Понятие об одношаговых и многошаговых методах. Метод Эйлера решения задачи Коши для системы оду первого порядка.

Метод Эйлера: Рассмотрим задачу Коши для уравнения вида (1)

Представим решения отрезком степенного ряда, которое даёт точное решение (1):

 , . (2)

Мы знаем решение в точке , а правая часть уравнения позволяет вычислить производную решения в данной точке. В итоге, полагая ограниченность второй производной решения на отрезке , имеем  (3)

где, , .               

Заметим, что (3) также дает точное решения в точке . Но мы не можем использовать его в практических расчетах, т.к. для этого требуется значение второй производной от решения, содержащейся в члене (не знаем о ней) и не знаем  точное положение точки, в которой требуется вычислить данную производную. Так что пренебрегаем данным членом, учитывая, что при ограниченной второй производной величина данного члена стремиться к нулю при  => приходим к схеме Эйлера, позволяющей найти приближенно шаг за шагом решение задачи Коши   (4)

Используя формулу Эйлера (4) мы можем последовательно найти приближенно решение задачи Коши на некотором множестве точек, соответствующих значениям независимой переменной   (5) – сетка.

Отдельные точки сетки называют узлами.Шагом сетки называется расстояние между соседними узлами . Если все шаги сетки одинаковы, то сетка называется равномерной (однородной). Множество значений функции, определяемых в узлах сетки, называется сеточной функцией. Сеточные функции не обязательно являются результатом приближенного (численного) решения дифференциальной задачи. Точное решение задачи, например, если оно может быть выражено в виде элементарных или специальных функции, также может быть представлено в виде набора значений данной функции в узлах сетки, т.е. в виде сеточной функции.

Сеточные функции могут рассматриваться как некоторые векторы конечной размерности. Для сравнения сеточных функций и оценок их близости естественно воспользоваться аппаратом функционального анализа, рассматривая их как элементы некоторого линейного векторного пространства с определенной нормой.

 

ТЕОРЕМА 1. Метод Эйлера (4) имеет первый порядок аппроксимации на решении задачи Коши (1) с функцией , удовлетворяющей условиям

,

 и для глобальной погрешности приближенного решения справедлива оценка

Если приближенное решение в новом узле сетки вычисляется с использованием информации только в одном предыдущем узле сетки, то методы такого типа принято называть одношаговыми.

Многошаговые методы, если приближенное решение в произвольном -том узле сетки вычисляется с использованием значений приближенного решения в предыдущих узлах сетки.