Коррелатный способ уравнивания по мнк.

Пусть имеем n – измерений, из которых t – необходимые:

y₁, y₂, y₃…y_n – количество выполненных измерений

Y₁, Y₂, Y₃…Y_n – истинные значения найденных величин результатов измерений.

Связь между ними может быть выражена:

Y_i + Δi = y_i (1)

Устанавливаем систему весов измеренных величин:

P₁, P₂, P₃…P_n

Вычисляем обратный вес:

П₁, П₂, П₃…П_n П_i = 1/P_i (2)

Подсчитываем число избыточных измерений:

R = n-t (3)

Каждое избыточное измерение приводят к математическому соотношению между истинными значениями измеряемых величин, т.е. в геодезической сети возникает r – условий.

Φ_j (y₁, y₂…y_n) = 0 (4) – исходная система условных уравнений связи.

J = 1, 2, 3…r.

Вследствие неизбежных ошибок в измерениях в те же функции, но от измеренных величин примут вид:

Φ_j (y₁+Δ₁, y₂+Δ₂, …y_n + Δ_n) = Φj (y₁, y₂…y_n) = W_j (5)

Это система условных уравнений связи от измеренных значений

W_j – невязки, [Δ_i] = W_j (6)

Отдельно каждую ошибку нельзя, но их совокупность в каждом условии может быть вычислена. Нужно найти к результатам измерения такие поправки, которые бы ликвидировали невязку, т.е. должно выполняться следующее равенство:

[V_i]_j = -W_j (7)

V_i – поправки в результаты измерений, I = 1, 2…n.

J = 1, 2…r. – по числу условий.

Y_i^ур = y_i + V_i (8)

Тогда система φ_j:

Φ_j(y₁^ур, y₂^ур…y_n^ур) = Φ_j (y₁+V₁, y₂+V₂…y_n+V_n) = 0 (9)

Это система условных уравнений связи от уравненных значений.

В правой части получились 0.

Систему (9) приведем к линейному виду, раскладывая в ряд Тейлора, пренебригая при этом малыми нелинейными членами разложения.

Φ_j (y₁+V₁, y₂+V₂…y_n+V_n) = Φj (y₁, y₂…y_n) + (dφ_j/dy₁)V₁ + (dφ_j/dy₂)V₂ +…+ (dφ_j/dy_n)V_n = 0 (10)

На основании (5) получим:

(dφ_j/dy₁)V₁ + (dφ_j/dy₂)V₂ +…+ (dφ_j/dy_n)V_n + W_j = 0 (11)

Обозначим частные производные от первой функции по каждому результату измерений через a_i.

dφ₁/dy_i = a_i, dφ₂/dy_i = b_i, dφ₃/dy_i = c_i

Dφ1/dy1 = a1	Dφ1/dy2 = a2	Dφ1/dyn = an
Dφ2/dy1 = b1	Dφ2/dy2 = b2	Dφ2/dyn = bn
Dφr/dy1 = r1	Dφr/dy2 = r2	Dφr/dyn = rn

Система (11) с учетом (12) примет вид:

A₁V₁ + a₂V₂ +…+ a_nV_n + W₁ = 0

b₁V₁ + b₂V₂ +…+ b_nV_n + W₂ = 0 (13)

r₁V₁ + r₂V₂ +…+ r_nV_n + W_r = 0

(13) – это система условных уравнений поправок.

W_j – невязки, A_i, b_i, c_i – коэф – ты при поправках,V_i – неизвестные поправки, которые надо найти, решив (13).

Но в (13) число поправок равно n, а число уравнений r, т.е. число уравнений r меньше числа неизвестных поправок (r<n). Такая система имеет множество решений, т.е. не решается однозначно. Чтобы выбрать из этого множества решений один наилучший вариант, который дает вероятнейшее решение нужно поставить дополнительные условия, которые являются принципом МНК (14): [pV²] = min (14)

Тогда решая систему (13) под условием (14) переходят к системам нормальных уравнений коррелат.

[Паа]К₁ + [Пав]К₂ + [Пас]К₃ +…+ [Паr]К_r + W₁ = 0

[Пав]К₁ + [Пвв]К₂ + [Пвс]К₃ +…+ [Пвr]К_r + W₂ = 0 (15)

[Паr]К₁ + [Пвr]К₂ + [Пcr]К₃ +…+ [Пrr]К_r + W_r = 0

В этой системе К₁, К₂…К_r – неизвестные коррелаты или дополнительные множители Лагранжа, которые вводятся искусственно в процессе перехода от системы (13) к (15). Их число r как число уравнений такая система решается однозначно. А способы решения могут быть различны:

1. По схеме Гаусса.

2. По спец. Разработанным программам.

3. Методом исключения, когда из последнего уравнения выражается последняя неизвестная и подставляется в предыдущее.азработанным быть различны:

3. ачно. жа, которые вводятся искусственно в процессе перехода от системы (13) к (15).

Из решения (15) находятся неизвестные коррелаты, а по ним поправки V_i.

V_i = П_i (a_iK₁ + b_iK₂ +…+ r_iK_r) (16) – коррелаты уравнений поправок.

Контроль:

[V_i]_j = -W_j (17)

Затем y_i^ур = y_i + V_i (18)

Контроль:

Φ_j (y₁^ур, y₂^ур…y_n^ур) = 0 (19)

Оценка точности по результатам уравнений выполняется по поправкам по формуле:

μ = √[pVV]/r (20)

Чтобы оценить конкретный элемент сети, например, отметку, коор-ту, угол необходимо этот элемент выразить математически и тогда ошибка функции будет:

m_F = μ√1/p_F (21)

Уклонение отвесных линий.

УОЛ – угол, образованный нормалью к поверхности эллипсоида вращения и отвесной линией.

УО бывают:

Абсолютные – угол, образованный отвесной линией и нормалью к общеземному эллипсоиду. Зависят от неравномерного распределения масс в теле земли.

Относительные – угол, образованный отвесной линией и нормалью к референц-эллипсоиду. Зависят от размеров и ориентировки поверхности относимости.

1 для изучения фигуры земли;

2 для редуцирования измеренных величин с физической поверхности земли на поверхность эллипсоида вращения;

3 чтобы иметь возможность связывать астрономические и геодезические координаты: j, l «B, L;

4 чтобы связать астрономические и геодезические азимуты: a^* «А.

Астрономическая широта – острый угол, образованный отвесной линией и плоскостью экватора.

Астрономическая долгота – двугранный угол, образованный плоскостью Г ринвичского меридиана и плоскостью астрономического меридиана данной точки.

Плоскость астрономического меридиана – плоскость проходящая через отвесную линию данной точки ^ плоскости земного экватора.

Астрономический азимут – двугранный угол, образованный плоскостью астрономического меридиана точки и вертикальной плоскостью, содержащей отвесную линию и визирную цель.

U – Уклонение отвеса

Z^Г – геодезический зенит

Z_А – астрономический зенит

Р – полюс мира

1) U, q 2) x, h

È Z^Г G – проекция полного уклонения на геодезический меридиан или составляющая в плоскости геодезического меридиана x

È Z_А G – проекция полного уклонения отвеса на 1-й вертикал или составляющая в плоскости 1-го вертикала h

x = U cos q tg q = x / h h = U sin q - прямая связь U = Ö x² + h² – обратная связь

Способы определения составляющих уконений отвесных линий.

По результатам наземных измерений можно определить составляющие отвесных линий: 1 Астрономо-геодезический

x^АГ = j - В h^АГ = (l - L) cos j

Достоинство: - позволяет определить абсолютные и относительные уклонения отвеса

Недостаток: - очень дорогой способ.

2 Гравиметрический g, g

D g = g - g - аномалия силы тяжести

x^ГР = -1/2П ò₀^2Пò^2П₀ D g Q cos A a A d j;

h^ГР = -1/2П ò₀^2Пò^2П₀ D g Q cos A a A d j

Достоинства:- очень дешевый способ;

- можно получить абсолютное уклонение отвеса

Недостаток:- нельзя на прямую получить относительное уклонение отвеса.

3 Астрономо-гравиметрический

Этим способом можно получить астрономо-геодезические (относительные) уклонения отвесной линии. Чтобы их вычислить нужно, чтобы была создана геодезическая сеть редких астропунктов и гравиметрическая съёмка территорий. А, В, С – пункты геодезической сети, на которой выполняются астрономические определения, расстояние между ними» 200 км

Д – рядовой пункт геодезической сети

Для точки А, В, С известны B, L, j, l

x^АГ = j - В; h^АГ = (l - L) cos j

Вокруг точки Д выполняем гравиметрическую съёмку

R_s» 300 km Dx = x^АГ - x^ГР Dh = h^АГ - h^ГР

Внутри s выделим ещё 1 область меньшего радиуса s₀

R_s» 1/2 R_s

s₀ – область в которой Dx и Dh изменяются по линейному закону при переходе от одной точке к другой

Dx = a₁x + a₂y + a₀ Dh = b₁x + b₂y + b₀ a₁, a₂, a₀ b₁, b₂, b₀

Когда коэффициенты найдены можно найти уклонение отвеса для любого пункта.

Для Д известно: Dx_Д, Dh_Д, x^АГ, x^ГР, h^ГР

x_Д^АГ = x_Д^ГР + x_Д^ГР h_Д^АГ = h_Д^ГР + h_Д^ГР

Нормальная и геодезическая высоты. Области их применения.

Нормальная высота – высота, которая вычисляется по формуле

H_K^g = W₀ – W_K / g_K^m (1) H_K^g = ò₀^K gdh / g_K^m (2)

g_K⁰ = g_экв⁰(1+ b sin² B_k) g_K^m =g_K⁰ - g / R*H_k dg / dH = R

В геометрическом смысле нормальная высота это отрезок нормали к эллипсоиду, заключенный между физической поверхностью земли и поверхностью квазигеоида. H_K^g = H_K^g + z_к

Основные условия выбора системы счета высот:

1 высота не зависит от выбора трассы нивелирного хода;

2 высота вычисляется только по результатам измерений на физической поверхности земли без привлечения гипотез;

3 поправки в измеренные превышения за переход к выбранной системе счета высот малы;

4 высоты точек, лежащих на одной уровенной поверхности не одинаковы;

5 принятой системе счета высот соответствует достаточно простой способ вычисления геодезической высоты.

Геодезической высотой точки называется расстояние Н^Г = mM между поверхностью эллипсоида и данной точкой, отсчитываемое по нормали к нему в этой точке. Точки, находящиеся выше поверхности эллипсоида, имеют положительные высоты, а ниже – отрицательные. Точки, лежащие на поверхности эллипсоида, имеют геодезические высоты равные нулю (Н^Г = 0). Геодезические координаты непосредственно измерены быть не могут, их получают путем вычисления и суммирования приращений координат относительно исходного пункта государственной геодезической сети, имеющего координаты B₀, L₀, H₀.

Билет 16

Параметрический способ уравнивания. Это способ абсолютного экстремума, при котором все измеренные величины представляют в виде функций некоторых независимых параметров.