину, определяющую потери энергии колебаний системы за один условный период колебаний,

                                                         (2.26)

Вынужденные механические колебания

Уравнение вынужденных механических колебаний

Если на колеблющуюся систему, кроме упругой (квазиупругой) силы и силы сопротивления, действует внешняя, периодически изменяющаяся сила, то в системе происходят вынужденные механические колебания.

Внешняя сила пополняет энергию системы, расходуемую на работу против силы сопротивления. Поэтому в системе с течением времени устанавливаются вынужденные колебания с постоянной амплитудой (незатухающие колебания).

Пусть внешняя сила изменяется с частотой  по гармоническому закону: . Тогда в проекции на направление движения (ось ) II закон Ньютона имеет вид

                       ,              (2.27)

Учитывая, что , ,  и , получим

                                       .                              (2.28)

Это дифференциальное уравнение вынужденных механических колебаний.

При установившихся вынужденных колебаниях зависимость смещения тела от времени описывается уравнением

,

где частота установившихся вынужденных колебаний равна частоте внешней силы , амплитуда  и начальная фаза  определяются соотношениями:

                                                                        (2.29)

                                             .                                  (2.30)

В данном случае начальная фаза  определяет сдвиг по фазе между установившимися вынужденными колебаниями и внешней силой.

Механический резонанс

Механический резонанс – это явление резкого возрастания амплитуды вынужденных колебаний [3] при приближении частоты вынуждающей силы к некоторой характерной для данной системы частоте .

Резонансную частоту  находим как частоту, при которой амплитуда вынужденных колебаний достигает максимального значения (знаменатель выражения (2.29) при этом имеет минимум):

,

откуда получаем выражение

                                              .                                    (2.31)

Амплитуда колебаний при резонансе равна:

                                           .                                  (2.32)

В случае если  (сопротивление среды отсутствует), из формулы (2.31) следует, что , а амплитуда вынужденных колебаний .

Рис. 2.7

Зависимость амплитуды колебаний от частоты вынуждающей силы называется резонансной кривой.

На рис. 2.7 представлены резонансные кривые для различных значений коэффициента затухания . Высота и ширина резонансного пика, зависят от коэффициента затухания .

Вопросы и задания для самоконтроля к лекции 3

1. Что называют квазиупругой силой? Чему равен коэффициент квазиупругой силы в случае математического маятника?

2. Четыре системы с одинаковыми массами m и различными коэффициентами упругости k, совершают гармонические колебания в соответствие с нижеприведенными уравнениями. Для какой системы коэффициент упругости наименьший?

1)x = 6sin(3πt+π), см.                  4)x = 5cos(5πt+π/2), см.

2)x = 3cos(2πt+π), см.                 8)x = 2sin(4πt+π/2), см.

3. Что называют логарифмическим декрементом затухания?

4. Материальная точка совершает затухающие колебания в соответствие с законом . Логарифмический декремент затухания колебаний λ=0,001. Определите коэффициент затухания b и частоту w затухающих колебаний.

5. Амплитуда затухающих колебаний математического маятника за 1 минуту уменьшилась вдвое. Во сколько раз уменьшится амплитуда за время 4 минуты?

6. Сформулируйте определение механического резонанса. Приведите встречающиеся примеры проявления механического резонанса.

Лекция 4

Основные понятия и законы, которые должны быть освоены в ходе лекции: векторная диаграмма, биения, фигуры Лиссажу.