Понятие устойчивости численных методов для жестких систем. Метод Гира.

Рассмотрим модельную задачу для системы уравнений

 (1), где  - произвольные комплексные числа.

Система ДУ  (2) с матрицей  - жесткая, если собственные числа матрицы A: , т.е. система асимптотически устойчива по Ляпунову, и, кроме того, число жёсткости s:   (3)

В случае, когда система ДУ имеет стандартный вид , ,  для опр-я жесткости системы вместо A используется м-ца Якоби:

Т.к. матрица A, вообще говоря, зависит от решения задачи, то система уравнений может оказаться жесткой на интервале (ах), где собственные значения A обладают свойством (3).

Для модельной задачи (1) собственные числа совпадают с коэффициентами . Общая схема многошагового метода имеет вид , (4) или     (5)

Разностное уравнение (5) является однородным и характеристические корни данного уравнения, вообще говоря, отличны от корней характеристического уравнения  (6) в силу отличия коэфф-в уравнений. Однако, при достаточно малых значениях , корни характер-х многочленов (5) и (6) будут близки.

Таким образом, модельная задача позволяет заметить, что пр. ч. системы уравнений при грубых шагах сетки может оказать влияние на устойчивость разностной задачи => для жестких систем следует использовать такие численные схемы, для кот-х устойчивость разностной задачи не зависит от величины  => устойчивость алгоритма не будет зависеть от выбора шага сетки. Область значений параметра , при которых выполняется условие корней (все корни хар-го многочлена лежат на комплексной плоскости внутри круга единичного радиуса и отсутствуют кратные корни, лежащие на единичной окружности) для разностного уравнения (5) называют областью устойчивости метода.

 обеспечивает экспоненциальное затухание соответствующей компоненты вектора реш-я (аналит-е реш-е )

Компоненты, соответствующие большим отрицательным , затухают быстро, и спустя 5-10 шагов перестают сказываться на решении системы в целом. Однако шаг интегрирования должен всегда быть ориентирован на усл-е устойч-ти именно самой "быстрой" компоненты реш-я, ибо неудачный выбор шага может в корне изм-ть ее пов-е.   

Опр-е. Разностный метод называется А-устойчивым, если область его устойчивости сод-т левую полуплоскость комплексной плоскости, т.е. если он устойчив при .

       Понятие А -устойчивости означает абсолютную устойчивость метода для дифференциальных задач, асимптотически устойчивых по Ляпунову.

       Утверждение 1. Среди неявных линейных многошаговых методов отсутствуют А-устойчивые методы. имеющие порядок точности выше второго.

       Утверждение 2. Не существует явных А-устойчивых численных методов.

 Для численного решения жестких систем рекомендуется использовать метод Гира. Эти методы можно охарактеризовать как класс чисто неявных многошаговых методов (пр. часть системы учитывается в разностном ур-ии только в одном узле, текущем, в кот-м вычисл-ся зн-е неизвестного решения) вида (4), у которых .

       Порядок локальной точности метода Гира совпадает с порядком разностного уравнения. Коэффициенты метода Гира находятся однозначно из системы уравнений

 

а коэффициент  затем выражается следующим образом .

Эта система пол-ся при рассмотрении невязки разностного метода путем приравнивания к нулю членов одинакового порядка малости от нулевого до -го. Пр-р одношагового метода Гира – неявная схема Эйлера первого порядка точности