Глава 17. Механические волны

 

Волновые процессы. Продольные и поперечные волны. Уравнение бегущей волны. Фазовая скорость. Волновое уравнение.

Если в каком-либо месте упругой (твердой, жидкой или газообразной) среды создать колебания ее частиц, то вследствие взаимодействия между частицами это колебание будет распространяться в среде от частицы к частице с некоторой скоростью υ. Процесс распространения колебаний в пространстве называется волной. Среди разнообразия волн, которые встречаются в природе и технике можно выделить упругие и электромагнитные волны.

Упругие волны - волны, которые распространяются в любой упругой среде. Электромагнитные волны - это волны, которые распространяются в электромагнитном поле.

При распространении волны частицы колеблются около своих положений равновесия, а не перемещаются вслед за волной. Вместе с волной передается от частицы к частице лишь состояние колебательного движения и его энергия. Поэтому основным свойством всех волн является перенос энергии без переноса вещества.

В зависимости от направления колебаний частиц по отношению к направлению, в котором распространяется волна, различают продольные и поперечные волны.

Продольная волна - волна, в которой частицы среды колеблются вдоль направления распространения волны.

Поперечная волна – волна, в которой частицы среды колеблются в направлениях, перпендикулярных к направлению распространения волны.

Продольные волны могут распространяться в средах, в которых возникают упругие силы при деформации сжатия и растяжения (в твердых, жидких и газообразных телах).

Поперечные волны могут распространяться только в среде, в которой возникают упругие силы деформации сдвига (только в твердых телах).

На рис. 17.1. изображена кривая (график волны), которая дает смещение ξ из положения равновесия точек с различными х в некоторый момент времени.

Отличие графика волны от графика гармонического колебания:

1) график волны представляет зависимость смещения всех частиц среды от расстояния до источника колебаний в данный момент времени ξ= ξ(x,t=const);

2) график гармонического колебания это зависимость смещения данной частицы от времени ξ= ξ(x =const, t);

Длиной волны λ называется расстояние между ближайшими частицами, колеблющимися в одинаковой фазе. Длина волны λ равна расстоянию, на которое распространяется волна за время, равное периоду колебаний Т частиц среды:

λ= υT, λ· ν = υ

где ν = 1/Т - частота колебаний, υ – скорость распространения волны.

Геометрическое место точек, до которых доходят колебания к моменту времени t, называется фронтом волны (или волновым фронтом). Геометрическое место точек, колеблющихся в одинаковой фазе, называется волновой поверхностью. Волновых поверхностей существует бесконечное множество, в то время как волновой фронт каждый момент времени только один. Волновая поверхность, на которой колебание находится в максимальной фазе, называется гребнем волны.

 

Уравнение бегущей волны

Бегущими волнами называются волны, которые переносят энергию в пространстве. Основной характеристикой бегущей волны является плотность потока энергии переносимой данной волной.

Важными примерами бегущих волн является плоская и сферическая волны. В плоской волне волновые поверхности представляют собой множество параллельных друг другу плоскостей, в сферической волне — множество концентрических сфер.

Уравнением бегущей волны – называется зависимость от координат и времени скалярных или векторных величин, характеризующих колебания среды при прохождении в ней рассматриваемой волны.

Найдем вид функции ξ в случае бегущей волны, предполагая, что колебания носят гармонический характер. Для упрощения направим оси координат так, чтобы ось х совпала с направлением рас­пространения волны. Тогда волновые поверхности будут перпендикулярными к оси х и, поскольку все точки волновой поверхности колеблются одинаково, смещение ξ будет зависеть только от х и t:

ξ = ξ{х, t).

Пусть колебания точек, лежащих в плоскости х =0 (рис.17.2.), имеют вид

x(0, t)= А соs(w t +a),

Найдем вид колебания точек в плоскости, соответствующей про­извольному значению X. Для того чтобы пройти путь от плоскости х = 0 до этой плоскости, волне требуется время

τ =x/υ

где υ — скорость распространения волны.

Следовательно, колебания частиц, лежащих в плоскости х, будут отставать по времени на τ от колеба­ний частиц в плоскости х = 0, т. е. будут иметь вид

(17.2.1)

Выражение (17.2.1) является уравнением плоской волны (и продольной и поперечной), распространяющейся в направлении х, где А=const - амплитуду волны; α - начальная фаза волны (определяется выбором начал отсчета х и t); -фаза плоской волны.

Если ввести волновое число: ,

Придем к следующему уравнению плоской вол­ны, распространяющейся вдоль оси х:

x(x, t)= А соs (w t- kx +a). (17.2.2)

или в экспоненциальной форме:

Зафиксируем какое-либо значение фазы, стоящей в уравнении волны (17.2.2)

или (w t- kx +a)=const

Продифференцировав данное выражение, получим:

Таким образом, скорость распространения волны в этом уравнении, есть скорость перемещения фазы, в связи с чем, ее называют фазовой скоростью.

Волновое уравнение

Распространение волн в общем случае описывается волновым уравнением – дифференциальным уравнением в частных производных. Чтобы установить вид волнового уравнения, сопоставим вторые частные производные по координатам и времени от функции (17.2.2), описывающую бегущую волну:

Сравнивая уравнения (17.3.1) и (17.3.2), можно записать

Следовательно, производные по координатам x,y и z

, ,

Сложив производные по координатам

- волновое уравнение для плоской волны

Используя, оператор Лапласа

волновое уравнение примет вид

.

Решением волнового уравнения является уравнение любой волны (в том числе и плоская и сферическая волны).