Случайные величины. Числовые характеристики случайных величин

Два стрелка стреляют каждый по своей мишени, делая, независимо друг от друга по одному выстрелу. Вероятность попадания в мишень для первого стрелка , для второго - . Рассматривается случайная величина, которая равна разности между числом попаданий для первого и второго стрелка . Построить ряд распределения случайной величины Z и найти ее числовые характеристики и .

Решение. Случайная величина Z имеет три возможных значения: -1, 0 и +1. Z= -1, если первый стрелок промахнулся, а второй попал; Z=0, если оба попали или оба промахнулись; Z=+1, если первый стрелок попал, а второй промахнулся. Следовательно,

;

;

,

где

Ряд распределения величины Z имеет вид

 

	-1		+1

 

Математическое ожидание равно

= .

Дисперсию находим по формуле

.

Закон Пуассона

Радиоаппаратура состоит из 1000 электроэлементов. Вероятность отказа одного элемента в течение одного года работы равна 0,001 и не зависит от состояния других элементов. Какова вероятность отказа двух и не менее двух электроэлементов за год?

Решение. Считая случайное число Х отказавших элементов подчиняющимся закону Пуассона с параметром , получим:

1) вероятность отказа ровно двух элементов

;

2) вероятность отказа не менее двух элементов, вычисляется через противоположное событие

.

Показательный закон

Электронная лампа работает исправно в течение случайного времени Т, распределенного по показательному закону при и равна 0 при . По истечении времени Т лампа выходит из строя, после чего ее немедленно заменяют новой. Найти вероятность того, что за время : а) лампу не придется заменять; б) лампу придется заменять ровно три раза; в) лампу придется заменять не менее трех раз.

Решение. Отказы ламп образуют простейший поток событий с плотностью . Математическое ожидание числа отказов за время равно .

а) ; б)

в) .

Равномерный закон

На перекрестке стоит автоматический светофор, в котором 1 минуту горит зеленый свет и 0,5 минуты – красный, затем опять 1 минуту горит зеленый свет, 0,5 минуту – красный и т.д. Некто подъезжает к перекрестку на машине в случайный момент, не связанный с работой светофора. Найти вероятность того, что он проедет перекресток, не останавливаясь.

Решение. Момент проезда автомашины через перекресток распределен равномерно в интервале, равном периоду смены цветов в светофоре. Этот период равнее 1+0,5=1,5 минут. Для того, чтобы машина проехала через перекресток не останавливаясь, достаточно, чтобы момент проезда перекрестка пришелся на интервал времени (0;1). Для равномерно распределенной случайной величины в интервале (0;1,5) вероятность попасть в интервал (0;1) равна 2/3.