ТОП 10:

Расчет параметров показательной парной регрессии



Поскольку показательная функция относится к классу нелинейных по оцениваемым параметрам, то построению функции парной показательной регрессии

ŷx = a·bx

предшествует, как и в случае степенной функции регрессии, процедура линеаризации переменных с помощью логарифмирования обеих частей функции регрессии. После логарифмирования получим следующее выражение:

lg ŷх =lg a + x lg b.

Введя обозначения переменных и констант

Ŷ = lg ŷх, A = lg a, B = lg b,

получим линейное уравнение регрессии в новых переменных:

Ŷ = A + B x.

Для определения параметров все вычисления сведены в табл. 2.3.

Таблица 2.3

 

Номер п/п x Y x × Y x2 Y2
30,3 3,761 113,958 918,09 14,145 41,321 1,649 3,838
32,425 3,771 122,275 1051,38 14,220 46,580 3,172 7,307
31,182 3,576 111,507 972,317 12,788 43,427 7,685 21,501
32,646 3,780 123,402 1065,76 14,288 47,164 3,358 7,666
34,409 3,941 135,606 1183,97 15,532 52,093 0,619 1,203
29,098 3,665 106,644 846,694 13,432 38,613 0,431 1,104
29,289 3,671 107,520 857,846 13,476 39,031 0,269 0,685
34,857 4,072 141,938 1215,01 16,581 53,425 5,228 8,913
35,108 4,114 144,434 1232,57 16,925 54,187 7,007 11,451
29,305 3,566 104,502 858,783 12,716 39,066 3,676 10,387
25,254 3,523 88,970 637,765 12,412 31,089 2,798 8,257
31,945 3,758 120,049 1020,48 14,123 45,336 2,471 5,765
Сумма 375,81 45,198 1420,805 11860,6 170,63 - - -
Среднее значение 31,318 3,767 118,400 988,390 14,220 - - -

 

C учетом табличных данных значения параметров линейной регрессии составят:

B = / Sx2 = (118,400 – 3,767×31,318)/(988,390 – 980,817) = 0,056;

A = B = 3,767 – 0,056×31,318 = 2,013.

Таким образом, получено уравнение

Ŷ = 2,013 + 0,056x,

или после потенцирования

ŷx = 7,486 (1,058) x.

На Рис. 9 представлены опытные значения стоимости квадратного метра жилья на первичном рынке и его себестоимости, а также теоретические значения стоимости квадратного метра жилья на первичном рынке в Приволжском федеральном округе. На Рис. 10 выполнено построение показательной функции регрессии.

 

Рис. 9

 

Рис. 10

На Рис. 11 и Рис. 12 представлены все построенные функции регрессии

 

Рис. 11

 

Рис. 12

 

Дисперсионный анализ линейной функции регрессии

Центральное место в дисперсионном анализе занимает разложение общей суммы квадратов отклонения результирующего показателя y от его среднего значения на две части, а именно на объясненную (факторную) и остаточную:

, (*)

где – общая сумма квадратов отклонений;

– объясненная (факторная) сумма квадратов;

– остаточная сумма квадратов.

 

Результаты расчетов сведены в табл. 2.4.

 

Таблица 2.4

 

Номер п/п yi | yi | (yi )2 ŷxi | ŷxi | (ŷxi )2 | yiŷxi | (yiŷxi)2
42,97 1,008 1,016 41,292 2,686 7,215 1,678 2,816
43,408 0,57 0,325 46,900 2,922 8,538 3,492 12,194
35,742 8,236 67,832 43,619 0,359 0,129 7,887 62,205
43,806 0,172 0,030 47,483 3,505 12,285 3,677 13,520
51,474 7,496 56,190 52,135 8,157 66,537 0,661 0,437
39,044 4,934 24,344 38,120 5,858 34,316 0,924 0,854
39,3 4,678 21,884 38,624 5,354 28,665 0,676 0,457
58,653 14,675 215,356 53,318 9,340 87,236 5,335 28,462
61,194 17,216 296,391 53,980 10,002 100,040 7,214 52,042
35,39 8,588 73,754 38,666 5,312 27,217 3,276 10,732
33,887 10,091 101,828 27,975 16,003 256,096 5,912 34,952
42,865 1,113 1,239 45,633 1,655 2,739 2,768 7,662
Сумма 527,733 78,777 860,189 527,745 - 632,013 - 226,333
Среднее значение 43,978 6,565 71,682 43,978 - 52,668 - 18,861

 

На основании выполненных расчетов имеем: 860,189 = 632,013 + 226,333. Погрешность равенства 0,2% следует отнести к вычислительной, а следовательно, равенство (*) выполняется.

Если коэффициент b изменить в 1,1 раза, то измененное уравнение линейной регрессии будет иметь вид: ŷx = -46,938 + 2,903·x и приведенное выше соотношение (*) выполняться не будет, что следует из расчетов (табл. 2.5).

Таблица 2.5

 

Номер п/п yi | yi | (yi )2 ŷxi | ŷxi | (ŷxi )2 | yiŷxi | (yiŷxi)2
42,97 1,008 1,016 49,291 5,313 28,228 6,321 39,955
43,408 0,57 0,325 55,460 11,482 131,836 12,052 145,251
35,742 8,236 67,832 51,851 7,873 61,984 16,109 259,500
43,806 0,172 0,030 56,101 12,123 146,967 12,295 151,167
51,474 7,496 56,190 61,219 17,241 297,252 9,745 94,965
39,044 4,934 24,344 45,802 1,824 3,327 6,758 45,671
39,3 4,678 21,884 46,356 2,378 5,655 7,056 49,787
58,653 14,675 215,356 62,520 18,542 343,806 3,867 14,954
61,194 17,216 296,391 63,249 19,271 371,371 2,055 4,223
35,39 8,588 73,754 46,402 2,424 5,876 11,012 121,264
33,887 10,091 101,828 34,642 9,336 87,161 0,755 0,570
42,865 1,113 1,239 54,066 10,088 101,768 11,201 125,462
Сумма 527,733 78,777 860,189 629,95 - 1585,231 - 1052,76
Средн.зн. 43,978 6,565 71,682 52,247 - 132,103 - 87,731

 

Из таблицы следует:

860,189 ≠ 1585,231 + 1052,769,

т.е. .

На Рис. 13 результаты дисперсионного анализа для линейной функции регрессии представлены графически.

 

Рис. 13

 

Оценка тесноты связи цен на жилье на первичном рынке и себестоимости строительства с помощью показателей корреляции и детерминации

Уравнение регрессии всегда дополняется показателем тесноты связи. При использовании линейной регрессии в качестве такого показателя выступает линейный коэффициент корреляции rxy. Существуют различные формы записи линейного коэффициента корреляции. Наиболее часто встречаются следующие:

rxy = b (Sx / Sy) = Mxy /(Sx / Sy) = ( )/ SxSy.

Как известно, линейный коэффициент корреляции находится в пределах –1 ≤ rxy ≤ 1. Если коэффициент регрессии b > 0, то 0 ≤ rxy ≤ 1, и наоборот, при b < 0 –1 ≤ rxy ≤ 0.

Используя первое выражение для rxy, рассчитаем линейный коэффициент парной корреляции:

rxy = b (Sx/Sy) = 2,639 (2,752/8,465) = 0,858.

Значение коэффициента корреляции показывает, что связь прямая, то есть с увеличением себестоимости строительства цены жилья на первичном рынке в общих ценах увеличиваются.

Для оценки качества подбора линейной функции необходимо определить квадрат линейного коэффициента rxy2, который называется коэффициентом детерминации линейной функции регрессии. Он характеризует долю дисперсии (разброса) цен на жилье на первичном рынке ŷx, объясняемую зависимостью от себестоимости строительства x, в общей дисперсии, возникающей за счет влияния множества факторов, не учтенных функцией регрессии.

Соответственно величина 1 – rxy2 характеризует долю дисперсии цен на жилье на первичном рынке y, вызванную влиянием остальных не учтенных в математической модели факторов.

Определим коэффициент детерминации:

ryx2 = ( 0,858 )2 = 0,736.

Следовательно, изменение стоимости цен квадратного метра жилья на первичном рынке на 73,6% объясняется изменением себестоимости строительства.

 

 







Последнее изменение этой страницы: 2016-04-08; Нарушение авторского права страницы

infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 34.232.62.209 (0.005 с.)