Цепи с последовательным соединением элементов R L C.

 

Для последовательной цепи, состоящей из нескольких элементов, строится векторная диаграмма напряжений.

За исходный вектор принимается вектор тока, т.к. при последовательном соединении через все элементы цепи протекает один и тот же ток. Может быть показано, что напряжения на отдельных участках цепи сдвинуты по фазе относительно тока.

а) Пусть в цепи только активное сопротивление R.

По закону Ома ток в такой цепи

Т.к. U = U_m sin ωt, то .

Отсюда следует, что напряжение и ток совпадают по фазе.

б) Пусть в цепи только индуктивность L.

Допустим, что ток в цепи

i = I_m sinωt.

Этот ток в индуктивности вызывает э.д.с. самоиндукции

.

По 2-му закону Кирхгофа: e_L = -U_L,

отсюда получаем U_L = ω L I_m cos ωt.

Из этого следует, что напряжение на индуктивности опережает ток на угол π/2. Рассуждая аналогично, для цепи с емкостью С выявим, что напряжение на емкости отстает от тока на угол π/2 (рекомендуется установить самостоятельно).

Таким образом, векторная диаграмма напряжений для цепи с последовательно соединенными элементами R, L, C (см.рис.6) будет иметь вид, как показано на рис.7.

Вектор напряжения , приложенного к цепи, определяется как сумма векторов , а его величина равна

Построим векторную диаграмму напряжений для цепи на рис.1. Для произвольных значений сопротивлений R, X_L и X_C и тока I она будет иметь вид, показанный на рис 8.

Вектор напряжения равен сумме векторов напряжений на отдельных участках цепи

.

 

Если сумму векторов представить следующим образом:

,

 

то в соответствии с этой записью векторную диаграмму можно изобразить так, как показано на рис.9 или на рис.10.

 

 

 

Векторная диаграмма, представленная на рис.10 называется треугольником напряжений. Вектор результирующего напряжения на рис.10 опережает вектор тока I на угол φ.

Если модули векторов треугольника напряжений разделить на модуль вектора тока, то получим сопротивления последовательной цепи R, X, Z:

R = R₁ + R₂; X = X_L – X_L;

Эти сопротивления соотносятся как стороны прямоугольного треугольника. Прямоугольный треугольник, стороны которого численно равны величинам R, X, Z, называется треугольником сопротивлений (см.рис.11).

Таким образом, или

- это выражение является законом Ома для последовательной цепи переменного тока.

На рис.8, 9, 10, 11 рассмотрен случай, когда X_L>X_C(U_L>U_C). Если Х_L<X_C, треугольники напряжений и сопротивлений будут иметь вид, показанный на рис.12 (а,б).

 

В этом случае вектор напряжения отстает от вектора тока на угол φ. Возможен частный случай, когда X_L=X_C. В цепи при этом наступает режим, называемый резонансом напряжений.

Обычно для расчета электрических цепей используют комплексные числа. Тогда все векторы можно изобразить на комплексной плоскости как показано на рис.13 для цепи на рис.1 (значения величин произвольные).

 

В комплексной форме полное напряжение записывается следующим образом

Ů = Ů_а + Ů_L + Ů_C

Для цепи на рис.1

Ů_a = Ů_R1 + Ů_R2, R = R₁ + R₂

Или Ů = İR + jωLİ + İ / jωC

Ů = (R + j (ωL – 1 / ωC)) İ.

 

Это соотношение есть закон Ома, записанный в комплексной форме. Сомножитель перед I есть полное сопротивление последовательной цепи в комплексной форме

.

Полное напряжение Ů = Z İ

Все комплексные величины можно записать в показательной форме.

В общем случае ток равен

İ = I e^jψ ,

Ψ – угол между током и вещественной осью.

В нашем примере направление тока совпадает с вещественной осью, угол ψ=0, тогда İ = I.

Полное сопротивление Z = Ze^jφ, где

, .

Комплекс напряжения в показательной форме

Ů = z İ = z I e^jφ.