Построение уравнения модели линейной регрессии (случай сгруппированных данных)

Цель работы: овладеть способами построения моделей линейной регрессии, и выработать умения и навыки оценки надежности коэффициента корреляции, уравнения регрессии и его коэффициентов.

Задача. Фонтанную скважину исследовали на приток нефти. При различных режимах работы с замерами забойных давлений глубинным манометром. Данные замеров приведены в корреляционной табл. 2.12.

 

Таблица 2.12

X Y

 

Содержание работы: по опытным данным, представленным в корреляционной таблице необходимо:

1) Построить корреляционное поле и выбрать общий вид регрессии;

2) Записать уравнение линейной регрессии y на x используя:

а) метод наименьших квадратов

б) коэффициент корреляции .

Выбрать наиболее подходящее уравнение, и математически обосновать данный выбор;

3) Найти выборочный коэффициент корреляции и оценить тесноту связи между признаками X и Y;

4) Проверить на адекватность уравнение регрессии;

5) Проверить надежность уравнения регрессии и его коэффициентов;

6) Изобразить графически уравнение регрессии.

 

 

Выполнение работы

Пусть признак X характеризует изменение забойного давления, а признак Y изменение объема притока нефти. Используя данные таблицы, строим корреляционное поле.

 

Рис. 2.6. Корреляционное поле

 

Проведя линию тренда (черная линия), видим, что число точек, расположенных над и под ней, практически одинаково, причем расстояния этих точек до линии тренда одинаковые. Это дает основание предположить наличие линейной зависимости между признаками X и Y. Для подтверждения этой гипотезы перейдем от данного распределения к новому, найдя для каждого значения признак X условное среднее признака Y по формуле:

 

.

 

При , .

При , .

При ,

При ,

При ,

При ,

При ,

При , .

При , .

На корреляционном поле строим точки с координатами (рис. 2.7.).

Рис. 2.7. Корреляционное поле

 

Из рис. 2.7. видно, что отклонения точек от построенной прямой незначительны. Следовательно, связь между признаками и может носить линейный характер. Составим уравнения линий регрессий y на x по методу наименьших квадратов и через коэффициент линейной корреляции .

Применим метод наименьших квадратов к нахождению коэффициентов и уравнения линейной регрессии . Решаем систему нормальных уравнений (ф.1.59, 1.60):

 

 

Для нахождения сумм, входящих в систему, составляем табл. 2.13.

 

Таблица 2.13

x y										ny	nyy
nx
nxx
nxx^2
nxyxy

 

Полученная из табл. 2.13 система

 

 

имеет решение (а ₀, а ₁) = (-2,7645; 0,108). Тогда уравнение линейной регрессии запишется в виде:

 

 

Найдем уравнение линейной регрессии y на x по формуле, используя коэффициент линейной корреляции:

 

.

 

Так как данные выборки для признаков X и Y заданы в виде корреляционной таблицы и объем выборки , то для нахождения величин, входящих в уравнение регрессии, переходим к вспомогательному распределению с условными вариантами и . По корреляционной табл. 2.12 находим наибольшую частоту совместного появления признаков X и Y: . Тогда , , , . Составляем корреляционную табл. 2.14 в условных вариантах.

 

Таблица 2.14

u v	-4	-3	-2	-1						nv
-4
-3
-2
-1
nu

 

По таблице находим:

 

,

,

,

.

Тогда

,

.

 

Для нахождения суммы составляем табл. 2.15.

 

Таблица 2.15

u v	-4	-3	-2	-1						nv
-4
-3
-2
-1
nx

Тогда, согласно формулам вычисления коэффициента корреляции находим:

,

,

,

,

.

Отсюда следуют уравнение линии регрессии y на х:

 

,

или

,

 

и уравнение линии регрессии x на y:

 

,

 

или

.

Проверяем тесноту связи между признаками X и Y. Для этого, используя критерий Стьюдента, вычисляем статистику:

.

 

При уровне значимости и числе степеней свободы находим по таблице распределения Стьюдента . Так как , то выборочный коэффициент линейной корреляции значимо отличается от нуля. Следовательно, можно считать, что изменение притока нефти и изменение забойного давления связаны линейной корреляционной зависимостью. Дадим интерпретацию, например, уравнению регрессии y на x. Из уравнения регрессии видно, что при изменении забойного давления, например, на 10 атм на забое, изменение притока составит . Это результат воздействия отклонений при изменении забойного давления. Фактически изменение притока может составить , что является результатом воздействия неучтенных в модели факторов, не зависящих от давления. Проверим полученное уравнение регрессии y на x на адекватность по критерию Фишера-Снедекора. Вычислим статистику:

 

.

где – остаточная сумма квадратов, характеризующая влияние неучтенных в модели факторов, определяемая по формуле:

,

где – сумма квадратов отклонений значений от средней , – сумма квадратов отклонений условных средних от средней .

Составим расчетные табл. 2.16 и 2.17. Находим . По условию , . Тогда

 

.

Таблица 2.16   -4,16 17,3056   -3,16 9,9856   -2,16 4,6656   -1,16 1,3456   -0,16 0,0256   0,84 0,7056   1,84 3,3856   2,84 8,0656   3,84 14,7456   -4,16 17,3056

Таблица 2.17 10,543 -4,617 21,316689 11,683 -3,477 12,089529 12,823 -2,337 5,461569 13,963 -1,197 1,432809 15,103 -0,057 0,003249 16,243 1,083 1,172889 17,383 2,223 4,941729 18,523 3,363 11,309769 19,663 4,503 20,277009

 

При уровне значимости и числах степеней свободы , по таблице критических точек распределения Фишера-Снедекора находим . Так как , то модель линейной регрессии согласуется с опытными данными.

Лабораторная работа № 4.