Все, что нас окружает, в том числе и мы сами, является системами.

ПРИКЛАДНОЙ СИСТЕМНЫЙ АНАЛИЗ

Учебное пособие и методические указания к выполнению РГР

 

Новосибирск

2012

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение.............................................................................................................................................4

1. Возникновение и развитие системных представлений............................................................5

1.1. Роль системных представлений в практической деятельности.......................................5

1.2. История развития системных представлений....................................................................5

1.3. Контрольные вопросы..........................................................................................................6

2. Модели и моделирование............................................................................................................8

2.1. Моделирование – неотъемлемый этап любой целенаправленной

         деятельности.........................................................................................................................8

2.2. Способы воплощения моделей............................................................................................9

2.3. Соответствие между моделью и действительностью: различия.....................................10

2.4. Соответствие между моделью и реальностью: сходство.................................................10

2.5. Контрольные вопросы.........................................................................................................11

3. Системы. Модели систем...........................................................................................................13

  3.1. Первое определение системы............................................................................................13

  3.2. Модель «черного ящика»...................................................................................................13

  3.3. Модель состава системы....................................................................................................15

  3.4. Модель структуры системы...............................................................................................15

3.5.  Второе определение системы. Структурная схема системы..........................................16

3.6.  Динамические модели систем...........................................................................................17

3.7.  Большие и сложные системы............................................................................................17

3.8.  Искусственные и естественные системы.........................................................................18

3.9.  Контрольные вопросы........................................................................................................18

4.  Роль измерений в создании моделей систем...........................................................................20

4.1. Эксперимент и модель.........................................................................................................20

4.2. Измерительные шкалы........................................................................................................20

4.3. Контрольные вопросы.........................................................................................................25

5. Выбор. Принятие решений........................................................................................................26

5.1. Многообразие задач выбора...............................................................................................26

5.2. Критериальный язык описания выбора.............................................................................27

5.3. Групповой выбор.................................................................................................................28

5.4. Выбор в условиях неопределенности................................................................................30

5.5. Достоинства и недостатки идеи оптимальности..............................................................33

5.6. Выбор и отбор......................................................................................................................34

5.7. Контрольные вопросы.........................................................................................................36

6. Декомпозиция и агрегатирование – процедуры системного анализа....................................37

6.1. Анализ и синтез в системных исследованиях...................................................................37

6.2. Модели систем как основания декомпозиции..................................................................38

6.3. Алгоритмизация процесса декомпозиции.........................................................................42

6.4. Агрегатирование, эмерджентность, внутренняя целостность систем............................44

6.5. Виды агрегатирования.........................................................................................................45

6.6. Контрольные вопросы.........................................................................................................48

7. О неформализуемых этапах системного анализа.....................................................................49

7.1. Что такое системный анализ?..............................................................................................49

7.2. Формулирование проблемы................................................................................................49

7.3. Выявление целей..................................................................................................................50

7.4. Формирование критериев....................................................................................................52

7.5. Генерирование альтернатив................................................................................................52

7.6. Алгоритмы проведения системного анализа.....................................................................54

7.7. Рабочие этапы реализации системного анализа…………………………………………54

7.8. Некоторые практические результаты применения системного анализа……………….59

7.9. Контрольные вопросы..........................................................................................................60

ЗАКЛЮЧЕНИЕ...............................................................................................................................61

ЛИТЕРАТУРА.................................................................................................................................65

СОДЕРЖАНИЕ РГР……………………………………………………………………… …….66

Образец РГР……………………………………..………………………………………….…..67

Вопросы к зачету по курсу……………………………………………………………..79

ВВЕДЕНИЕ

 

ВОЗНИКНОВЕНИЕ И РАЗВИТИЕ СИСТЕМНЫХ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ

Роль системных представлений в практической деятельности

Все наши успехи связаны с тем, насколько системно мы подходим к решению проблем, а наши неудачи связаны с отступлениями от системности. Основные признаки системности: структурированность системы, взаимосвязанность составляющих ее частей, подчиненность организации всей системы определенной цели. По отношению к человеческой деятельности эти признаки очевидны. Всякое наше действие преследует определенную цель. Во всяком действии есть его составляющие части, более мелкие действия. Эти составные части должны выполняться в определенной последовательности. Это и есть та самая определенная, подчиненная цели взаимосвязанность составных частей, которая и является признаком системности.

Системность и алгоритмичность. Другое название для такого построения деятельности – алгоритмичность. Понятие алгоритма означает, что задается определенная последовательность действий над числами или другими математическими объектами. В последнее время всерьез говорят об алгоритмах принятия решений, об алгоритмах обучения и т.д. Всякая деятельность алгоритмична, хотя это не всегда осознается. В случае неудачи возникшую причину следует искать в несовершенстве алгоритма. Явная алгоритмизация любой практической деятельности является повышением ее системности и служит важным источником ее развития. Роль системных представлений в практике постоянно увеличивается.

МОДЕЛИ И МОДЕЛИРОВАНИЕ

Моделирование – неотъемлемый этап любой

Человеческой деятельности

 

Понятие модели. Первоначально моделью называли некое вспомогательное средство, объект, который в определенной ситуации заменял другой объект. В результате очень долго понятие «модель» относилось только к материальным объектам специального типа, например, манекен (модель человеческой фигуры), модель плотины, модели судов и самолетов, чучела (модели животных) и т.п. При этом далеко не сразу была понята универсальность законов природы, всеобщность моделирования, т.е. не просто возможность, но и необходимость представлять любые наши знания в виде моделей.

Осмысление понятия модели привело к следующему определению: моделью называется некий объект – заменитель, который в определенных условиях может заменить объект – оригинал, воспроизводя интересующие нас свойства и характеристики оригинала, причем он имеет преимущества перед оригиналом (наглядность, обозримость, доступность испытаний и т.д.). Затем были осознаны модельные свойства чертежей, рисунков, карт. Следующий шаг заключался в признании того, что моделями могут служить и абстрактные построения, например, математические модели. В 20 в. понятие модели становится все более общим, охватывающим и реальные и идеальные модели. Модели могут быть качественно различными, они образуют иерархию, в которой модель более высокого уровня (например, теория) содержит модели нижних уровней (скажем, гипотезы) как свои элементы. Важно, что признание идеальных представлений, научных построений, законов в качестве моделей подчеркивает их относительную истинность.

Целесообразная деятельность и моделирование. Всякий процесс труда есть деятельность, направленная на достижение определенной цели. Целевой характер имеет не только трудовая деятельность, но и отдых, развлечения, игры и т.п. Поэтому следует говорить о различных видах целесообразной деятельности человека. Цель – есть модель состояния, на реализацию которого и направлена деятельность. Однако, роль моделирования этим не ограничивается. Системность деятельности проявляется в том, что она осуществляется по определенному плану (алгоритму). Следовательно, алгоритм – образ будущей деятельности, ее модель. Часто приходится заранее оценивать результат последующих действий, не выполняя их, т.е. проигрывать на модели. Таким образом, моделирование является обязательным, неизбежным действием во всякой целесообразной деятельности, хотя часто и не осознанным.

Цель как модель. Модель является не просто образом – заменителем оригинала, а отображением целевым. Модель отображает не сам по себе объект – оригинал, а то, что нас в нем интересует, т.е. то, что соответствует поставленной цели. Из того, что модель является целевым отображением, следует множественность моделей одного и того-же объекта. Для разных целей требуются разные модели. Сама целевая предназначенность моделей позволяет все многообразие моделей разделить на основные типы – по типам моделей.

Познавательные и прагматические модели. Разделим модели на познавательные и прагматические, что соответствует делению целей на теоретические и практические. Познавательные модели являются формой организации и представления знаний, средством соединения новых знаний с имеющимися. При обнаружении расхождения между моделью и реальностью встает задача устранения этого расхождения с помощью изменения модели. Познавательная деятельность ориентирована на приближение модели к реальности с помощью изменения модели. Прагматические модели являются средством управления, средством организации практических действий или их результата, т.е. являются рабочим представлением целей. При обнаружении расхождений между моделью и реальностью прилагают усилия, чтобы изменить реальность так, чтобы приблизить реальность к модели. Примерами прагматических моделей могут служить планы и программы действий, уставы организаций, кодексы законов, рабочие чертежи и шаблоны, экзаменационные требования и т.д. Основное различие между познавательными и прагматическими моделями заключается в том, что познавательные модели отражают существующее, а прагматические – не существующее, но желаемое и, возможно, осуществимое.

Статические и динамические модели. Для одних целей нам могут понадобиться «моментальные фотографии» интересующего нас объекта. Такие модели называются статическими. Если возникает необходимость в отображении изменений состояния объекта, тогда строятся динамические модели.

Способы воплощения моделей

 

Все модели делятся на абстрактные и материальные.

Абстрактные модели являются идеальными конструкциями, построенными средствами мышления, сознания. Очевидно, что к абстрактным моделям относятся языковые конструкции, т.е. модели, построенные средствами естественного языка. Они являются конечной продукцией мышления, готовой для передачи другим носителям языка. Большую роль в построении моделей играют и неязыковые формы мышления: эмоции, бессознательное, интуиция, озарение, образное мышление, подсознание и т.п. Естественные языки обладают высокой универсальностью, главными их недостатками является расплывчатость понятий. Рано или поздно возникают ситуации, когда это неприемлемо и тогда вырабатываются специализированные языки, более точные, чем естественные, например, языки конкретных наук или языки программирования для ЭВМ. В результате приходим к иерархии языков и соответствующей иерархии типов моделей. На верхнем уровне модели, создаваемые средствами естественного языка, на нижнем – модели, описываемые в точных терминах конкретных наук. Любая отрасль знаний может с тем большим основанием относиться к научной, чем в большей степени в ней используется математика. Математические модели обладают абсолютной точностью, но для их использования в данной области необходимо накопить достаточное количество знаний.

Материальные модели и виды подобия. Чтобы некоторая материальная конструкция могла быть отображением, т.е. заменяла бы в каком-то отношении оригинал, между оригиналом и моделью должно быть установлено отношение подобия. Существуют разные способы установления такого подобия. Прежде всего, это подобие, устанавливаемое в результате физического взаимодействия модели и оригинала: фотографии, макеты, куклы, протезы, шаблоны, выкройки и т.п. Назовем такое подобие прямым. Только при прямом подобии возможна трудно обнаруживаемая невзаимозаменяемость модели и оригинала (копии произведений искусства, фальшивые денежные знаки). С другой стороны, как бы ни хороша была модель, она всего лишь заменитель оригинала, выполняющая эту роль только в каком-то отношении. Часто возникает проблема переноса результатов экспериментов с модели на оригинал. Рассмотрим, например, испытания уменьшенной модели корабля на гидродинамические качества. Часть условий эксперимента можно привести в соответствие с масштабом модели (скорость движения), другая часть условий (вязкость воды, плотность и т.д.) не может быть масштабирована. Задача пересчета результатов эксперимента на модели на масштаб реального изделия становится нетривиальной. Для таких целей разработана специальная теория подобия и размерностей, относящаяся именно к моделям прямого подобия.

Второй тип подобия назовем косвенным. Косвенное подобие между оригиналом и моделью устанавливается не в результате их физического взаимодействия, а объективно существует в природе и обнаруживается в виде совпадения или близости их абстрактных моделей и используется в практике реального моделирования. Наиболее известным примером здесь является электротехническая аналогия. Появляется возможность заменить эксперименты с механической системой на простые опыты с электрической схемой. Роль моделей, обладающих косвенным подобием оригиналу, очень велика. Часы – аналог времени, подопытные животные – аналог человека. Аналоговые вычислительные машины позволяют найти решение почти любого дифференциального уравнения, представляя, таким образом, аналог описываемого уравнением процесса.

Третий, особый, класс материальных моделей образуют модели, обладающие условным подобием, установленным в результате соглашения. Примерами условного подобия служат деньги (модель стоимости), удостоверение личности (модель владельца), рабочие чертежи, карты и т.д.

Знаковые модели и сигналы. Теория связи, теория информации и ряд других наук имеют дело со специфическими моделями условного подобия, которые применяются в технических устройствах без участия человека. Они получили название сигналов. Правила построения и способы использования сигналов, названные кодом, кодированием и декодированием, сами стали предметом широких исследований.

Наука о моделях условного подобия, использующихся непосредственно человеком, называется «семиотика». Сами модели называются знаковыми. Хотя условное подобие в принципе не требует фактического сходства, оно должно строиться с учетом особенностей человека, создателя и потребителя этих моделей (дорожные знаки, числа, пиктограммы, буквы, иероглифы).

СИСТЕМЫ. МОДЕЛИ СИСТЕМ

 

Центральной концепцией теории систем, кибернетики, системного подхода является понятие системы. Потребность в использовании понятия «система» возникла для объектов различной природы с древних времен: еще Аристотель обратил внимание на то, что целое (т.е. система) несводимо к сумме частей, его образующих. В частности, термин «система» и связанные с ним понятия системного анализа исследуются, подвергаются осмыслению учеными различных направлений: кибернетиками, физиками, экономистами и т.д. Солнечная система, система управления станком, экономическая система, в математике – система уравнений, система счисления подчеркивают упорядоченность, целостность, наличие определенных закономерностей.

Системы подразделяют на классы по различным признакам. В зависимости от решаемой задачи можно выбрать разные принципы классификации:

· по виду отображаемого объекта: технические, биологические, экономические и т.д.;

· по виду научного направления: математические, физические, химические;

· по поведению: детерминированные и стохастические;

· по поведению во времени: статические и динамические;

· по связям с внешней средой: открытые и закрытые;

· абстрактные и материальные.

 

Первое определение системы

 

Проблемы и системы. Начнем с рассмотрения искусственных систем, создаваемых человеком с определенными целями. Проблемность существующего положения осознается в несколько стадий: от смутного ощущения, что что-то не так, к осознанию потребности, затем к выявлению проблемы и, наконец, к формулированию цели. Цель – это субъективный образ (абстрактная модель) несуществующего, но желательного состояния среды, которое разрешило бы существующую проблему. Вся последующая деятельность направлена на достижение цели, т.е. отбор из окружающей среды объектов и объединение этих объектов надлежащим образом в некоторую систему. Другими словами – система есть средство достижения цели. Это и есть первое определение системы.

Сложности выявления целей. Известны случаи, когда созданная система полностью отвечала поставленным целям, но совершенно не удовлетворяла тех, кто эти цели формулировал. В инженерной практике момент постановки целей (формулирование технического задания) – один из важнейших этапов создания систем. Обычно цели оперативно уточняются уже в процессе проектирования.

Модель черного ящика

 

ОКРУЖАЮЩАЯ СРЕДА        входы                             выходы Модель черного ящика

Компоненты черного ящика. В первом определении системы сделан акцент на назначение системы и ничего не говорится об ее устройстве. Поэтому ее модель можно изобразить в виде непрозрачного «ящика», выделенного из окружающей среды. Эта простая модель по-своему отражает два следующих важных свойства системы: целостность и обособленность от окружающей среды. Система связана со средой и с помощью этих связей воздействует на среду. Выходы в данной модели соответствуют слову «цель» в первом определении системы. Кроме того, система является средством, поэтому должны существовать и способы воздействия на нее – «входы». Мы построили модель системы, которая получила название «черного ящика». Такая модель часто оказывается полезной.

Пытаясь максимально формализовать модель «черного ящика», мы приходим к заданию двух множеств X и Y -  входных и выходных переменных, но никаких других отношений между множествами не фиксируем.

Сложности построения модели «черного ящика».

Пример 1. Наручные часы – перечень всех выходов (целей).

1. Показание времени в произвольный момент.

2. Удобство ношения часов.

3. Требования санитарии и гигиены.

4. Прочность.

5. Пыле-влагонепроницаемость

6. Точность.

7. Наглядность показаний.

8. Вес.

9. Эстетические требования.

10. Цена.

11. Снятие показаний в темноте.

12. Функция будильника и т. д.

Пример 2. Входы легкового автомобиля (управляющие воздействия).

1. Руль.

2. Сцепление, газ и тормоз.

3. Рычаг коробки передач.

4. Освещение и сигнализация.

5. Ручка стояночного тормоза.

6. Регулировочные винты.

7. Точки смазки и заправочные отверстия.

8. Двери салона, багажник и капот.

9. Окна и зеркала.

10. Механическое воздействие грунта на колеса.

11. Поле тяготения Земли.

12. Температура окружающего воздуха.

13. Аэродинамическое сопротивление воздуха.

14. Силы инерции и т.д.

Рассмотренные примеры показывают, что построение модели «черного ящика» не является тривиальной задачей, так как на вопрос о том, сколько и какие именно входы и выходы следует включать в модель, ответ далеко не прост и не однозначен. Установим причины этого факта.

Множественность входов и выходов. Главной причиной множественности входов и выходов в модели «черного ящика» является то, что всякая реальная система взаимодействует с окружающей средой неограниченным числом способов. Строя модель системы, мы из этого множества связей отбираем конечное их число для включения в список входов и выходов. Критерием отбора при этом является целевое назначение модели, существенность той или иной связи по отношению к этой цели. Часто оказывается, что казавшееся несущественным или неизвестным для нас, на самом деле важно и должно быть учтено.

Особое значение это имеет при задании целей системы, т.е. при определении ее выходов. Реальная система вступает во взаимодействие со всеми объектами окружающей среды, поэтому важно как можно раньше учесть все наиболее важное. В результате главную цель приходится сопровождать заданием дополнительных целей. В частности, пассажирский самолет должен не только летать, но и обеспечивать комфорт и безопасность пассажиров; не создавать сильного шума при взлете и посадке; не требовать слишком длинных ВПП; быть выгодным в эксплуатации и т.д.

Важно подчеркнуть, что выполнения только основной цели недостаточно, что невыполнение дополнительных целей может сделать ненужным или даже вредным и опасным достижение основной цели. Этот момент заслуживает особого внимания, т.к. на практике часто обнаруживается незнание, непонимание или недооценка важности указанного положения. Между тем оно является одним из центральных во всей системологии.

Модель состава системы

 

Компоненты модели состава. Целостность и обособленность выступают как важнейшие свойства системы. Внутренность «ящика» оказывается неоднородной, что позволяет различать составные части системы. При более детальном рассмотрении некоторые части системы могут быть также разбиты на составные части и т.д. Те части системы, которые мы рассматриваем как неделимые, будем называть элементами. Части системы, состоящие более чем из одного элемента, назовем подсистемами. При необходимости можно ввести обозначения, указывающие на иерархию частей (например, подсистема n-уровня).

СИСТЕМА       Модель состава системы

Сложности построения модели состава. Если дать разным экспертам задание определить состав одной и той же системы, то результаты их работы будут отличаться и иногда довольно значительно. Существует, по крайней мере, три причины этого факта. Во-первых, понятие элементарности можно определить по-разному. То, что с одной точки зрения является элементарным, с другой – оказывается подсистемой. Во-вторых, как и любые модели, модель состава является целевой, и для различных целей один и тот же объект потребуется разбить на разные части. В-третьих, всякое разделение целого на части является относительным, в определенной степени условным. Это относится и к границам между самой системой и окружающей средой. Один и тот же завод для директора, главного бухгалтера, начальника пожарной охраны состоит из совершенно различных подсистем.

 

Модель структуры системы

 

Совокупность необходимых и достаточных для достижения цели отношений (связей) между элементами называется структурой системы.

Отношения и структуры. Между реальными элементами системы может быть бесконечное количество отношений. Однако, когда мы рассматриваем некоторую совокупность объектов как систему, то из всех отношений важными, т.е. существенными для достижения цели, являются лишь некоторые. Таким образом, в модель структуры мы включаем только конечное число связей, которые существенны для достижения цели.

Пример. При расчете механизма не учитываются силы взаимного притяжения его деталей.

Пример. Выделение языковых конструкций, выражающих отношения (типа находиться на (под, около), быть причиной, быть подобным, быть одновременно, состоять из, двигаться к (от, вокруг) и т.п.) привело к выводу, что в английском, итальянском и русском языках число выражаемых отношений примерно одинаково и несколько превышает 200.

 

Динамические модели систем

 

Отображение динамики моделей. Системы, в которых происходят изменения со временем, будем называть динамическими, а модели, отображающие эти изменения, - динамическими моделями систем. Для разных систем разработано большое количество динамических моделей – от самого общего понятия динамики, до формальных математических моделей конкретных процессов – уравнения движения в механике, волновые уравнения в теории поля и т.д.

Функционирование и развитие.  Уже на этапе «черного ящика» различают два типа динамики системы: ее функционирование и развитие. Под функционированием понимают процессы, которые происходят в системе и окружающей среде при реализации фиксированных целей. Развитием называют то, что происходит с системой при изменении ее целей. Характерной чертой развития является тот факт, что существующая структура перестает соответствовать новой цели и для обеспечения новой функции приходится изменять структуру, а иногда и состав системы.

Типы динамических моделей. Следует различать части, этапы происходящего процесса, рассматривать их взаимосвязи. Типы динамических моделей такие же, как и статических, только элементы этих моделей имеют временной характер. Например, динамический вариант «черного ящика» – указание начального («вход») и конечного («выход») состояния системы (например, как в пятилетнем плане). Модели состава соответствует перечень этапов в некоторой упорядоченной последовательности действий. Например, доказано, что любой алгоритм можно построить, используя всего три оператора: «выполнить», «если то», «пока». Динамический вариант «белого ящика» – это подробное описание происходящего или планируемого процесса. В промышленности для этого широко используются сетевые графики. Те же типы моделей прослеживаются и при более глубокой формализации динамических моделей.

 

Большие и сложные системы

 

Большая система – система, моделирование которой затруднено вследствие ее размерности (большого количества элементов).

Сложная система – система, в которой не хватает информации для эффективного управления.

Можно разделять системы следующим образом:

1. Малые простые (исправные бытовые приборы - утюг, часы, холодильник и т.д.).

2. Малые сложные (неисправные бытовые приборы – для пользователя).

3. Большие простые (шифрозамок для похитителя).

4. Большие сложные (мозг, экономика, живой организм).

Эксперимент и модель

 

Эксперимент с некоторым объектом проводится, чтобы уточнить или построить модель этого объекта, поэтому постановка эксперимента определяется имеющейся до опыта моделью. Это полностью относится и к экспериментальному исследованию систем. В изначальном смысле отношение между экспериментом и моделью такое же, как и между курицей и яйцом: они находятся в одном цикле, и нельзя определить, «что было в самом начале».

Рассмотрим возможности опытов с системами. Начнем с модели «черного ящика». Выбор именно этих входов и выходов и есть построение модели, которая и будет определять организацию опыта. Если мы только регистрируем события на выбранных входах и выходах, то опыт называется пассивным экспериментом (или наблюдением). Если мы как-то воздействуем на входы и выходы, то опыт называется активным (или управляемым) экспериментом.

Результаты опытов регистрируются с помощью измерений. Важно, что современное понятие измерения существенно шире только количественного измерения. Оставив незыблемым принцип проверки адекватности модели на опыте, современный подход позволил расширить понятие измерения, по крайней мере, в четырех отношениях.

Современное понятие эксперимента.

1. Стало ясно, что существуют наблюдаемые явления, в принципе не допускающие числовой меры (например, количество материнской любви), но которые можно фиксировать в «слабых», «качественных» шкалах и эти результаты учитывать в моделях, получая качественные, но вполне научные результаты.

2. Расплывчатость некоторых наблюдений также признана их неотъемлемым природным свойством, которому придана строгая математическая форма, и разработан формальный аппарат работы с такими наблюдениями.

3. Осознано, что погрешности измерений являются не только чем-то побочным для измерений, но и неотъемлемым, естественным и неизбежным свойством самого процесса измерения. Проверяемыми на практике должны быть не только гипотезы об исследуемой модели, но и гипотезы об ошибках измерения.

4. Широкое распространение получили статистические измерения.

 

Измерительные шкалы

 

Измерение – это алгоритмизированная операция, которая данному наблюдаемому состоянию объекта, процесса, явления ставит в соответствие определенное обозначение: число или символ. Результаты измерений содержат информацию о наблюдавшемся объекте. Количество информации зависит от степени полноты этого соответствия и разнообразия вариантов. Нужная нам информация получается из результатов измерений с помощью их преобразований. Совершенно ясно, что чем теснее соответствие между состояниями и их обозначениями, тем больше информации можно извлечь в результате обработки данных. Менее очевидно, что степень этого соответствия зависит не только от организации измерений, но и от природы исследуемого явления, и что сама степень соответствия определяет допустимые и недопустимые способы обработки данных.

Здесь мы рассмотрим только такие объекты, про любые два состояния которых можно сказать, различимы они или нет, и только такие алгоритмы измерения, которые различным состояниям ставят в соответствие разные обозначения, а неразличимым состояниям – одинаковые обозначения. Это означает, что как состояния объекта, так и их обозначения удовлетворяют следующим аксиомам тождества:

1⁰. Либо А=В, либо А¹В

2⁰. Если А=В, то В=А

3⁰. Если А=В и В=С, то А=С

Шкалы наименований.  Предположим, что число различных состояний конечно. Каждому классу эквивалентности поставим в соответствие обозначение, отличное от обозначений других классов. Тогда измерение будет состоять в том, чтобы, проведя эксперимент над объектом, определить принадлежность результата к тому или иному классу эквивалентности и записать это с помощью символа, обозначающего данный класс. Такое измерение называется измерением в шкале наименований.

Особенности шкалы наименований рассмотрим на примерах. Естественнее всего использовать шкалу наименований для классификации дискретных по своей природе явлений. Для обозначения классов могут быть использованы символы естественного языка (географические названия, имена), произвольные символы (гербы и флаги, эмблемы родов войск), номера (гос. номера автомобилей, исх. номера документов, номера на майках спортсменов), их различные модификации (почтовые адреса). При большом числе объектов их конкретизация упрощается, если обозначения вводятся иерархически (почтовые адреса).

Необходимость классификации возникает и в тех случаях, когда классифицируемые состояния образуют непрерывное множество. Задача сводится к предыдущей, если все множество разбить на конечное число подмножеств. Однако, условность введенных классов рано или поздно проявится на практике. Например, возникают трудности при точном переводе с одного языка на другой при описании цветовых оттенков (в английском языке голубой, лазоревый и синий цвета не различаются).

Перейдем теперь к вопросу о допустимых операциях над данными, выраженными в номинальной шкале. Обозначения классов – это только символы. Если у одного спортсмена на майке номер 4, а у другого 8, то никаких других выводов, кроме того, что это разные участники соревнований, сделать нельзя. С номерами нельзя обращаться как с числами, за исключением определения их равенства или неравенства. Только эти отношения определены между элементами номинальной шкалы. Поэтому при обработке экспериментальных данных, зафиксированных в номинальной шкале, непосредственно с самими данными можно выполнять только операцию проверки их совпадения или несовпадения.

Изобразим эту операцию с помощью символа Кронекера d_ij={1: x_i=x_j; 0: x_i¹x_j}, где x_i и x_j – записи разных измерений. С результатами этой операции можно выполнять более сложные преобразования: считать количества совпадений (например, число наблюдений k –класса равно , n – общее число наблюдений); вычислять относительные частоты классов (например, частота k –класса есть ); сравнивать эти частоты между собой, выполнять различные статистические процедуры, строго следя, чтобы в этих процедурах с исходными данными не выполнялось никаких действий, кроме операции проверки их на совпадение.

Порядковые шкалы. В тех случаях, когда измеряемый признак состояния имеет природу не только позволяющую отождествлять состояния с одним из классов эквивалентности, но и дающую возможность в каком-то отношении сравнивать разные классы, для измерений можно выбрать более сильную шкалу, чем номинальная. Следующей по силе за номинальной шкалой является порядковая (или ранговая) шкала. Этот класс шкал появляется, если кроме аксиом тождества 1⁰ – 3⁰ классы удовлетворяют следующим аксиомам упорядоченности:

4⁰. Если А>В, то В<А

5⁰. Если А>В и В>С, то А>С

Обозначив такие классы символами и установив между этими символами те же отношения порядка, мы получим шкалу простого порядка. Примерами применения такой шкалы являются: нумерация очередности, воинские звания, призовые места на соревнованиях.

Иногда оказывается, что не каждую пару классов можно упорядочить по предпочтению: некоторые пары считаются равными. В этом случае аксиомы 4⁰ и 5⁰ видоизменяются

4¹. Либо А£В, либо А³В

5¹. Если А³В и В³С, то А³С

Шкала, соответствующая аксиомам 4¹ и 5¹ называется шкалой слабого порядка. Примером шкалы слабого порядка служит упорядочение по степени родства с конкретным лицом (мать=отец>сын=дочь) и т.д.

Иная ситуация возникает, когда имеются пары классов, несравнимые между собой, т.е. ни А£В, ни В£А. В этом случае говорят о шкале частичного порядка. Такие шкалы часто возникают в социологических исследованиях субъективных предпочтений. Например, при изучении покупательского спроса субъект часто не в состоянии оценить, какой именно из двух разнородных товаров ему больше нравится (клетчатые носки или фруктовые консервы).