Разностные аналоги формул Грина и теоремы вложения норм сеточных функций.

Основной вопрос теории численных методов состоит в оценке точности приближенного решения задачи. Для разностных методов погрешность приближенного решения зависит от шага сетки h. Под сходимостью разностных схем понимают сходимость приближенного решения разностных уравнений к решению исходной дифференциальной задачи при . В случае неравномерных сеток сходимость разностного решения определяется при стремлении к нулю максимального шага сетки. Будем говорить, что скорость сходимости разностной схемы имеет порядок p, если разность точного и приближенного решений (погрешность приближенного решения) стремиться к нулю как .

       При исследовании вопросов сходимости разностных методов естественно рассматривать сеточные функции точного и приближенного решений как элементы некоторого конечномерного векторного пространства, а оценки погрешности метода выражать в нормах рассматриваемого векторного пространства.

Итак, рассмотрим пространство сеточных функций , определенных на сетке 

Наиболее широкое распространение в теории разностных схем получили следующие нормы сеточных функций   (1) и  (2)

       Несложно заметить, что в пространстве сеточных функций, равных нулю в граничных точках сетки, нормы (1) и (2) связаны следующим соотношением

  (3)

Утверждение 1. Для произвольных сеточных функций , ,  выполняется разностные аналоги формулы интегрирования по частям:

, (4) и   (5), где

, , ,

Доказательство. (4) получается в результате выполнения следующих преобразований

К равенству (5) приводят следующие преобразования

Сл-м (4) является разностный аналог формулы Грина (6)

Очевидно, что в пространстве сеточных функций, удовлетворяющих нулевым граничным условиям, равенство (6) имеет вид    (7)

Заметим, что в правой части (7) скалярное произведение  представляет собой линейный функционал, удовлетворяющий аксиомам нормы: положительная определенность; линейность при умножении на скаляр; неравенство треугольника.

В силу этого наряду с нормами (1), (2) полезным иногда представляется использование нормы   (8)

Утверждение 2. Для норм (1) и (8) справедлива следующая оценка (9)

Доказательство. Не нарушая общности, предположим, что максимум абсолютного значения сеточной функции достигается в k-том узле сетки. Воспользуемся тождеством (подставить вместо у с х с крышкой и выйдет)

Для оценки пр. части этого равенства используем неравенство Коши-Буняковского: , полагая . В результате приходим к

чтд.

Задачи:

1)Определить постоянные вложения векторных норм   в пространстве .    и

2)Доказать, что матрица ,  является симметричной.

Квадратная матрица является симметричной, если она совпадает со своей транспонированной матрицей

3)Как связан спектр (множество собственных значений) диагональной матрицы и значения ее диагональных элементов (сумма собственных значений равна спектру, но т.к. она диагональная, то диагональные элементы и есть собственные значения). 

4)Доказать, что число обусловленности матрицы не меньше единицы

Матричная норма должна удовлетворять следующим четырем аксиомам:

А4. || AB || ≤ || A || * || B || для любых матриц A и B.

Из последней аксиомы видно, что норма определена только для квадратных матриц (хотя, в приведенных выше формулах для вычисления различных норм, в принципе, нет такого ограничения). Кроме того, из последней аксиомы следует, что любая норма единичной матрицы I не меньше единицы, действительно || I || = || I*I || ≤ || I ||² ⇒ || I || ≥ 1.

Тогда, опять с привлечением четвертой аксиомы, получаем, что число обусловленности матрицы всегда больше единицы (верно для числа обусловленности матрицы по отношению к произвольной матричной норме) 1 ≤ || I || = || AA^-1 || ≤ || A || || A^-1 || = cond(A).

5)Показать, что при умножении  имеет место тождество ,т.к.

6)Возможно ли с помощью степенного метода определить собственное значение действительной матрицы, если оно является комплексным? – нет. Будут одинаковые по модулю. Т.к. сопряжённый и комплексно сопряжённый.

 

1) Исследовать устойчивость по начальным данным чисто неявной схемы для уравнений теплопроводности: ,

Ищем частное решение разностной задачи в виде . Подставим его в разностную схему при : , откуда . Очевидно, что при любых допустимых значениях  и  постоянная  не превосходит по абсолютной величине единицы => безусловно устойчива чисто неявная схема, что означает устойчивость при любых положительных .

2) Исследовать устойчивость трехслойной схемы

=> , где .

Отсюда видно, что для любых положительных  и для всех отличных от нуля  по крайней мере один из корней характеристического уравнения превосходит по модулю единицу, что указывает на отсутствие устойчивости дискретной модели при любых шагах сетки.