Предмет дослідження математичної логіки

Логіка як мистецтво розмірковувань зародилася у глибокій давнині. Початок науки у законах і формах мислення пов¢язують з іменем Аристотеля. Пройшло два тисячоліття, перш ніж Лейбніц запропонував увести в логіку математичну символіку та використати її для загальних логічних побудов. Цю ідею послідовно реалізував у XIX ст. Джорж Буль і тим самим заклав основи математичної (символічної) логіки. Головна мета застосування у логіці математичної символіки полягала у тому, щоб увести операції з логічними висловленнями до формальних дій над символами. При цьому вихідні положення записувалися формулами, котрі перетворювалися за деякими законами, а одержані результати тлумачилися у відповідних поняттях.

Бурхливий розвиток математичної логіки пов’язують перш за все із завданнями обгрунтування математики, де вона використовується для доведення несуперечності вихідних понять та правильності розміркувань і висновків математичної теорії. Деякі вчені навіть схильні розглядати логіку як одну із загальних наук, частиною якої є сама математика.

В останні десятиріччя логіка мала все більш широке застосування у техніці при дослідженні та розробленні релейно-контактних схем, обчислювальних машин, дискретних автоматів. ЇЇ методи використовують у теорії перетворення й передачі інформації, теорії ймовірностей і в комбінаторному аналізі. Математична логіка починає впроваджуватися у такі нематематичні сфери, як економіка, біологія, медицина, психологія, право. Це пояснюється ти, що її апарат легко розповсюджується на об’єкти, різноманітні за своєю природою, аби вони лише характеризувалися кінцевою кількістю станів.

Сфера застосування математичної логіки дуже широка. З кожним роком зростає глибоке проникнення ідей та методів математичної логіки в інформатику, обчислювальну математику. Потужним імпульсом для розвитку й розширення сфери застосування математичної логіки стала поява ЕОМ. Виявилося, що в рамках математичної логіки вже є готовий апарат для проектування обчислювальної техніки. Методи і поняття математичної логіки є основою, ядром інтелектуальних інформаційних систем. Засоби математичної логіки стали ефективним робочим інструментом для фахівців багатьох галузей науки та техніки.

Двозначна логіка має справу з такими об¢єктами, котрі набувають одне з двох можливих значень (правда або неправда, висока чи низька напруга, наявність або відсутність заданої ознаки в об¢єкта).

Об’єкти, які можуть приймати значення із скінченної множини, що містить більше від двох елементів, називають багатозначними. Вони або зводяться будь-яким способом до двозначних об¢єктів, або обслуговуються апаратом багатозначної логіки.

З розширенням галузі застосування та подальшим розвитком математичної логіки змінюється і погляд на неї. Об’єктами математичної логіки є будь-які дискретні скінченні системи, а її головне завдання - структурне моделювання таких систем.

Булеві функції

Об’єкти з двома можливими станами характеризуються булевими змінними, здатними набувати лише два різних значення. Для позначення цих двох значень використовуються цифри 0 або 1 (чи букви “ F ” - fals (неправда), “ T ” - true (правда).

Відношення між булевими змінними представляються булевими функціями, які подібно числовим функціям можуть залежати від однієї, двох, n змінних (аргументів). Так, запис y=f(x₁, x₂,…,x_n) означає, що y – функція аргументів x₁, x₂,…,x_n.

Важлива особливість булевих функцій полягає у тому, що вони, як і їх аргументи, набувають свої значення із двохелементної множини {0,1}, або {T, F}, тобто характеризуються одним із двох можливих станів.

Функції невеликої кількості змінних можна задавати за допомогою таблиць, подібно до таблиць додавання та множення однорядних чисел. Для цього потрібно лише вказати значення функцій для кожної комбінації значень її аргументів. Основними у двозначній логіці є такі три функції.

Заперечення - функція y=f(x) - набуває значення 1, коли x=0, а значення 0, коли x=1. Вона позначається (читається ¢¢не x¢¢) (таблиця 2.2.1).

Таблиця 2.2.1

x

Диз’юнкція - функція y=f(x₁, x₂), яка набуває значення 0 тоді і тільки тоді, коли обидва аргументи мають значення 0; вона позначається y=x₁Ú x₂ (читається “x₁ або x₂¢”) (таблиця 2.2.2).

Таблиця 2.2.2

X1	x2

x₁Ú x₂

Кон’юнкція – функція y=f(x₁, x₂),яка набуває значення 1 тоді й тільки тоді, коли обидва аргументи мають значення 1; вона позначається y=x₁Ù x₂ (читається “x₁ та x₂”) (таблиця 2.2.3).

Таблиця 2.2.3

X1	x2

x₁Ù x₂