Расчет параметров показательной парной регрессии

Поскольку показательная функция относится к классу нелинейных по оцениваемым параметрам, то построению функции парной показательной регрессии

ŷ_x = a · b^x

предшествует, как и в случае степенной функции регрессии, процедура линеаризации переменных с помощью логарифмирования обеих частей функции регрессии. После логарифмирования получим следующее выражение:

lg ŷ_х =lg a + x lg b.

Введя обозначения переменных и констант

Ŷ = lg ŷ_х, A = lg a, B = lg b,

получим линейное уравнение регрессии в новых переменных:

Ŷ = A + B x.

Для определения параметров все вычисления сведены в табл. 2.3.

Таблица 2.3

 

Номер п/п	x	Y	x × Y	x ^2	Y ^2
	30,3	3,761	113,958	918,09	14,145	41,321	1,649	3,838
	32,425	3,771	122,275	1051,38	14,220	46,580	3,172	7,307
	31,182	3,576	111,507	972,317	12,788	43,427	7,685	21,501
	32,646	3,780	123,402	1065,76	14,288	47,164	3,358	7,666
	34,409	3,941	135,606	1183,97	15,532	52,093	0,619	1,203
	29,098	3,665	106,644	846,694	13,432	38,613	0,431	1,104
	29,289	3,671	107,520	857,846	13,476	39,031	0,269	0,685
	34,857	4,072	141,938	1215,01	16,581	53,425	5,228	8,913
	35,108	4,114	144,434	1232,57	16,925	54,187	7,007	11,451
	29,305	3,566	104,502	858,783	12,716	39,066	3,676	10,387
	25,254	3,523	88,970	637,765	12,412	31,089	2,798	8,257
	31,945	3,758	120,049	1020,48	14,123	45,336	2,471	5,765
Сумма	375,81	45,198	1420,805	11860,6	170,63	-	-	-
Среднее значение	31,318	3,767	118,400	988,390	14,220	-	-	-

 

C учетом табличных данных значения параметров линейной регрессии составят:

B = / S_x ² = (118,400 – 3,767×31,318)/(988,390 – 980,817) = 0,056;

A = – B = 3,767 – 0,056×31,318 = 2,013.

Таким образом, получено уравнение

Ŷ = 2,013 + 0,056 x,

или после потенцирования

ŷ_x = 7,486 (1,058) ^x.

На Рис. 9 представлены опытные значения стоимости квадратного метра жилья на первичном рынке и его себестоимости, а также теоретические значения стоимости квадратного метра жилья на первичном рынке в Приволжском федеральном округе. На Рис. 10 выполнено построение показательной функции регрессии.

 

Рис. 9

 

Рис. 10

На Рис. 11 и Рис. 12 представлены все построенные функции регрессии

 

Рис. 11

 

Рис. 12

 

Дисперсионный анализ линейной функции регрессии

Центральное место в дисперсионном анализе занимает разложение общей суммы квадратов отклонения результирующего показателя y от его среднего значения на две части, а именно на объясненную (факторную) и остаточную:

, (*)

где – общая сумма квадратов отклонений;

– объясненная (факторная) сумма квадратов;

– остаточная сумма квадратов.

 

Результаты расчетов сведены в табл. 2.4.

 

Таблица 2.4

 

Номер п/п	yi	| yi – |	(yi – )^2	ŷxi	| ŷxi – |	(ŷxi – )^2	| yi – ŷxi |	(yi – ŷxi)^2
	42,97	1,008	1,016	41,292	2,686	7,215	1,678	2,816
	43,408	0,57	0,325	46,900	2,922	8,538	3,492	12,194
	35,742	8,236	67,832	43,619	0,359	0,129	7,887	62,205
	43,806	0,172	0,030	47,483	3,505	12,285	3,677	13,520
	51,474	7,496	56,190	52,135	8,157	66,537	0,661	0,437
	39,044	4,934	24,344	38,120	5,858	34,316	0,924	0,854
	39,3	4,678	21,884	38,624	5,354	28,665	0,676	0,457
	58,653	14,675	215,356	53,318	9,340	87,236	5,335	28,462
	61,194	17,216	296,391	53,980	10,002	100,040	7,214	52,042
	35,39	8,588	73,754	38,666	5,312	27,217	3,276	10,732
	33,887	10,091	101,828	27,975	16,003	256,096	5,912	34,952
	42,865	1,113	1,239	45,633	1,655	2,739	2,768	7,662
Сумма	527,733	78,777	860,189	527,745	-	632,013	-	226,333
Среднее значение	43,978	6,565	71,682	43,978	-	52,668	-	18,861

 

На основании выполненных расчетов имеем: 860,189 = 632,013 + 226,333. Погрешность равенства 0,2% следует отнести к вычислительной, а следовательно, равенство (*) выполняется.

Если коэффициент b изменить в 1,1 раза, то измененное уравнение линейной регрессии будет иметь вид: ŷ_x = -46,938 + 2,903· x и приведенное выше соотношение (*) выполняться не будет, что следует из расчетов (табл. 2.5).

Таблица 2.5

 

Номер п/п	yi	| yi – |	(yi – )^2	ŷxi	| ŷxi – |	(ŷxi – )^2	| yi – ŷxi |	(yi – ŷxi)^2
	42,97	1,008	1,016	49,291	5,313	28,228	6,321	39,955
	43,408	0,57	0,325	55,460	11,482	131,836	12,052	145,251
	35,742	8,236	67,832	51,851	7,873	61,984	16,109	259,500
	43,806	0,172	0,030	56,101	12,123	146,967	12,295	151,167
	51,474	7,496	56,190	61,219	17,241	297,252	9,745	94,965
	39,044	4,934	24,344	45,802	1,824	3,327	6,758	45,671
	39,3	4,678	21,884	46,356	2,378	5,655	7,056	49,787
	58,653	14,675	215,356	62,520	18,542	343,806	3,867	14,954
	61,194	17,216	296,391	63,249	19,271	371,371	2,055	4,223
	35,39	8,588	73,754	46,402	2,424	5,876	11,012	121,264
	33,887	10,091	101,828	34,642	9,336	87,161	0,755	0,570
	42,865	1,113	1,239	54,066	10,088	101,768	11,201	125,462
Сумма	527,733	78,777	860,189	629,95	-	1585,231	-	1052,76
Средн.зн.	43,978	6,565	71,682	52,247	-	132,103	-	87,731

 

Из таблицы следует:

860,189 ≠ 1585,231 + 1052,769,

т.е. .

На Рис. 13 результаты дисперсионного анализа для линейной функции регрессии представлены графически.

 

Рис. 13

 

Оценка тесноты связи цен на жилье на первичном рынке и себестоимости строительства с помощью показателей корреляции и детерминации

Уравнение регрессии всегда дополняется показателем тесноты связи. При использовании линейной регрессии в качестве такого показателя выступает линейный коэффициент корреляции r_{xy .} Существуют различные формы записи линейного коэффициента корреляции. Наиболее часто встречаются следующие:

r_xy = b (S_x / S_y) = M_xy /(S_x / S_y) = ( – )/ S_xS_y.

Как известно, линейный коэффициент корреляции находится в пределах –1 ≤ r_xy ≤ 1. Если коэффициент регрессии b > 0, то 0 ≤ r_xy ≤ 1, и наоборот, при b < 0 –1 ≤ r_xy ≤ 0.

Используя первое выражение для r_{xy ,} рассчитаем линейный коэффициент парной корреляции:

r_xy = b (S_x / S_y) = 2,639 (2,752/8,465) = 0,858.

Значение коэффициента корреляции показывает, что связь прямая, то есть с увеличением себестоимости строительства цены жилья на первичном рынке в общих ценах увеличиваются.

Для оценки качества подбора линейной функции необходимо определить квадрат линейного коэффициента r_xy ², который называется коэффициентом детерминации линейной функции регрессии. Он характеризует долю дисперсии (разброса) цен на жилье на первичном рынке ŷ_x, объясняемую зависимостью от себестоимости строительства x, в общей дисперсии, возникающей за счет влияния множества факторов, не учтенных функцией регрессии.

Соответственно величина 1 – r_xy ² характеризует долю дисперсии цен на жилье на первичном рынке y, вызванную влиянием остальных не учтенных в математической модели факторов.

Определим коэффициент детерминации:

r_yx ² = (0,858)² = 0,736.

Следовательно, изменение стоимости цен квадратного метра жилья на первичном рынке на 73,6% объясняется изменением себестоимости строительства.