Основні характеристики нечітких множин

Нехай та А – нечітка множина з елементами з універсальної множини Е і множиною належностей М.

§ Величина (верхня границя) називається висотою нечіткої множини А. Нечітка множина А є нормальною, якщо її висота дорівнює 1, тобто верхня границя її функції належності дорівнює 1 ( =1). При <1 нечітка множина називається субнормальною.

§ Нечітка множина є пустою, якщо =0. Непорожню субнормальну множину можна нормалізувати за формулою: .

§ Нечітка множина є унімодальною, якщо лише для одного x із Е.

§ Носієм нечіткої множини А є звичайна підмножина із властивістю , тобто .

§ Елементи , для яких називаються точками переходу множини А.

Приклади нечітких множин

1. Нехай E={0,1,2,..,10}, M=[0,1]. Нечітку множину “декілька” можна визначити таким чином: “декілька” = 0,5/3+0,8/4+1/5+1/6+0,8/7+0,5/8;

її характеристики: висота = 1, носій = {3,4,5,6,7,8}, точки переходу — {3,8}.

2. Нехай E = {0,1,2,3,...,n,...}. Нечітку множину “малий” можна визначити так:

.

 

3. Нехай E = {1,2,3,...,100}, відповідає поняттю “вік”. Тоді нечітку множину “молодий” можна визначити за допомогою виразу

.

Нечітка множина “молодий” на універсальній множині E' ={Іванов, Петров, Сидоров,...} задається за допомогою функції належності на множині E = {1,2,3,..100} (вік), що називається відносно E' функцією сумісності, при цьому , де – вік Сидорова.

4. Нехай E = {Запорожець, Жигулі, Мерседес,....} – множина марок автомобілів, а E' = [0,µ] – універсальна множина “вартість”, тоді на E' ми можемо визначити нечіткі множини типу: “для бідних”, “для середнього класу”, “престижні” з функціями належності типу (рис. 1.5.3):

Рис. 1.5.3. Графічне зображення нечітких множин

Маючи ці функції й знаючи ціну автомобілей із E у цей момент часу, визначимо на E' нечіткі множини з цими назвами. Так, нечітка множина “для небагатих”, задана на універсальній множині E={Запорожець, Жигулі, Мерседес,....} виглядає наступним чином (рис. 1.5.4):

Рис. 1.5.4. Графічне зображення нечітких множин

Аналогічно можна визначити нечітку множину “швидкісні”, “середні”, “тихохідні” і т.д.

Методи побудови функції належності нечітких множин У приведених вище прикладах використані прямі методи, коли експерт або просто задає для будь-якого значення , або визначає функцію належності. Як правило, прямі методи задання функції належності використовуються для вимірних понять, таких, як швидкість, час, відстань, тиск, температура тощо, тобто коли виділяються полярні значення.

У багатьох задачах при характеристиці об’єкта можна виділити набір ознак і для будь-якого з них визначити полярні значення, що відповідають значенням функції належності, 0 або 1.

Наприклад, у задачі розпізнання обличчя можна виділити наступні пункти:

x1	Висота лоба	низький	широкий
x2	Профіль носа	кирпатий	горбатий
x3	Довжина носа	короткий	довгий

 

Продовження

x4	Розріз очей	вузький	широкий
x5	Колір очей	світлий	темний
x6	Форма підборіддя	гострий	квадратний
x7	Товщина губ	тонкі	товсті
x8	Колір обличчя	темний	світлий
x9	Овал обличчя	овальне	квадратне

Для конкретного обличчя А експерт, виходячи із наведеної шкали, задає , формуючи векторну функцію належності

.

Непрямі методи визначення значень функції належності використовуються у випадках, коли немає елементарних вимірних властивостей для визначення нечіткої множини. Як правило, це методи попарних порівнянь. Якщо б значення функцій належності були відомі, наприклад, , тоді попарні порівняння можна представити матрицею відношень , де (операція ділення).

Операції над нечіткими множинами

 

Нехай А і В – нечіткі множини на універсальній множині Е. Говорять, що А міститься у В, якщо . Позначення: .

Іноді використовують термін “домінування”, тобто у випадку якщо , говорять, що В домінує над А.

Рівність. А і В рівні, тобто . Позначення: .

Доповнення. Нехай , А і В – нечіткі множини, задані на Е. А і В доповнюють один одного, якщо . Позначення: або .

Очевидно, що (доповнення визначене для ), але очевидно, що його можна визначити для будь-якого впорядкованого М).

Перетин. – найбільш нечітка підмножина, яка міститься одночасно в А і В. .

Об’єднання. – найменша нечітка підмножина, котра включає як А, так і В, з функцією належності. .

Різниця. З функцією належності

.

Диз’юнктивна сума. з функцією належності:

Приклад. Нехай дано множини:

A = 0,4/ x1 + 0,2/ x2+0/ x3+1/ x4;

B = 0,7/ x1+0,9/ x2+0,1/ x3+1/ x4;

C = 0,1/ x1+1/ x2+0,2/ x3+0,9/ x4.

1. , тобто А міститься в В або В домінує над А, С незрівняна ні з А, ні з В, тобто пари – пари недомінуючих множин.

2. 0,6/ x1 + 0,8/x2 + 1/x3 + 0/x4;

0,3/x1 + 0,1/x2 + 0,9/x3 + 0/x4.

3. 0,4/x1 + 0,2/x2 + 0/x3 + 1/x4.

4. 0,7/x1 + 0,9/x2 + 0,1/x3 + 1/x4.

5. 0,3/x1 + 0,1/x2 + 0/x3 + 0/x4;

0,6/x1 + 0,8/x2 + 0,1/x3 + 0/x4.

6. 0,6/x1 + 0,8/x2 + 0,1/x3 + 0/x4.

Наочне представлення операцій над нечіткими множинами

Для нечітких множин можна застосувати візуальне представлення. Розглянемо прямокутну систему координат, на осі ординат якої відкладаються значення , на осі абсцис у довільному порядку розміщені елементи Е. Якщо Е за своєю природою впорядкована множина, то цей порядок бажано зберегти у розміщенні елементів на осі абсцис. Таке представлення робить наочним прості операції над нечіткими множинами.

Нехай А нечіткий інтервал між 5 та 8 і В нечітке число 4, як показано на рисунку 1.5.5.

Рис. 1.5.5. Графічне зображення нечітких множин А та В

На рисунку 1.2.14 проілюструємо нечітку множину між 5 та 8 І (ЕND) біля 4 (синя лінія).

Рис. 1.5.6. Графічне зображення операції перетину нечітких множин А та В

Нечітка множина між 5 та 8 АБО (OR) показано на наступному рисунку 1.5.7 (знову синя лінія).

Рис. 1.5.7. Графічне зображення операції об’єднання нечітких множин А та В

Наступний рисунок 1.5.8 ілюструє операцію заперечення. Виділена лінія – це заперечення нечіткої множини А.

Рис. 1.5.8. Геометричне зображення операції заперечення

На цьому рисунку заштрихована частина відповідає нечіткій множині А та зображає область значень А і всіх нечітких множин, що містяться в А. Останній рисунок 1.5.9 зображає відповідно , , .

Рис. 1.5.9. Операції , ,

 

Властивості операцій

Комутативний закон для об’єднання і перетину множин

А È В= В È А;

А Ç В= В Ç А.

Асоціативний закон для об’єднання і перетину множин

А È (В È С)=(А È В) È С;

А Ç (В Ç С)=(А Ç В) Ç С.

Дистрибутивний закон для об’єднання й перетину множин

А È (В Ç С)=(А È В) Ç(А È С);

А Ç (В È С)=(А Ç В) È(А Ç С).

Властивості пустої множини та універсума відносно об’єднання

А ÈÆ = А;

А ÇÆ = Æ;

А È Е = Е;

А Ç Е = А;

Закон ідемпотентност ідля об’єднання і перетину множин

А È А = А;

А Ç А = А.

Закон інволюції

=А

Теорема де Моргана

;

.