Расчет параметров уравнений линейной и нелинейной парной регрессии

 

Расчет параметров линейной парной регрессии

Парная линейная регрессия имеет вид:

ŷ_x = a + b · x,

где ŷ_x – результативный признак, характеризующий теоретические цены жилья на первичном рынке; x – фактор (себестоимость строительства);

a, b – параметры, подлежащие определению.

Построение уравнения регрессии сводится к оценке ее параметров. Для оценки параметров регрессии используется метод наименьших квадратов. Он позволяет получить такие оценки параметров, при которых сумма квадратов отклонений фактических значений результативного признака (цены жилья на первичном рынке) y от теоретических ŷ_x будет минимальной. В этом случае для определения параметров a и b линейной регрессии необходимо решить следующую систему уравнений:

На основании исходных данных выполнены расчеты, которые при = 12 представлены в табл. 2.1

Таблица 2.1

Номер п. п.								%
	30,3	42,97	918,09	1846,421	1301,991	41,292	1,678	3,905
	32,425	43,408	1051,381	1884,255	1407,504	46,900	3,492	8,045
	31,182	35,742	972,317	1277,491	1114,507	43,619	7,877	22,039
	32,646	43,806	1065,761	1918,966	1430,091	47,483	3,677	8,394
	34,409	51,474	1183,979	2649,573	1771,169	52,135	0,661	0,013
	29,098	39,044	846,694	1524,434	1136,102	38,120	0,924	2,367
	29,289	39,3	857,846	1544,49	1151,058	38,624	0,676	1,720
	34,857	58,653	1215,011	3440,174	2044,468	53,318	5,335	9,096
	35,108	61,194	1232,572	3744,706	2148,399	53,980	7,214	11,789
	29,305	35,39	858,783	1252,452	1037,104	38,666	3,276	9,257
	25,254	33,887	637,765	1148,329	855,782	27,975	5,912	17,446
	31,945	42,865	1020,483	1837,408	1369,322	45,633	2,768	6,458
Сумма	375,818	527,733	11860,682	24068,699	16767,497	-	-	-
Среднее значение	31,318	43,978	988,390	2005,725	1397,3291	-	-	-

С учетом обозначений при n = 12

= (y ₁ + y ₂ + … + y ₁₂)/12; = (x ₁ + x ₂ + … + x ₁₂)/12;

= (y ₁ x ₁ + y ₂ x ₂ + … + y ₁₂ x ₁₂)/12;

= (x ₁² + x ₂² + … + x ₁₂)/12; S_x ² = ².

Значения параметров линейной регрессии вычисляются по формулам:

b = ()/( ²) = (1397,291 – 43,978 × 31,318) / (988,390 – 31,318 × 31,318) = 2,643;

a = – b = 43,978 – 2,643 × 31,318 = – 38,795.

 

Тогда уравнение регрессии, являющееся линейной моделью цен жилья на первичном рынке в зависимости от себестоимости строительства, примет вид:

ŷ_x = 2,643 · x – 38,795.

На Рис. 5 представлены опытные значения стоимости квадратного метра

 

Рис. 5

жилья на первичном рынке и его себестоимости, а также теоретические значения стоимости квадратного метра жилья на первичном рынке в Приволжском федеральном округе. На Рис. 6 выполнено построение линейной функции регрессии.

 

Рис. 6

Расчет параметров степенной парной регрессии

Степенная парная регрессия относится к нелинейным регрессиям по оцениваемым параметрам. Однако она считается внутренне линейной, так как логарифмирование ее приводит к линейному виду. Таким образом, построению степенной модели

предшествует процедура линеаризации переменных. Линеаризация позволяет использовать для определения параметров функции регрессии метод наименьших квадратов. При этом оценки параметров будут вычислены по алгоритму, изложенному в 2.1.1.

для этой цели проведем логарифмирование обеих частей уравнения:

lg ŷ = lg a + b lg x.

Обозначим через Ŷ = lg ŷ; X = lg x; A = lg a. Тогда уравнение примет вид:

Ŷ = A + b X.

Как отмечалось, для расчета параметров А и b используются соотношения метода наименьших квадратов, поскольку в новых переменных Y и X соотношение стало линейным, а следовательно, оценки параметров будут состоятельными, несмещенными и эффективными.

Весь предварительный расчет параметров степенной функции регрессии аналогично линейной сведен в табл. 2.2.

Таблица 2.2

 

Номер п/п
	3,411	3,761	11,635	14,145	12,829	43,053	0,083	0,193
	3,479	3,771	12,103	14,220	13,119	48,567	5,159	11,885
	3,440	3,576	11,834	12,788	12,301	45,307	9,565	26,761
	3,486	3,780	12,152	14,288	13,177	49,158	5,352	12,218
	3,538	3,941	12,517	15,532	13,943	53,976	2,502	4,861
	3,371	3,665	11,364	13,432	12,355	40,064	1,02	2,612
	3,377	3,671	11,404	13,476	12,397	40,554	1,254	3,191
	3,551	4,072	12,610	16,581	14,460	55,232	3,421	5,833
	3,558	4,114	12,659	16,925	14,638	55,941	5,253	8,584
	3,378	3,566	14,411	12,716	12,046	40,572	5,182	14,643
	3,229	3,523	10,426	12,412	11,376	31,142	2,745	8,101
	3,464	3,758	11,999	14,123	13,018	42,296	0,569	1,327
Сумма	41,282	45,198	142,114	170,638	155,659	-	-	-
Среднее значение	3,440	3,767	11,843	14,220	12,972	-	-	-

 

Тогда

b = ( – )/ S_x ² = (12,972 – 3,44·3,767)/(11,843 – 3,44·3,44) = 1,729;

A = – b · = 3,766 – 1,729 ·3,440 = –2,184.

Таким образом, степенное уравнение регрессии с учетом логарифмических переменных будет иметь вид:

Ŷ = –2,184 + 1,729· X.

Выполнив его потенцирование, получим:

ŷ _x = 0,113 x ^1,729

Подставляя в последнее уравнение фактические значения x, получаем теоретическое значение ŷ_x. Эти значения приведены в табл. 2.2.

На Рис. 7 представлены опытные значения стоимости квадратного метра жилья на первичном рынке и его себестоимости, а также теоретические значения стоимости квадратного метра жилья на первичном рынке в Приволжском федеральном округе. На Рис. 8 выполнено построение степенной функции регрессии.

Рис. 7

 

Рис.