ТОП 10:

Расчет параметров уравнений линейной и нелинейной парной регрессии



 

Расчет параметров линейной парной регрессии

Парная линейная регрессия имеет вид:

ŷx = a + b · x,

где ŷx – результативный признак, характеризующий теоретические цены жилья на первичном рынке; x – фактор (себестоимость строительства);

a, b – параметры, подлежащие определению.

Построение уравнения регрессии сводится к оценке ее параметров. Для оценки параметров регрессии используется метод наименьших квадратов. Он позволяет получить такие оценки параметров, при которых сумма квадратов отклонений фактических значений результативного признака (цены жилья на первичном рынке) y от теоретических ŷx будет минимальной. В этом случае для определения параметров a и b линейной регрессии необходимо решить следующую систему уравнений:

На основании исходных данных выполнены расчеты, которые при = 12 представлены в табл. 2.1

Таблица 2.1

Номер п. п. %
30,3 42,97 918,09 1846,421 1301,991 41,292 1,678 3,905
32,425 43,408 1051,381 1884,255 1407,504 46,900 3,492 8,045
31,182 35,742 972,317 1277,491 1114,507 43,619 7,877 22,039
32,646 43,806 1065,761 1918,966 1430,091 47,483 3,677 8,394
34,409 51,474 1183,979 2649,573 1771,169 52,135 0,661 0,013
29,098 39,044 846,694 1524,434 1136,102 38,120 0,924 2,367
29,289 39,3 857,846 1544,49 1151,058 38,624 0,676 1,720
34,857 58,653 1215,011 3440,174 2044,468 53,318 5,335 9,096
35,108 61,194 1232,572 3744,706 2148,399 53,980 7,214 11,789
29,305 35,39 858,783 1252,452 1037,104 38,666 3,276 9,257
25,254 33,887 637,765 1148,329 855,782 27,975 5,912 17,446
31,945 42,865 1020,483 1837,408 1369,322 45,633 2,768 6,458
Сумма 375,818 527,733 11860,682 24068,699 16767,497 - - -
Среднее значение 31,318 43,978 988,390 2005,725 1397,3291 - - -

С учетом обозначений при n = 12

= (y1 + y2 + … + y12)/12; = (x1 + x2 + … + x12)/12;

= (y1x1 + y2x2 + … + y12 x12)/12;

= (x12 + x22 + … + x12)/12; Sx2 = 2.

Значения параметров линейной регрессии вычисляются по формулам:

b = ( )/( 2) = (1397,291 – 43,978 × 31,318) / (988,390 – 31,318 × 31,318 ) = 2,643;

a = b = 43,978 – 2,643 × 31,318 = – 38,795.

 

Тогда уравнение регрессии, являющееся линейной моделью цен жилья на первичном рынке в зависимости от себестоимости строительства, примет вид:

ŷx = 2,643 · x – 38,795.

На Рис. 5 представлены опытные значения стоимости квадратного метра

 

Рис. 5

жилья на первичном рынке и его себестоимости, а также теоретические значения стоимости квадратного метра жилья на первичном рынке в Приволжском федеральном округе. На Рис. 6 выполнено построение линейной функции регрессии.

 

Рис. 6

Расчет параметров степенной парной регрессии

Степенная парная регрессия относится к нелинейным регрессиям по оцениваемым параметрам. Однако она считается внутренне линейной, так как логарифмирование ее приводит к линейному виду. Таким образом, построению степенной модели

предшествует процедура линеаризации переменных. Линеаризация позволяет использовать для определения параметров функции регрессии метод наименьших квадратов. При этом оценки параметров будут вычислены по алгоритму, изложенному в 2.1.1.

для этой цели проведем логарифмирование обеих частей уравнения:

lg ŷ = lg a + b lg x.

Обозначим через Ŷ = lg ŷ; X = lg x; A = lg a . Тогда уравнение примет вид:

Ŷ = A + b X.

Как отмечалось, для расчета параметров А и b используются соотношения метода наименьших квадратов, поскольку в новых переменных Y и X соотношение стало линейным, а следовательно, оценки параметров будут состоятельными, несмещенными и эффективными.

Весь предварительный расчет параметров степенной функции регрессии аналогично линейной сведен в табл. 2.2.

Таблица 2.2

 

Номер п/п
3,411 3,761 11,635 14,145 12,829 43,053 0,083 0,193
3,479 3,771 12,103 14,220 13,119 48,567 5,159 11,885
3,440 3,576 11,834 12,788 12,301 45,307 9,565 26,761
3,486 3,780 12,152 14,288 13,177 49,158 5,352 12,218
3,538 3,941 12,517 15,532 13,943 53,976 2,502 4,861
3,371 3,665 11,364 13,432 12,355 40,064 1,02 2,612
3,377 3,671 11,404 13,476 12,397 40,554 1,254 3,191
3,551 4,072 12,610 16,581 14,460 55,232 3,421 5,833
3,558 4,114 12,659 16,925 14,638 55,941 5,253 8,584
3,378 3,566 14,411 12,716 12,046 40,572 5,182 14,643
3,229 3,523 10,426 12,412 11,376 31,142 2,745 8,101
3,464 3,758 11,999 14,123 13,018 42,296 0,569 1,327
Сумма 41,282 45,198 142,114 170,638 155,659 - - -
Среднее значение 3,440 3,767 11,843 14,220 12,972 - - -

 

Тогда

b = ( )/Sx2 = (12,972 – 3,44·3,767)/(11,843 – 3,44·3,44) = 1,729;

A = b · = 3,766 – 1,729 ·3,440 = –2,184.

Таким образом, степенное уравнение регрессии с учетом логарифмических переменных будет иметь вид:

Ŷ = –2,184 + 1,729·X.

Выполнив его потенцирование, получим:

ŷ x = 0,113 x 1,729

Подставляя в последнее уравнение фактические значения x, получаем теоретическое значение ŷx. Эти значения приведены в табл. 2.2.

На Рис. 7 представлены опытные значения стоимости квадратного метра жилья на первичном рынке и его себестоимости, а также теоретические значения стоимости квадратного метра жилья на первичном рынке в Приволжском федеральном округе. На Рис. 8 выполнено построение степенной функции регрессии.

Рис. 7

 

Рис.







Последнее изменение этой страницы: 2016-04-08; Нарушение авторского права страницы

infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.235.66.217 (0.008 с.)