Итерационные методы решения проблемы собственных значений. Степенной метод.

 порядка - квадратная невырожденная матрица .

Число  называется собственным значением матрицы , если существует такой ненулевой вектор , удовлетворяющий равенству  (1)

Вектор , удовлетворяющий равенству (1), называется собственным вектором матрицы . Совокупность всех собственных значений называется спектром матрицы.

       Уравнение (1) имеет нетривиальные решения ó  (2)

Функция  - характеристический многочлен матрицы. Множество его корней совпадает со спектром.

Степенной метод: Пусть нужно найти макс. по модулю собственное значение , причем, искомое собственное значение простое. Пусть .  

Заметим, что при умножении матрицы на ее собственный вектор последний преобразуется в коллинеарный вектор , причем длина полученного при этом вектора изменяется пропорционально соответствующему собственному значению . Данное свойство собственных векторов лежит в основе степенного метода. У матриц простой структуры система собственных векторов образует базис в , любой вектор может быть представлен:  => в разложении по собственным векторам при умножении матрицы на вектор наибольший рост (наименьшее убывание) испытывает составляющая, соответствующая максимальному собственному значению. Рассмотрим последовательность       (3)

Т.к. , то при  сходится к собственному вектору . Компоненты вектора , соответствующие другим собственным значениям стремятся к нулю со скоростью ГП. Скорость сходимости последовательности определяется отношением  – знаменателем геометрической прогрессии самой медленной из компонент .

Заметим, что асимптотика  определяется также значением , которое в пределе  стремиться к нулю или бесконечности, в зависимости от  => нужна нормировка промежуточных результатов. В качестве нормировочного коэффициента наиболее подходящий выбор –   () => (4)

Использование итерационной процедуры (4) позволяет определить как собственный вектор, соответств-й макс собств. значению, так и величину собств. значения

,  (5)             . (6)

После того как наибольшее собственное значение определено, данный подход может быть использован для вычисление других собственных значений и собственных векторов.

Недостаток степенного метода: не может быть использован в случае, когда матрица имеет равные по модулю собственные значения. Итерационный процесс (4) в этом случае не сходится.

Есть возможность находить степенным методом комплексные характеристические числа и соответствующие инвариантные подпространства для вещественных матриц.