Многошаговые методы. Явные и неявные методы. Метод Адамса

Можно построить численный метод высокого порядка аппроксимации, и при этом будет требоваться вычисление функции правой части только в узлах сетки. Такая задача решена в рамках многошаговых методов. Общая формулировка m - шагового линейного метода имеет вид: , (0)

где . 

Особенность многошаговых методов состоит в том, что приближенное решение в произвольном -том узле сетки вычисляется с использованием значений приближенного решения в предыдущих m узлах сетки. Отметим, что начальные условия задачи Коши заданы только в одном узле. Для начала расчетов по (0) нужно получить недостающие m-1 значений решения. Это, например, можно осуществить с помощью формул Р-К или метода Эйлера, но шаг сетки при этом необходимо брать достаточно малым, чтобы погрешность, вносимая в приближенное значение недостающих неизвестных, была сопоставима с ожидаемой погрешностью многошагового метода. 

Если определены (с достаточной точностью) значения решения в узлах сетки , то уравнение (0) дает рекурсивный алгоритм нахождения приближ-го решения в узлах сетки При этом функция правой части в каждом узле сетки вычисляется однократно.

Если , то         (1)

Разностные методы вида (1) принято называть явными, подчеркивая тем самым возможность выразить в нем неизвестное решение в явном виде.

 

Если , то решение  уравнения (0) в общем случае не может быть выражено в явном виде: (2)

В этом случае метод называется неявным. Для нахождения неизвестного решения может быть использован какой-либо итерационный метод. Например, итерационный метод Пикара .

В качестве начального приближения итерационного метода можно использовать известное решение в предыдущем узле сетки: , либо, например, приближение по схеме Эйлера: . При достаточно малых шагах сетки такой итерационный процесс сходится и позволяет за 2-3 итерации получить удовлетворительную точность решения. Более высокую скорость сходимости может обеспечить итерационный метод Ньютона.  

 

Метод Адамса:

Общая формулировка методов Адамса имеет вид   (3)

Относительно методов Адамса известно, что для явных методов вида (3)

максимальный порядок точности равен N, а для неявных схем с  максимальный порядок аппроксимации равен N+1. Нахождение коэффициентов  для получения максимального порядка аппроксимации аналогично, как и для методов Рунге-Кутты (обеспечивающие обнуление "возмущающих" слагаемых до максимально возможного порядка малости).

       Заметим, что в методе Адамса, в отличие от методов Рунге-Кутты, условие достижения максимального порядка аппроксимации приводит к однозначному определение коэффициентов, а сама задача нахождения коэффициентов схемы аналогична построению интерполяционного полинома заданного порядка.

Для явных методов Адамса нахождение неизвестного решения носит характер экстраполяции (приближённое определение значений функции f(x) в точках x, лежащих вне отрезка [x₀,x_n], по её значениям в точках x₀ < x₁ <... < x_n), что связано с выходом искомого решения за границы интервала, на котором решение и правые части уже вычислены. В силу этого экстраполяционные (явные) методы Адамса имеют меньшую точность и устойчивость по сравнению с неявными.   

Примером методов Адамса могут быть трех- и четырехшаговые явные методы 

,   (4)

. (5)

Неявный метод Адамса четвертого порядка аппроксимации имеет вид.

. (6)

Заметим, если правая часть задачи зависит от решения, то для вычисления  в общем случае требуется использовать неизвестное в данном узле решение . В итоге, уравнение (6) может оказаться неразрешимым явно относительно искомого решения. Для преодоления указанных трудностей на практике обычно используют комбинацию формул (5) и (6). Формула (5) служит для предсказания решения с пятым порядком точности (погрешность на одном шаге на порядок выше порядка аппроксимации), а схема (6) в силу своей неявности, осуществляет коррекцию приближенного решения с целью повышения устойчивости и точности метода.