![]() Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву ![]() Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Логічні операції над множинами та їх властивості. Тотожні перетворення виразівСтр 1 из 19Следующая ⇒
Множину можна також визначити за допомогою операцій над іншими множинами. Нехай маємо дві множини А і В. Об’єднання (сума) А È В є множина всіх елементів, що належать А та В. Наприклад, {1, 2, 3} È {2, 3, 4} = {1, 2, 3, 4}. Для наочного зображення співвідношень між множинами будь-якого універсума U використовують круги Ейлера. Зазвичай універсум подають множиною точок прямокутника, а його підмножини зображають у вигляді кругів або інших простих областей усередині цього прямокутника. Об’єднання зображується таким чином (рис. 1.2.1): Рис. 1.2.1. Об’єднання (сума) А È В Перетин (добуток) А Ç В є множиною всіх елементів, що належать одночасно як А, так і В (рис. 1.2.2). Наприклад, {1, 2, 3} Ç {2, 3, 4} = {2, 3}. Рис. 1.2.2. Перетин (добуток) А Ç В Множини, які не мають спільних елементів, називаються різночленними або неперетинаючими А Ç В = Æ (рис. 2.3). Рис. 1.2.3. Перетин (добуток) А Ç В= Æ Різниця А \ В (чи А - В) є множиною, котра складається з усіх елементів А, що не входять у В (рис. 1.2.4). Наприклад, {1, 2, 3} \ {2, 3, 4} = {1}. Рис. 1.2.4. Різниця А \ В Її можна розглядати як відносне доповнення В до А. Якщо А Ì В, то множина U\A називається абсолютним доповненням (або просто доповненням) множини A і позначається через Рис. 1.2.5. Доповнення Доповнення А визначається запереченням властивості P(x), за допомогою якої визначається А. Очевидно, А \ В = А Ç Рис. 1.2.6. Різниця А \ В = А Ç Диз’юктивна сума (симетрична різниця) А+В (чи АÅВ) є множиною всіх елементів, що належать або А або В (але не обом одразу) (рис. 1.2.7). Наприклад, {1, 2, 3} + {2, 3, 4} = {1, 4}. Рис. 1.2.7. Сума А + В Диз’юктивну суму одержуємо об’єднанням елементів множин, за винятком тих, які трапляються двічі. Властивості операцій над множинами. Комутативний закон для об’єднання і перетину множин А È В= В È А; А Ç В= В Ç А. Асоціативний закон для об’єднання та перетину множин А È (В È С)=(А È В) È С; А Ç (В Ç С)=(А Ç В) Ç С. Дистрибутивний закон для об’єднання і перетину множин А È (В Ç С)=(А È В) Ç(А È С); А Ç (В È С)=(А Ç В) È(А Ç С). Властивості пустої множини та універсума відносно об’єднання
А ÈÆ = А; А È А È U = U;
Властивості пустої множини та універсума відносно перетину А Ç U = A; А Ç А ÈÆ = А;
Закон ідемпотентності для об’єднання і перетину множин А È А = А; А Ç А = А. Закон поглинання А È (А Ç В) = А; А Ç (А È В) = А. Теорема де Моргана
Наступні властивості: 1) Якщо А È В = U і А Ç В = Æ, то В= 2) 3) 4) А \ В=А Ç В; 5) А+В =(А Ç 6) А+В =В+А; 7) А+В+С =А +(В+С); 8) А+ Æ = Æ +А = А; 9) А Ì В, тоді й тільки тоді, якщо А Ç В=А, або А È В=В, або А Ç 10) А=В, тоді та тільки тоді, якщо (А Ç Ми розглядали операції над множинами і їх властивості (закони операцій). Усі ці закони можна довести. Є різні способи доведення. 1. Доведення цих тотожностей за допомогою відношення належності Приклад. Довести дистрибутивний закон А È (В ÇС)=(А È В) Ç(А È С). Доведення Уважатимемо, що x Î А È (В Ç С), тоді x Î А або x Î (В Ç С). Якщо x Î А, то x належить об’єднанню з А з будь-якою множиною, тобто x Î А È В і x Î А È С; із цього слідує, що x є елементом перетину множин А È В і А È С, тобто x Î (А È В) Ç(А È С). Якщо x Î В Ç С, то x Î В і x Î С, а значить, x Î А È В і x Î А È С, тобто x є елементом перетину тих же множин. Таким чином, доведено, що А È (В Ç С)Ì(А È В) Ç(А È С). Аналогічно доводимо і відношення А È (В Ç С)É(А È В) Ç(А È С). Згідно з визначенням рівності множин маємо потрібну тотожність А È (В Ç С)=(А È В) Ç(А È С). 2. Доведення тотожностей за допомогою кругів Ейлера Приклад.Довести дистрибутивний закон А Ç (В È С)=(А Ç В) È(А Ç С) за допомогою кругів Ейлера. Доведення. Проілюструємо за допомогою кругів Ейлера спочатку ліву частину тотожності, виконавши спочатку об’єднання множин В і С, а потім перетин з А. Потім побудуємо діаграму для правої частини тотожності (рис. 1.2.8).
Рис. 1.2.8. Доведення тотожності А Ç (В È С)=(А Ç В) È(А Ç С) за допомогою кругів Ейлера Як бачимо, діаграми збігаються, отже, тотожність доведена.
3. За допомогою тотожних перетворень Приклад. Довести, що А È А = А. Доведення А È А = (А È А) Ç U= (А È А) Ç (А È З комутативності та асоціативності операцій об’єднання слідує, що об’єднання декількох множин можна виконати послідовно, об’єднуючи ці множини, причому порядок слідування множин не впливає на результат. Так, для множин А, В, С можна записати А È В È С=(А È В) È С=(В È С) È А. Отже, сукупність множин можна позначити відношенням
Теж саме можна записати і для перетину сукупності множин
Тотожні перетворення. Алгебра множин являє собою теоретико-множинний аналог звичайної алгебри дійсних чисел та основана на властивостях операцій над множинами. За допомогою тотожних перетворень можна спрощувати або перетворювати у зручний вигляд вирази, що містять множини, при цьому застосовують властивості операцій. Приклад 1. Виконати тотожні перетворення. Приклад 2
|
||||||
Последнее изменение этой страницы: 2017-02-21; просмотров: 611; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.226.254.255 (0.015 с.) |