Визначення впорядкованої пари та декартового добутку

Багато задач математики, техніки й інших сфер людської діяльності дістають зручну інтерпретацію мовою теорії відношень. Усі арифметичні операції – по суті відношення між числовими множинами. Множина деталей залишається складським майном, доки між ними не реалізуються певні відношення, які перетворюють ці деталі в якийсь механізм або прилад (телевізор, верстат, будинок, міст та ін.).

Відношення застосовують в побудові комп’ютерних баз, які організовані у вигляді таблиць даних, а також застосовуються у програмуванні. Різноманітні відошення складаються між людьми – батьки, діти, начальники, вчителі, учні. Самі дані обробляються і перетворюються за допомогою операцій, математично точно визначених для відношень. Останні реалізують у математичних термінах на абстрактних множинах реальні зв’язки між реальними об’єктами.

Для формального опису всіляких комбінацій з елементів множин, що входять до відношення, використовується поняття декартового добутку множин.

Нехай маємо множини . Декартовим добутком (добутком множин) називається множина всіх упорядкованих наборів з n елементів (що називаються кортежами довжини n), із яких перший елемент належить множині , а другий – множині , n-й – . Декартів добуток , у котрому одна й та ж множина помножується n разів сама на себе, називається декартовим степенем множини і позначається .

Приклад 1

A={a_1,a_2,a_3,a₄}, B={b₁,b₂}, тоді

А ´ В = {a₁,b₁},{a₁,b₂},{a₂,b₁},{a₂,b₂},{a₃,b₁},{a₃,b₂},{a₄,b₁},{a₄,b₂}.

Приклад 2

A={a_1,a₂}, тоді

A³={(a_1,a₁,a₁),(a_1,a₁,a₂),(a_1,a_2,a₁,),(a_1,a_2,a₂), (a_2,a_1,a₁),(a_2,a_1,a₂),(a_2,a_2,a₁,),(a_2,a_2,a₂)}.

Порядок пар може бути довільним, але розміщення елементів у кожній парі визначається порядком множин, що перемножуються, тому А x В¹ В x А.

N-арне відношення R на множині – це підмножина декартового добутку цих n множин: .

Добуток множин не підлягає асоціативному та комутативному законам, але для нього виконується закон дистрибутивності відносно операцій об’єднання перетину та різниці:

Примітка. У результаті операцій об’єднання, перетину тощо завжди одержуємо множину, елементи котрої (якщо вона не пуста) належать вихідним множинам. Елементи добутку множин суттєво відрізняються від елементів співмножників і являють собою об’єкти іншої категорії.

Нехай N – множина натуральних чисел. Тоді N x N буде множиною пар натуральних чисел (p,q), кожна з котрих визначає найрізноманітніші об¢єкти: дроби p/q, суми p+q номери будинків і квартир, пари учасників шахового турніру. При цьому (p,q)¹(q,p).

Якщо n=1, то таке відношення називається унарним, n=2 – бінарним, n=3 – тернарним.