Способы проверки статистических гипотез

Способ проверки статистических гипотез часто используется для разделения геологических объектов (гипотез) двух и более классов. Для осуществления способов проверки статистических гипотез необходимо знание плотностей распределения признаков геофизических полей, полученных ранее на эталонных объектах.

В случае двух классов объектов (гипотез), например, Н ₁- руда и Н ₂ - не руда, сравниваются две гипотезы Н ₁ и Н ₂ путем нахождения коэффициента правдоподобия , где - вектор независимых признаков . Коэффициент правдоподобия подсчитывается по формуле:

где - частные коэффициенты правдоподобия, которые характеризуют относительный вклад каждого признака x _l в общую величину . Оценка значений и производится по гистограммам распределения вероятностей признака x _l на эталонных объектах классов Н ₁ и Н ₂. Решение о принадлежности объекта в i -й точке наблюдений к классу Н ₁ принимается согласно критерию максимального правдоподобия при > 1. Если < 1, то справедлива гипотеза Н ₂.

Для осуществления способа проверки статистических гипотез можно использовать формулу Бейеса. Апостериорная вероятность гипотезы Н ₁ по формуле Бейеса:

,

где и - априорные вероятности появления объектов Н ₁ и Н ₂. Полагая для априорных вероятностей = , получаем для апостериорной вероятности > 0,5 справедлива гипотеза Н ₁. Если < 0,5 справедлива гипотеза Н ₂.

Если число классов более двух М > 2, то вычисления производятся по формуле Бейеса для полной группы гипотез (объектов):

.

Последовательно находят , и по максимальной вероятности принимают решение о принадлежности к данному классу объектов. Априорные вероятности гипотез предполагаются равными друг другу для всех геологических объектов.

 

Разделение объектов разных классов по гистограммам их физических свойств

Надежность разделения геологических объектов разных классов оцени­вается по гистограммам их физических свойств. Если есть гипотезы Н ₁ и Н ₂, то ошибка первого рода a состоит в том, что при наличии объекта (гипотезы) Н ₁ определя6тся объект Н ₂. Ошибка второго рода b состоит в том, что при на­личии объекта Н ₂ определяется объект Н ₁. Вероятности ошибок a и b опреде­ляются площадями под плотностью распределения признаков физических свойств объектов Н ₁ и Н ₂.

В качестве примера на рис. 2.10.2 приведены значе­ния вероятностей ошибок первого и второго рода a и b для двух объектов Н ₁ и Н ₂ при разделении признаков по среднему значению и дисперсии. В качестве признаков рассмотрены значения магнитного l = 1 Z_a (нТл) и гравитацион­ного l = 2 g (мГл) полей.

 

Рис. 2.10.2. Вероятности ошибок первого и второго рода.

 

На рис. 2.10.2 приведены гистограммы двух геофизических полей Z_a и g

над объектами двух классов Н ₁ (руда) и Н ₂ (помеха). В результате опыта измерено Z_a = 400 нТл, g = 10 мГл. Требуется установить, к какому классу относится геологический объект. Из гистограмм магнитных свойств объекта = 24 нТл, = 9 нТл. Из гистограмм силы тяжести = 5 мГл, = 13 мГл. Из формулы для коэффициента правдоподобия для гипотезы Н ₁ (руда):

В итоге точка x₁, x₂ принадлежит рудному объекту Н ₁.

Другой пример. При поисках нефтяной залежи использованы четыре признака: х ₁ – пластовая скорость (v _пл, м/с); х ₂ – время последнего отражения (t,с); х ₃ – число отражений (n); х ₄ – отношение амплитуд отраженных волн (А1/А2). На рис. 2.10.3 приведены гистограммы объектов двух классов Н ₁ (нефть) и Н ₂ (помеха).

Рис. 2.10.3. Гистограммы объектов двух классов Н ₁ (нефть) и Н ₂ (помеха)

 

Для каждой i -й точки наблюдений найдены значения и , (l = 1, 2, 3, 4), где и - вероятности признаков наличия нефти Н ₁и её отсутствия Н ₂ (помеха). По значениям и рассчитаны значения коэффициента правдоподобия и апостериорной вероятности гипотезы Н ₁ (нефть) :

;

По апостериорной вероятности гипотезы > 0,5 найдены нефтеносные пикеты по профилю наблюдений.

Под надежностью разделения объектов g понимается вероятность правильного разделения объектов. Если априорные вероятности классов Н ₁ и Н ₂ р ₁ и р ₂ равны р ₁ = р ₂ = 0,5, то вероятность общей безусловной ошибки , а надежность разделения g = 1- . При полном совпадении гистограмм = признак x_l не обладает геологической эффективностью, так как в этом случае (a + b = 1) и g = 0,5. При отсутствии пересечения гистограмм, если отлично от нуля, а = 0, то a + b = 1, q = 0, g = 1, и природа объектов Н ₁ и Н ₂ определяется однозначно. Таким образом, чем выше g, тем больше информативность.

Задача поисков объекта можно свести к задаче разделения объектов двух классов. При этом один класс объектов рассматривается как поисковый, а другой как помеха для поискового класса. Надежность выделения поискового объекта g _l определяется по энергетическому отношению сигнал-помеха r _l для l -го геофизического метода или l -го признака геофизического метода. При условии независимости признаков рассчитывается энергетическое отношение для комплекса методов: . Затем по оценивается надежность разделения объектов двух классов комплексом методов:

.

Надежность поисков объекта комплексом методов увеличивается. По максимальной величине для различных сочетаний геофизических методов устанавливается наиболее эффективный комплекс в геологическом отношении.

На шестом этапе формирования рационального комплекса геофизических методов (рис. 2.3.1) дается оценка геологической эффективности геофизических методов для решения поставленной геологической задачи.