Основное уравнение кинетической теории газов.

 

Основным уравнением кинетической теории газов называется соотношение, связывающее давление (величину, измеряемую на опыте) со скоростью или кинетической энергией молекулы газа.

Рассмотрим одноатомный идеальный газ. Предположим, что молекулы газа движутся хаотически, число взаимных столкновений между молекулами газа очень мало по сравнению с числом ударов о стенки сосуда, а соударения молекул со стенками сосуда абсолютно упругие. Выделим на стенке сосуда элементарную площадку Ds (cм. рис.6.1) и вычислим давление, оказываемое на эту площадку. При каждом соударении, молекула, движущаяся перпендикулярно площадке, передает ей импульс т ₀ –(–m ₀ ) = 2 т ₀ , где т₀ – масса молекулы, υ – ее скорость. За время D t площадки Ds достигнут только те молекулы, которые заключены в объеме цилиндра с основанием Ds и высотой D t. Число этих молекул равно

N=n Ds D t,

где п – концентрация молекул. Но необходимо учитывать, что реально молекулы движутся к площадке под разными углами и имеют различные скорости.

Для упрощения расчетов хаотическое движение молекул заменяют движением вдоль трех взаимно перпендикулярных направлений, так что в любой момент времени вдоль каждого из них движется 1/3 молекул, причем половина из них (1/6) движется вдоль данного направления в одну сторону, половина — в противоположную.

Тогда число ударов молекул, движущихся в заданном направлении, о площадку Ds будет: .

При столкновении с площадкой эти молекулы передадут ей импульс:

.

Тогда давление газа на стенку сосуда:

(6.3.1)

Если газ и объеме V содержит N молекул, движущихся со скоростями ₁, ₂., то учитывают среднюю квадратичную скорость

 

,

(6.3.2)

 

характеризующую всю совокупность молекул газа. Уравнение (6.3.1) с учетом (6.3.2) примет вид

.

(6.3.3)

 

Данное выражение называется основным уравнением молекулярно-кинетической теории идеальных газов. Это уравнение как раз и устанавливает связь между давлением и скоростью, вернее среднеквадратичной скоростью.

Введем среднюю кинетическую энергию хаотического поступательного движения одной молекулы . Тогда основное уравнение запишется как:

или

В данном уравнении давление связано со средней энергией поступательного движения молекул. Давление газа численно равно 2/3 средней кинетической энергии поступательного движения молекул, содержащихся в единице объема.

Средняя кинетическая энергия поступательного движения

Молекул. Закон Дальтона.

 

При переходе к равновесию от одной части газа к другой передается энергия. Выравнивается не энергия всего газа как целого, а средняя кинетическая энергия, отнесенная к одной молекуле. Температура газа пропорциональна средней кинетической энергии его молекул: Т ~ . Средняя кинетическая энергия поступательного движения молекулы

= ,

(6.4.1)

 

где k - постоянная Больцмана, выражающая соотношение между единицей энергии и единицей температуры: k =1,38·10^-23 Дж/К.

Все молекулы при данной температуре Т имеют одну и ту же среднюю энергию независимо от их сорта. Из формулы (6.4.1) следует, что абсолютная температура является мерой средней кинетической энергии поступательного хаотического движения молекул. При Т=0 замирает тепловое движение, но остаются другие, нетепловые формы движения в веществе, например, движение электронов в атоме. Это движение нельзя прекратить, охлаждая вещество.

Выразим теперь u_кв через абсолютную температуру Т. Приравнивая правые части в формулах = и получим u_кв= .

Введем понятие универсальной газовой постоянной R, которая связана с постоянной Больцмана соотношением , где N_A=6·10²³моль^-1 – число Авогадро (число молекул в одном моле вещества), и молярной массы m= N_am₀ –массы одного моля газа. Тогда среднюю квадратичную скорость поступательного движения молекул можно выразить формулой:

uкв= .

(6.4.2)

 

Подставляя в основное уравнение кинетической теории газов это выражение, получим, что давление идеального газа связано с температурой соотношением:

 

.

(6.4.3)

 

Давление определяется только концентрацией (при постоянной температуре) и не зависит от сорта молекул.

Если имеем смесь нескольких газов, концентрация молекул которых n₁, n₂,..., n_i и , то

.

Давления называют парциальными давлениями. Например, р₁ – парциальное давление соответствует давлению, которое оказывал бы первый газ, входящий в состав смеси, если бы он занимал весь объем.

Согласно закону Дальтона в случае идеальных газов

.

(6.4.4)

 

Таким образом, давление, оказываемое на стенки сосуда смесью газов, равно сумме парциальных давлений отдельных компонентов смеси.