Числовые характеристики нормального закона распределения случайных погрешностей

Обработка данных и оценка параметров случайных погрешностей производится методами теории вероятностей и математической статистики. Воспользуемся изложением материала по данной теме, представленной в учебном пособии [3].

Случайные погрешности характеризуются законом распределения. При измерениях размеров наиболее часто это нормальный закон распределения, встречаются также равномерный закон распределения (погрешности размеров в пределах одной группы сортировки при селективной сборке, погрешность обработки во времени из-за износа режущего инструмента), треугольный закон (закон Симпсона) и др.

Погрешность результата измерения в общем случае включает систематическую и случайную составляющие (грубая погрешность входит в состав случайной погрешности)

 

∆Х = ∆Х _ст + ∆ Х _сл. (5.1)

 

Составляющая ∆Х _ст может носить знаки, как «плюс», так и «минус», при этом, если результат исправляется (вводится поправка) и речь идет о неисключенном остатке систематической погрешности, то перед значением ∆Х _ст подразумевается сочетание знаков «±». Составляющая ∆Х _сл всегда известна в виде границ с сочетанием знаков «±».

Следует понимать, что в общем случае результирующая ∆Х _изм не является арифметической суммой составляющих ∆Х _ст и ∆Х _сл, она состоит из двух данных составляющих, имеющих различные свойства. Задача определения общей погрешности ∆Х _общ с учетом составляющих ∆Х _ст и ∆Х _сл решается вероятностным методом и рассмотрена ниже в разделе 6.

В соответствии с законами теории вероятностей, погрешность ∆Х, записанная указанным выражением, также становится случайной величиной, имеющей тот же закон распределения, что и ∆ Х _сл. Все сказанное относится и к результату измерения, его на основании приведенных выше выражений можно записать в виде

 

Х _изм = Х _дст + ∆Х. (5.2)

 

Из теории вероятности известно, что закон распределения можно охарактеризовать числовыми характеристиками, которые являются уже неслучайными величинами. Эти характеристики используются для количественной оценки случайной погрешности, среди них основными для погрешности ∆Х, записанной в виде (5.1) являются:

- математическое ожидание

∞

М[∆Х] = ∫∆Хр(∆Х)d(∆Х), (5.3)

-∞

где р (∆Х) – плотность вероятности погрешности ∆Х;

- дисперсия

∞

D [ ∆Х ] = ∫{[ ∆Х – М [ ∆Х ]}² p (∆Х) d (∆Х). (5.4)

-∞

 

Математическое ожидание погрешности измерений, вычисляемое по формуле (5.3), есть неслучайная величина, она характеризует систематическую составляющую погрешности измерения, т. е. М [ ∆Х _изм] = ∆Х _ст. Для чисто случайной погрешности, когда ∆Х _ст = 0, М [ ∆Х _изм] = 0.

Дисперсия характеризует степень разброса отдельных значений погрешности относительно М [ ∆Х ] и может служить характеристикой точности проведенных измерений, но имеет размерность измеряемой величины в квадрате. Поэтому в качестве числовой хоарактеристики такого рода для сучайной погрешности чаще используют среднее квадратическое отклонение

 

σ[ ∆Х ] = √ D [ ∆Х ]. (5.5)

 

Применительно к погрешностям измерений данную числовую характеристику следует называть средней квадратической погрешностью (СКП) результата измерений.

Графическое представление нормального закона распределения случайных погрешностей (дифференциальная функция распределения p (∆Х _изм) или плотность вероятностей) приведена на рисунке 5.1, аналитическое выражение этого закона имеет вид

 

(5.6)

 

Если характеризовать случайную погрешность безразмерным нормированным числом t = ∆Х / σ [ ∆Х ] (нормировка относительно СКП), то получим кривую нормированного нормального распределения

(5.7)

 

с аргументом

 

t = (∆Х – М [ ∆Х ]) / σ[ ∆Х ] (5.8)

 

 

Рисунок 5.1 – Кривые дифференциального закона нормального распределения

при СКП: σ₁ – кривая 1 и σ₂ кривая 2 при условии σ₁ < σ₂

 

Вид кривой нормированного нормального распределения чисто случайной погрешности (М [ ∆Х ] = 0) приведен на рисунке 5.2.

 

 

Рисунок 5.2 – Кривая нормированного закона нормального распределения

 

Положение кривых нормального распределения относительно начала координат и ее форма определяются соответственно параметрами М [ ∆Х ] и σ[ ∆Х ]. С изменением М [ ∆Х ] форма кривой не изменяется, при полной компенсации статической составляющей погрешности М [ ∆Х ] = 0 и кривая занимает положение, показанное на рисунке 5.2, т. е. симметричное относительно оси ординат. С изменением σ [ ∆Х ] положение кривой не изменяется, с уменьшением этой характеристики кривая становится более вытянутой по отношению к оси ординат, ветви ее сближаются (кривая 1 на рисунке 5.1).

По условиям измерительных задач часто необходимо найти максимальную (предельную) случайную погрешность. Эта погрешность связана с СКП и зависит от закона распределения. Для нормального закона, как правило, принимается равной (рисунок 5.2)

 

∆Х _сл.max = ±3 σ [ ∆Х _сл]. (5.9)

 

Для равномерного закона ∆Х _сл.max = ±1,73 σ [ ∆Х _сл], для треугольного ∆Х _сл.max = ±2,45 σ [ ∆Х _сл].