Метод непосредственного интегрирования. Граничные условия

Используя обе части уравнения, получим формулу для определения углов поворот сечения

Интегрируя еще раз получим формулу для определения прогибов

Где С и D –произвольные постоянные, определяемые из граничных условий:

υ_A = 0 υ_A = υ_B = 0

θ_A= 0 θ_A ≠ 0

θ_B ≠ 0

граничные условия: граничные условия:

при х = 0 υ_A = 0 при х = 0 υ_A = 0

при х = 0 θ_A= 0 при х = l υ_B = 0

 

Метод начальных параметров

Недостатком метода непосредственного интегрирования является необходимость определения большого количества произвольных постоянных.

Если балка имеет n-участков, то необходимо составить и решить систему 2n алгебраических уравнений.

В методе начальных параметров независимо от количества участков, следует определить 2 произвольные постоянные.

Е – модуль упругости

I_z – момент инерции относительно Оz

υ – прогиб в рассматриваемой точке

начальные параметры:

υ₀ – начальный прогиб

θ_о – начальный угол поворота

х – расстояние от начала балки до рассматриваемого сечения

 

Постоянные интегрирования имеют здесь простой смысл: это начальные (при x = 0) значения искомой функции и ее производные. Поэтому, метод интегрирования дифференциальных уравнений, основанный на формуле, и широко применяемый в строительной механике, называется методом начальных параметров.

Согласно метода начальных параметров, балка разбивается на участки. Подставив (12.38) в (12.39), получим функцию прогибов на I участке балки:

Метод конечных разностей

Прогибы простейших балок

 

 

С жесткой заделкой:

Слева – заделка; справа – сила, направленная вниз; прогиб – плавно переходит с 0 в заделке к силе.

 

Слева – заделка; на всем протяжении – равномерно-распределенная нагрузка; прогиб как с силой – плавный переход вниз.

 

Рациональные сечения балок

Рациональным называется сечение, имеющее наибольшую прочность и экономичность.

При изгибе наибольшие нормальные напряжения возникают в местах наиболее удаленных от оси z.

Чем ближе к Оси z, тем нормальные напряжения меньше, а на самой оси они равны нулю

Так и с материалом: его наибольшее количество должно быть сосредоточено намного меньше.

Таким образом было получено двутавровое поперечное сечение, в котором служат для восприятия нормальных напряжений, а стенка служит для соединения полок и восприятия касательных напряжений, возникающих под действием поперечных сил.

 

Балка равного сопротивления

БРС называется балка поперечного сечения, у которой максимальные напряжения во всех сечениях одинаковы и равны допускаемым

 

Форма БРС определяется из формулы:

 

Сдвиг (срез). Основные понятия

Сдвиг (срез) – вид напряженно-деформированного состояния, при котором в поперечном сечении возникает только один внутренний силовой фактор.

На сдвиг(срез) рассчитывают сварные болтовые соединения и т.д.

При сдвиге в сечении возникают касательные напряжения

Q – поперечная сила; А – площадь поперечного сечения

 

Напряжения и деформации при чистом сдвиге

При чистом сдвиге в поперечном сечении по граням выделенного элемента действуют только касательные напряжения.

Определить величину и направление главных напряжений можно с помощью формул: ,

Таким образом, чистый сдвиг может быть представлен как одновременное растяжение и сжатие по двум взаимно-перпендикулярным направлениям.

 

Закон Гука при сдвиге. Условие прочности

Относительным сдвигом называется угол, на который изменяется первоначально прямой угол (угол сдвига).

 

Закон Гукка при сдвиге (срезе)

G – модуль сдвига

 

Между модулем упругости коэффициентом Пуассона и модулем сдвига существует зависимость:

 

Проверка прочности при срезе выполняется по формуле:

 

 

Косой изгиб. Определение напряжений

Косой изгиб имеет место при действии на брус нагрузок, расположенных ни в одной из главных плоскостей.

Т.к. косой изгиб можно привести к изгибу в двух плоскостях, то общая формула для определения напряжений будет получена следующим образом:

Под действием силы F1 происходит изгиб в вертикальной плоскости

Под действие силы F2 происходит изгиб в горизонтальной плоскости

Общая формула: