Точечные оценки и доверительнве интервалы числовых характеристик нормального закона распределения случайных погрешностей

На практике числовые значения характеристик (5.3), (5.4) случайной погрешности находятся путем соответствующей математической обработки результатов измерений, при этом измерения должны быть многократными (статистическими), т. е. необходимо n раз произвести измерение одного и того же значения измеряемой ФВ и получить ряд результатов измерений в виде Х ₁, Х ₂, Х ₃, …, Х _n. При этом учитывается, что количество измерений ограничено, т. е. n ≠ ∞, поэтому результаты обработки дают не теоретические значения М [ ∆Х ] и σ[ ∆Х ], а их оценки. Чтобы подчеркнуть этот факт, оценки обозначаются другими символами и вычисляются по следующим формулам (ГОСТ 8.207–76):

 

M [ X ] = X _дст ≈ X = ; (5.10)

 

σ [ Х ] ≈ S _x = / (n – 1) (5.11)

 

где: X – среднее арифметическое значение результатов серии из n измерений (оценка математического ожидания результата измерений), оценка действительного значения измеряемой ФВ;

S _x – оценка средней квадратической погрешности единичного измерения в ряду равноточных измерений.

Точность оценок, полученных по формулам (5.10), (5.11), растет с увеличением n,и в пределе (при n = ∞) эти оценки стремятся к теоретическим значениям числовых характеристик.

Поскольку при вычислении по формуле (5.10) получаем оценку математического ожидания X и эту оценку принимаем за результат измерения, необходимо знать степень разброса величины X относительно M [ X ] – оценку средней квадратической погрешности среднего арифметического:

 

S _x = / n (n – 1) = S _x/√ n (5.12)

 

Как следует из формулы (5.12), средняя квадратическая погрешность среднего арифметического S _x в √ n раз меньше средней квадратической погрешности единичного измерения S _x.

Полученные по формулам (5.10) – (5.12) числовые характеристики выражаются определенным числом и называются точечными оценками. С использованием точечных оценок результат измерения с учетом случайной погрешности (и без грубой погрешности) может быть представлен в следующем виде:

 

X _дст = X ± S _x. (5.13)

 

Более полную информацию о действительном значении измеряемой величины дает представление результата измерения в виде доверительного интервала при заданной доверительной вероятности Р _дов. Доверительный интервал с заданной доверительной вероятностью включает действительное значение X _дст измеряемой ФВ

 

P [(X – ∆Х) ≤ X _дст ≤ [(X + ∆Х)] = Р _дов. (5.14)

 

Можно представить и доверительный интервал значений случайной погрешности, внутри которого с заданной доверительной вероятностью находится искомое значение погрешности ∆Х:

 

P [– ∆Х _сл ≤ ∆X ≤ + ∆Х _сл] = Р _дов. (5.15)

 

При определении доверительных интервалов доверительной вероятностью задаются, если она не задана условиями измерительной задачи. Чем больше принятое значение Р _дов, тем более надежно будет оценен интервал, но тем шире будут его границы, т. е надежность оценок X и S _x будет выше. При технических измерениях с нормальным законом распределения в большинстве случаев достаточным считается значение Р _дов = 0,95.

Следует заметить, что точечная оценка S _x, полученная на основании экспериментальных данных при ограниченном числе измерений, остается случайной величиной (с изменением числа измерений оценка несколько изменится). Поэтому можно так же говорить о доверительном интервале для оценки средней квадратической погрешности среднего арифметического S_x при некоторой доверительной вероятности, соответствующая методика его определения разработана.

При определении характеристик случайной погрешности решается задача, как определения доверительных границ СКП при заданной доверительной вероятности, так и обратная задача – определение доверительной вероятности Р _дов с которой СКП не выйдет (или выйдет) за границы заданного симметричного или несимметричного интервала при заданном законе распределения случайной погрешности.

Границы симметричного доверительного интервала ± ∆Х _р, за пределы которого с заданной доверительной вероятностью не выходит случайная погрешность результата статистических измерений, определяют по выражению

 

∆Х _р = ± t _р S _x, (5.16)

 

где t _р – безразмерный коэффициент, определяемый задаваемой доверительной вероятностью Р _дов и видом закона распределения случайных погрешностей.

Доверительный интервал случайной погрешности может быть определен не только для результата многократных измерений, но и для любого результата, полученных путем однократных измерений, если известна величина СКП, с которой этот результат получен. В этом случае

 

∆Х _р = ± t _р S _x.

 

При симметричном задании границ доверительного интервала (± t _i) вероятность того, что случайная погрешность, распределенная по нормальному закону, окажется внутри указанного интервала, определяется в общем случае выражением (с использованием нормированной функции нормального распределения (5.7))

 

(5.17)

 

Интеграл вида

(5.18)

 

называется нормированной функцией Лапласа, или интегралом вероятности.

Значения этого интеграла или интеграла вида (5.19) для различных значений аргумента табулированы, используя их можно решить прямую и обратную задачи определения характеристик случайной погрешности, распределенной по нормальному закону. При этом в случае использования интеграла вида (5.19) находим полную вероятность попадания в симметричный интервал с границами ± t _i, а в случае использования интеграла вида (5.20) – только половину полной вероятности для одной части симметричного доверительного интервала.

При решении этих задач можно использовать также таблицы значений нормированной интегральной функции нормального распределения вида

 

Ф( (5.21)

 

Для доверительной вероятности нахождения случайной погрешности внутри несимметричного интервала с границами от t _н до t _в выражение (5.18) записывается в следующем виде

 

Р _дов = Ф(t _в) – Ф(t _н) = (5.22)

 

Табличными значениями нормированной функции Лапласа удобно пользоваться для решения задач при симметричном задании доверительного интервала, а табличными значениями нормированной интегральной функции – при несимметричном задании.

При определении числовых характеристик случайной погрешности по результатам эксперимента табличные значения интегралов вида (5.19) и (5.22) следует использовать в том случае, когда количество наблюдений в выборке достаточно велико (n > 20, а по представлению некоторых авторов n > 30). При малом n точечные оценки случайной погрешности сами становятся случайными величинами, поэтому выражение (5.8) для нормированного отклонения результата измерения от действительного значения при n < 20 следует записать в виде

 

t _n = (Х – М [ Х ]) / S _x (5.23)

 

Использование обозначения t _n подчеркивает тот факт, что нормированное отклонение определено с использованием оценок Х и S _x, полученных при обработке выборки малого объема, а величина t _n является функцией числа наблюдений n в выборке. Поэтому границы доверительного интервала, определяемые в соответствии с выражением (5.16), будут зависеть не только от доверительной вероятности, но и от числа наблюдений.

Закон распределения случайной величины t _n отличается от нормального и называется распределением Стьюдента, при увеличении n → ∞ распределение Стьюдента полностью совпадает с нормальным.

Таким образом, при малом количестве наблюдений (n < 20) доверительный интервал следует определять с использованием распределения Стьюдента, которое также табулировано. Выражение (5.16) записывается в виде

 

∆Х _р.n = ± t _р.n S _x (5.24)

 

Коэффициент t _р.n определяется по таблицам распределения Стьюдента при выбранной доверительной вероятности для конкретного числа наблюдений.