Однофазные электрические цепи синусоидального тока.

 

Если в однородном магнитном поле с индукцией В равномерно со скоростью вращать рамку, то в каждой стороне этой рамки индуктируется ЭДС электромагнитной индукции, которая равна:

(4.1)

Если к рамке подключить нагрузку, то в замкнутой цепи пойдет ток, изменяющийся по синусоидальному закону.

Значения, при которых ЭДС достигает своих максимальных величин, называются амплитудными, обозначается . При амплитудном значении ЭДС этом и , следовательно , а (3.2).

Промышленный ток изменяется по синусоидальному закону, также как изменяются Э.Д.С. и напряжения:

i = I_m sin t или i = I_m sin ( t + α)…………………………….. (4.3)

e = E_m sin t или e = E_m sin ( t + α₁) …………………………….(4.4)

u =U_m sin t или u = U_m sin ( t + α₂)…………………………….(4.5)

 

 

где i, е, u – мгновенные значения тока, э.д.с. и напряжения соответственно;

I_m, E_m, U_m - амплитудные (максимальные) значения тока, э.д.с. и напряжения;

= 2πƒ – угловая частота;

α, α₁, α₂ – начальные фазы.

 

Среднее и действующее значение переменного тока.

 

Среднее значение переменного тока равно величине постоянного тока, при котором через поперечное сечение проводника проходит такое же количество электричества, что и при переменном токе. Обозначается среднее значение тока, напряжения и ЭДС соответственно .

Определяются средние значения по формулам:

……………………………………………………………(4.6),

……………………………………………………………(4.7),

……………………………………………………………… (4.8).

Эффективным или действующим значением переменного тока называется такой ток, который за одинаковый промежуток времени выделит в одном и том же проводнике такое же количество теплоты, что и данный переменный ток. Определяется действующее значение переменного тока, напряжения и ЭДС по формулам:

………………………………………………………………… (4.9)

………………………………………………….(4.10)

……………………………………………………………….. (4.11)

 

Векторные диаграммы.

 

При расчете цепей переменного тока часто приходится суммировать (или вычитать) несколько однородных синусоидально изменяющихся величин одной и той же частоты ƒ, но имеющих разные амплитуды (I_m, E_m, U_m) и начальные фазы (α, α₁, α₂).

Такую задачу можно решать аналитическим путем тригонометрических преобразований или геометрически.

Геометрический метод более прост и нагляден, чем аналитический.

Синусоидальную величину (например, u = U_m sin (wt + α)) изображают в виде радиуса-вектора с декартовыми координатами х=а, у=в (см. рис.3).

 

α – угол, образованный с осью Х в начальный момент времени, называемый начальной фазой. Вектор вращается в заданной плоскости вокруг точки О с постоянной угловой скоростью, равной угловой частоте ω, против часовой стрелки. Направление вектора не указывает направление действия напряжение (или тока и э.д.с.). Это его отличие от векторов в механике, которыми обозначаются величина и направление силы, скорости, ускорения. Сумма двух синусоидальных величин изображается суммой векторов, изображающих отдельные слагаемые, а линейная комбинация нескольких синусоидальных величин – соответствующей линейной комбинацией векторов. Такое изображение синусоидальных величин называется векторной диаграммой. При построении векторных диаграмм один из векторов – исходный располагают произвольно, другие векторы – под соответствующими углами к исходному.

Пусть необходимо сложить две синусоидальные функции с одинаковым периодом, но разными начальными фазами (см.рис.4):

U = U_m1 sin (ωt + α₁) и U₂ = U_m2 sin (ωt + α₂).

Рис.4

По известному правилу сложения векторов можно получить вектор , изображающий сумму обеих функций U₁(t) и U₂(t), как геометрическую сумму векторов , изображающих эти функции. Все три векторы вращаются одновременно с угловой скоростью ω и легко непосредственно проверить, что ордината точки М представляет собой сумму функций U_m1sin(ωt + α₁) и U_m2sin(ωt + α₂). Аналогично абсцисса точки М равна сумме функций U_m1cos(ωt + α₁) и U_m2cos(ωt + α₂).

Вместо того, чтобы вращать векторы с угловой скоростью, можно предположить, что они неподвижны, а оси координат вращаются с угловой скоростью ω.

На рис.4 изображено относительное расположение векторов и осей в момент t = 0.

Геометрическое построение, описанное выше, определяет амплитуду ОМ =U_m, фазу α и тем самым позволяет найти выражение U_msin(ωt + α) = U_m1sin(ωt + α₁) + U_m2sin(ωt + α₂), причем амплитуда U_m будет равна

,

фаза α может быть определена через tg α

.

Аналогично линейная комбинация нескольких синусоидальных функций времени и той же частоты есть синусоидальная функция времени той же частоты:

Часто нужно вычислять производную или интегралы синусоидальных функций времени типа U(t) = U_msin(ωt + α). Имеем

 

.

 

Производные и первообразные от функции U (t) изображаются векторами, повернутыми к исходному вектору соответственно на углы + и - , а длины этих векторов равны ωU_m и .

Изложенное выше применимо в тех случаях, когда требуется произвести сложение, дифференцирование, интегрирование синусоидальных напряжений и токов, либо линейные комбинации этих операций. Но это не применимо, если нужно подвергнуть напряжения или токи нелинейным алгебраическим операциям, как, например, умножению или возведению в степень. При таких операциях возникают круговые частоты, отличные от ω. Это обрекает на неудачу векторное построение, изображенное на рис.4.

Построение векторов, изображенное на рис.4, называется векторной диаграммой. Обычно при построении векторных диаграмм вместо амплитудных значений синусоидальных величин берут их действующие значения.

Действующие значения переменного напряжения и тока будут равны:

Посредством действующих значений напряжения и тока проще выражается активная мощность. Активная мощность является основной величиной, характеризующей энергетические условия в цепи. Если для любого участка цепи известны векторы, длины которых равны действующим значениям напряжения U и тока I, то активная мощность есть скалярное произведение этих векторов:

, Вт.

Здесь φ – угол между векторами напряжения и тока.

Для электрических расчетов применяют также две вспомогательные величины:

полную мощность S = U I, ВА;

реактивную мощность Q = U I sin φ, вар.

Величины Р, Q, S соотносятся как стороны прямоугольного треугольника. Прямоугольный треугольник, стороны которого численно равны величинам Р, Q, S, называется треугольником мощностей (рис.5).