Параметрический способ уравнивания.

Пусть для определения t элементов в сети выполнено n > t измерений – независимых и неравноточных, так как число избыточных измерений r = n – t >0, то возникает задача уравнивания параметрическим способом. Введем вектор Y истинных значений измеренных величин

	Y1
Y=	Y2
	Y3
	Yn

Сформируем измерения:

И весовую матрицу измерений:

		Y1				P1
Y^\=	Y^\n1=	Y2		P=	P^-1y1=		P2
		Yn						Pn

Выбираем t независимых параметров уравнивания и объединяем их истинные значения в вектор Х.

		X1
X=	Xt1=	X2
		X3
		Xn

В качестве параметров уравнивания в геодезии чаще всего принимаются элементы, которые являются конечной целью геодезических измерений, т.е. в высотных сетях – отметки определяемых пунктов; в плановых сетях – координаты определяемых пунктов.

Выразим все измеряемые величины в виде функции выбранных параметров и получим исходную систему параметрических уравнений, которая связывает истинное значение измеренных величин в систему косвенно через общие параметры.

Y = Y_n1 = Y_n1(X_t1) – исходные параметрические уравнения связи.

Эта система уравнений в общем случае нелинейная и подлежит линеаризации разложением в ряд Тейлора, при этом нужно представить вектор X в виде суммы векторов.

X = X⁰ + x, где X⁰ – вектор приближенных значений параметра. Он вычисляется через измеренные значения от ближайших твердых пунктов.X⁰ = X⁰_t1 = x(y^/)

X – вектор поправок в приближенном значении параметров. x <<< x⁰.

Y = Y(x) = Y(x⁰+x) = Y(x⁰) + (dy / dx) x +X

Y^/ + Y(x⁰) + (dy / dx) x;

Ax + L = V – линейная система параметрических уравнений поправок

A = (dy / dx) = A_nt = dy_i / dx_j - матрица коэффициентов параметрических уравнений поправок

I = 1, 2…n

J = 1, 2…t

	dy1/dx1	dy1/dx2	dy1/dxt
A=	dy2/dx1	dy2/dx2	dy2/dxt
	dyn/dx1	dyn/dx2	dyn/dxt

X – вектор поправок в приближенном значении параметров.

		Δx1			L1
x=	Xt1=	Δx2	L=	Ln1=	L2
		Δx3			Ln
		Δxt

 

- вектор свободных членов уравненных поправок, его элементы представляют собой разность между приближенными значениями результатов измерений, т.е. вычисленные через приближенные значения параметров и измеренными

L = Y(X⁰) – Y^/

V – вектор истинных поправок в измерения.

		V1
V=	Vn1=	V2
		Vn

- МНК поправки
В линейной системе число уравнений меньше, чем числа неизвестных.

V^TPV = min

Задача уравнивания сводится к нахождению экстремума функции

Φ = V^TPV = min

dΦ / dx = 0 V^TPA = 0 или A^TPV = 0

dΦ / dx = (dΦ / dx)(dv / dx) = 0 A_ntX_t1 + L_n1 = V_n1

dΦ / dx = 2V^TPA = 0 A^TP (Ax + L) = 0

A^TPAV + A^TPL = 0

Rx + G = 0 – система нормальных уравнений R – матрица коэффициентов G – вектор свободных членов X – неизвестное

P = Q^-1_y1

R_tt = A_TPA – матрица коэффициентов нормальных уравнений

A = A_TPL R_tt = A^T_ntP_nnA_nt G_t1 = A^T_ntP_nnA_n1

Det R ≠ 0, то x = -R^-1G

X = x⁰ + x – уравненные значения параметров. V = Ax + L

С использованием современных средств вычислительной техники можно найти сразу:X = (-A^TPA)^-1 A^TPL = DL

D – матрица преобразования свободных членов параметрических уравнений.V = Ax + L = -AR^-1A^TPL + L = (E – A (A^TPA)^-1 A^TP) L = ML

M – матрица преобразования свободных членов параметрических уравнений

Уравненные параметры X можно использовать для контроля.

Y = Y(X) Y = Y^/ + V Y(X) = Y^/+ V

Таким образом, задача уравнивания решена, сеть уравнена.

Следует помнить, что пока оценка не выполнена, уравнивание не до конца.

Для равноточных измерений:

Q_y^/ = P = E R = A^TA σ = A^TL

Нивелирование. Способы, их достоинства и недостатки. Методика полевых измерений при нивелировании II - класса. Полевые контроли.

Нивелирование – это работы, которые выполняются для нахождения высоты.

1. Барометрические.

2. Геодезические.

3. Геометрические.

4. Гидростатические.

5. Спутниковые.

1 – основано на зависимости атмосферного давления высоты точки над уровнем моря (с увеличением высоты на 10 м. давление подает на 1 мм. рт. ст.) это точность не высокая. Область применения геология и геофизика.

4 – выполняют с помощью сообщающихся сосудов заполненных жидкостью. Самое высокоточное.

5 – перспективное, но точное (технические) зная X, Y, Z B, L, H^Г=H^γ+ζ

3 – это нивелирование, в котором h м/у двумя близкими точками определяются с помощью горизонтально – визирного луча и отвесно расположенных этих точках реек (нивелирование горизонтальным лучом).

Достоинство: высокая точность на 1 км. хода 0.5 мм.

Недостатки: 1. маленькая скорость передачи высоты.

2. большое количество человек в бригаде.

3. дорогостоящий.

4. не везде можно применить.

2 – нивелирование, в котором превышения м/у точек A и B определяются с помощью измеренного угла наклона и расстояния м/у точками.

Достоинство:

1. h м/у 2 мм удаленными друг от друга.

2. состав бригады маленький.

3. дешевый.

4. можно применять везде.

Недостатки: низкая точность.

Полевые контроли:

1. разность плеч на станции

2. накопление.

3. высота визирного луча угол 30 мм

4. результаты на основной и дополнительной шкале 0.7 мм

5. расхождение м/у превышениями по секундам в прямом и обратном направление 5мм√L

Методика полевых измерений

Зависит от того сколько станций (четное и нечетное)

ст. 1 – ая: задняя рейка передняя передняя задняя

Билет 17

Изложить содержание основной теоремы о распространении ошибок при математической обработке геодезических измерений

Дано: результаты измерений (случайного вектора X_k)

Составим матрицу С, которая преобразует X_k в вектор Y_m,т.е. Y_m=C X_k – линейное преобразование X_k

Коваряционная матрица:

K_x =E((X-E(X))(X-E(X))^T)

В векторе Y_m результаты обработки вектора X_k по правилу С

Найти K_y

Эта теорема доказывает, если известна матрица K_x – ковариционную и правило С, то можем вычислить ковариционную матрицу результатов обработки по формуле

K_y = С K_x С^Т

Если же преобразования общего вида, т.е. Y есть функция от X, K_y – есть частная производная от функции по результатам измерения:

Y = F(x); K_{y -} частное правило

её диференцируют и находят частные производные.

Например функции наиболее удаленных дирекционных углов, и величины непосредственных измерений, то в качестве функции берут коэффициенты уравнений, можно вывести и невязки

Координаты половины точек не надо пере вычислять

Для того чтобы уменьшить для пользователей преобразований координат работ. В России установлены зоны взаимного перекрытия шириной в 1˚.

Для пунктов ГГС, попадающих в эту зону имеют 4 координаты в каталогах в западной зоне и в восточной.

На листах топографических карт всех масштабов на территории перекрытия показываются выходы километровой сети смежной зоны, только осевой меридиан и экватор изображаются на плоскости прямыми линиями. Все остальные кривые изображаются на плоскости кривыми линиями – это недостаток этой проекции. Углы не искажаются поэтому образ касательной к изображению геодезической линии 12 и хордой 12 называют поправкой за кривизну изображения геодезической линии на плоскости.

Дирекционный угол α называют угол, образованной от линии параллельной изображению осевого меридиана зоны и хордой

γ =1 сближение меридианов в точке это угол, образованный касательной к изображению геодезического меридиана точки и линией параллельно осевому меридиану зоны

α₁₂= А₁₂-γ₁+δ₁₂

3. Порядок редуцирования измеренных величин с поверхности эллипсоида на плоскости проекции Гаусса – Крюгера.

Зависит от многих факторов:

1. От набора исходных данных и измерительных величин
2. От размеров обрабатываемой геодезической сети
3. Удаление объекта от осевого меридиана зоны
4. От точности полевых измерений.

В любом случае в алгоритме редуцирования выделяют 3 фактора:

1. Вычисление приближенных координат определенных пунктов. Для решения этой задачи используют нередуцированные или редуцированные грубо результаты измерений

2. Вычисление поправок во все измеренные величины

3. Введение поправок в измеренные величины и получение редуцированных на плоскость результатов измерений.