Оптимальное значение итерационного параметра. Метод минимальных невязок.

 

Вычисление оптимального значения итерационного параметра при решении систем линейных алгебраических уравнений требует знания спектра матрицы системы. Определение границ спектра матрицы – непростая задача. Рассмотрим один способ оптимизации итерационного параметра, для которого не требуется симметричность матрицы системы и знание границ её спектра.

Для решения системы ЛАУ  с положительно определенной матрицей  используем итерационный метод  (1)

В отличие от метода простой итерации в итерационном процессе (1) используется переменный итерационный параметр. Определим, каким должно быть значение итерационного параметра , чтобы норма погрешности  для очередного итерационного приближения имела минимальное значение  ()

Для погрешности итерационного метода (1) имеем  (2)

Умножим скалярно уравнение (2) само на себя, предварительно умножив его слева на матрицу :

.

Условие минимума нормы погрешности определим из равенства нулю ее производной:

.

Из последнего равенства имеем .

Учитывая, что , получаем выражение для оптимального значения итерационного параметра ,   (3)

Таким образом, мы приходим к итерационному методу с оптимальным выбором итерационного параметра, обеспечивающего на каждой итерации минимальное значение нормы погрешности :   (4)

Итерационный метод (4) называется метод минимальных невязок, поскольку  и каждая итерация (4) соответствует нахождению следующего приближения, минимизирующего норму невязки .

       Задача выбора оптимального набора итерационных параметров, обеспечивающих минимизацию погрешности решения после  итераций, позволяет добиться лучших результатов в ускорении сходимости, нежели рассмотренная выше оптимизация итерационного параметра на каждом итерационном шаге в отдельности.

Основные понятия теории разностных схем. Пространство сеточных функций и сеточные нормы.

 

Для численного решения задач по дифференциальным уравнениям методом сеток (конечных разностей) необходимо проделать следующее. Область непрерывного изменения аргумента (аргументов) искомой функции заменяется конечным дискретным множеством точек, называемых узлами сетки. Все производные, входящие в дифференциальную задачу, заменяются разностными производными. Это осуществляется тем или иным методом конструирования разностных схем. В конечном итоге получаем систему алгебраических уравнений. Таким образом, сущность метода сеток состоит в замене исходных дифференциальных задач системами алгебраических уравнений, их приближенно заменяющими.

Если при измельчении шагов сетки решение разностной схемы сходится к решению исходной дифференциальной задачи, то за решение исходной задачи принимается решение разностной схемы. После конструирования разностной схемы необходимо провести теоретические исследования разрешимости задач. Внутренними свойствами разностной схемы являются аппроксимация и устойчивость. Эти свойства разностной схемы должны исследоваться для каждой схемы.

Получающиеся разностные схемы решаются теми или иными методами решения систем алгебраических уравнений. Разрешающий алгоритм должен быть экономичным и этим же требованиям должна обладать и разностная схема.

 

Сеточная область

Для построения разностной схемы необходимо построить сетку G_h - конечное множество точек, принадлежащих G, плотность распределения которых характеризуется параметрами h-шагом сетки. Пусть область изменения аргумента x есть отрезок G={0≤x≤1}. Разобьем этот отрезок точками x_i=i∙h, i=0,n на n равных частей длины h=1/n каждая. Множество точек x_i=i∙h, называется равномерной сеткой на отрезке 0≤x≤1 и обозначим ={x_i=i∙h, i=0,n}, а число h - расстояние между точками (узлами) сетки называется шагом сетки.

Разбиение отрезка 0≤x≤1 точками x_i, i=0,n можно производить произвольным образом: 0<x₁<…<x_n-1<1. Тогда получаем сетку ={x_i, i=0,n, x₀=0, x_n=1} c шагами h_i=x_i-x_i-1, которые зависит от номера узла сетки. Если h_i≠h_i+1 хотя бы в одной точке, то сетка называется неравномерной и такую сетку обозначают ŵ . Точки x₀ и x_n назовем граничными узлами и обозначим их г_h. Остальные узлы назовем внутренними и обозначим их w_h. Узлы, соседние с граничащими, назовем приграничными. Тогда имеем =w_h г_h.