Метод аналитических группировок

Этот метод позволяет определить взаимосвязи между двумя и более признаками.

В ходе построения аналитической группировки необходимо решить следующие вопросы:

1. выбор факторных признаков

2. определение числа групп

3. оценка линии регрессии

4. измерения тесноты связи

 

Выбор факторных признаков

Выбор основывается на всестороннем анализе изучаемого явления, экономической теории, опыте и знаниях исследователя и т.д.

Определение числа групп

В принципе, чем больше число групп, тем точнее будет описана линия регрессии, но в месте с тем снижается точность расчета средних.

В данном вопросе необходимо, что бы увеличение числа групп, для более точного описания линия регрессии, не привело к утрате закономерного характера линии регрессии, из-за малочисленности групп.

Границы интервалов групп определяют, выделяя основные типы изучаемых явлений. При расчете величин интервалов возможно использование следующей формулы предложенной американским ученым Стерджессом.

(18)

где:

– максимальное значение признака в совокупности

– минимальное значение признака в совокупности

N – число единиц в совокупности.

При разбиении изучаемой совокупности рекомендуется соблюдение принципа равных частот, т.е. образование групп с примерно одинаковой численностью единиц.

Оценка линии регрессии

Оценка линии регрессии в данном случае основывается на вычислении среднего значения признака для интервала значений признака .

В качестве группировочного признака, как правило, используется факторный признак.

Показатель, характеризующий влияние факторного признака на результативный признак называется показателем силы связи , который показывает, на сколько единиц изменится результативный признак, если факторный увеличится на одну единицу.

Если связь между признаками нелинейная, то есть, существенно изменяется при переходе от одной группе к другой, рассчитывается как:

(19)

Так, например, если совокупность разбита на четыре группы, рассчитывают

1) ; 2) ; 3)

где:

– средне-групповые значения результативного признака.

– средние значения (или середины интервалов) факторного признака.

Для группировочного признака, среднюю величину находят как середину интервала.

В случае линейной связи важным показателем является показатель среднейсилы связи .

(20)

где:

– средние значения результативного признака в последней и первой группах соответственно;

– середины интервалов (или средние значения) факторного признака в последней и первой группах.

Измерение тесноты связи

Измерение тесноты связи в аналитических группировках основано на правиле сложения дисперсий – общая дисперсия всегда равна сумме средней внутригрупповой и межгрупповой дисперсий:

(21)

где:

– общая дисперсия, характеризует вариацию признака во всей совокупности, сложившуюся под влиянием всех факторов и условий:

или (22)

где – общая средняя.

 

– средняя внутригрупповая дисперсия, оценивает вариацию признака, сложившуюся по влиянием других, неучтенных в данном исследовании факторов и независящую от фактора группировки. Она определяется как средняя из групповых дисперсий:

или (23)

– внутригрупповая (случайная) дисперсия,

или (24)

где – групповая средняя.

 

– межгрупповая (систематическая) дисперсия, измеряет систематическую вариацию, обусловленную влиянием фактора, по которому произведена группировка:

(25)

 

Показателем тесноты связи между признаками в аналитической группировке служит корреляционное отношение:

(26)

Корреляционное отношение может принимать значения от 0 до 1. Принято считать, что до 0,3 связь слабая, от 0,3 до 0,7 связь средняя, свыше 0,7 связь сильная. Чем больше корреляционное отношение, тем больше фактор, положенный в основание группировки, оказывает влияние на общую вариацию результативного признака, то есть они более тесно взаимосвязаны.

Квадрат корреляционного отношения – коэффициент детерминации:

(27)

Показывает долю вариации результативного признака обусловленную включенным в модель фактором.

 

Пример 4. В таблице 9 приведены значения факторного признака – затраты на рекламу млн.руб. и результативного признака – прибыль млн. руб. и число предприятий в каждой группе .

Таблица 9.

Затраты на рекламу в месяц млн.руб.	Число предприятий,	Средняя прибыль за месяц млн. руб.
0,08-0,12		23,56
0,12-0,16		25,20
0,16-0,20		29,80
0,20-0,24		36,50

Необходимо рассчитать показатели силы связи.

Решение.

Рассчитаем среднее значение фактора как середину интервала, и изменение средней прибыли при переходе от одной группы к другой . Результаты занесем в таблицу 10.

Таблица 10

Затраты на рекламу в месяц млн.руб.	Число предприятий,	Средняя прибыль за месяц млн.руб.	Середина интервала млн.руб.	Изменение средней прибыли млн.руб.
0,08-0,12		23,56	0,10	-
0,12-0,16		25,20	0,14	1,64
0,16-0,20		29,80	0,18	4,60
0,20-0,24		36,50	0,22	6,70

 

Изменение средней прибыли имеет существенные отличия при переходе от одной группы к другой, соответственно связь меду признаками нелинейная. Необходимо рассчитывать несколько показателей силы связи характеризующих взаимосвязи при переходе от одной группы к другой.

1) ;

Это значит, что при увеличении затрат на рекламу от 0,08 до 0,16 млн. руб. средняя прибыль будет увеличиваться в среднем на 41 руб. на каждый дополнительно потраченный на рекламу рубль.

2) ;

Это значит, что при увеличении затрат на рекламу от 0,16 до 0,20 млн. руб. средняя прибыль будет увеличиваться в среднем на 115 руб. на каждый дополнительно потраченный на рекламу рубль.

3) .

Это значит, что при увеличении затрат на рекламу от 0,20 до 0,24 млн. руб. средняя прибыль будет увеличиваться в среднем на 167,5 руб. на каждый дополнительно потраченный на рекламу рубль.

Различия между показателями силы связи обусловлены тем, что сила влияния затрат на прибыль не постоянна, она возрастает при переходе от одной группы к другой.

Пример 5. По данным табл. 10 необходимо рассчитать показатели силы связи.

Таблица 11

Затраты на рекламу в месяц млн.руб.	Число предприятий,	Средняя прибыль за месяц млн.руб.	Середина интервала млн.руб.	Изменение средней прибыли млн.руб.
0,08-0,12		23,56	0,10	-
0,12-0,16		25,20	0,14	1,64
0,16-0,20		26,86	0,18	1,66
0,20-0,24		28,51	0,22	1,65

Решение.

Изменения отличаются не существенно, то есть связь между признаками линейная, рассчитаем показатель средней силы связи.

.

Это значит, что для всей совокупности, увеличение затрат на рекламу в среднем увеличит среднюю прибыль на 41,25 руб. на каждый дополнительно затраченный рубль.

 

Пример 6. Имеются данные о средней прибыли на отдельных торговых точках и профессиональном разряде продавцов (табл. 11)

Таблица 12

Разряд	Средняя прибыль тыс.руб.	Число точек.		Разряд	Средняя прибыль тыс.руб.	Число точек.
I			I
I			I
II			II
II			II
II			II
I			II

 

1. Рассчитаем общую дисперсию выборки (табл. 13):

Таблица 13

№	Средняя прибыль тыс.руб.	Число точек.
			-8,673077	75,222265	376,111323
			-0,673077	0,453033	3,171229
			-1,673077	2,799187	11,196747
			6,326923	40,029955	120,089864
			2,326923	5,414571	27,072853
			1,326923	1,760725	8,803623
			-3,673077	13,491495	40,474484
			-0,673077	0,453033	1,812131
			5,326923	28,376109	141,880543
			-1,673077	2,799187	11,196747
			3,326923	11,068417	33,205250
			0,326923	0,106879	0,427515
Итого					775,44231
Среднее	68,673077				14,912352

 

2. Рассчитаем дисперсию для каждой группы:

Таблица 14

№	Средняя прибыль тыс.руб.	Число точек.
			-6,375000	40,640625	203,203125
			1,625000	2,640625	18,484375
			3,625000	13,140625	65,703125
			-1,375000	1,890625	5,671875
			1,625000	2,640625	10,562500
Итого					303,625000
Среднее	66,375				12,651042

а) Группа с разрядом – I (табл. 14)

 

Таблица 15.

№	Средняя прибыль тыс.руб.	Число точек.
			-3,642567	13,268294	53,073177
			4,357433	18,987222	56,961667
			0,357433	0,1277583	0,6387917
			3,357433	11,272356	56,361782
			-3,642567	13,268294	53,073177
			1,357433	1,8426243	5,527873
			-1,642567	2,6980263	10,792105
Итого					236,42857
Среднее	70,642567				8,4438776

б) Группа с разрядом равным II (табл. 15)

.

3. Рассчитаем среднюю внутригрупповую дисперсию:

.

 

4. Найдем межгрупповую дисперсию.

 

Проверим через правило сложения дисперсий

5. Рассчитаем корреляционное отношение:

.

То есть, фактор, положенный в основу группировки (разряд) оказывает среднее влияние на результат (среднюю прибыль).

6. Рассчитаем детерминационное отношение

То есть вариация результативного признака на % обусловлена влиянием фактора – разряд продавца.

Контрольные вопросы

1. Какая связь называется функциональной?

2. Что является обратной стороной функциональной связи?

3. Какая связь называется корреляционной?

4. Увеличивается или уменьшается величина результативного признака с увеличением факторного признака, в случае прямой связи?

5. Увеличивается или уменьшается величина результативного признака с увеличением факторного признака, в случае обратной связи?

6. Какие методы исследования используют при изучении взаимосвязей общественных явлений?

7. Какие задачи позволяет решить изучение взаимосвязей?

8. Приведите формулу расчета коэффициента Фехнера.

9. Приведите формулу расчета коэффициента корреляции рангов Спирмена.

10. Какие показатели относятся к «тетрахорическим показателям».

11. Приведите формулу расчета коэффициента ассоциации Пирсона.

12. Приведите формулу расчета коэффициента коллигации Юла и Кендела.

13. Приведите формулу расчета коэффициента взаимной сопряженности Крамера и Чупрова.

14. Приведите формулу расчета величины интервала Стерджесса.

15. Если связь между признаками нелинейная, какой показатель характеризует силу связи при использовании метода аналитических группировок? Приведите формулу.

16. Если связь между признаками линейная, какой показатель характеризует силу связи при использовании метода аналитических группировок? Приведите формулу.

17. Сформулируйте правило сложения дисперсий.

18. Что служит показателем тесноты связи между признаками в аналитической группировке?

19. Приведите формулу расчета корреляционного отношения.

20. В каком интервале может принимать значение корреляционное отношение?

21. Приведите формулу расчета коэффициента детерминации.

22. В каком интервале может принимать значение коэффициент детерминации?

Вопросы к тестам

1. Результативный признак это:

а) признак, оказывающий влияние на размер изучаемого явления;

б) признак, характеризующий следствие влияния других признаков;

в) любой количественный признак не связанный с изучаемым явлением.

 

2. Факторный признак это:

а) признак, оказывающий влияние на размер изучаемого явления;

б) признак, характеризующий следствие влияния других признаков;

в) любой количественный признак не связанный с изучаемым явлением.

 

3. При функциональной связи каждому конкретному значению факторного признака может соответствовать:

а) только одно значение результативного признака;

б) множество значений результативного признака;

в) значение результативного признака равно значению факторного признака.

 

4. Функциональная связь это связь, которая равна:

а) от -1 до +1;

б) от 0 до +1;

в) 1.

 

5. При корреляционной связи каждому конкретному значению факторного признака может соответствовать:

а) только одно значение результативного признака;

б) множество значений результативного признака;

в) значение результативного признака равно значению факторного признака.

 

6. Корреляционная связь, это связь, которая равна:

а) от -1 до +1;

б) от 0 до +1;

в) не равна 0 или 1.

 

7. Коэффициент Фехнера рассчитывается как:

а) ;

б) ;

в) .

 

8. Коэффициент Фехнера, используемы для определения тесноты связи, может принимать значения:

а) от до ;

б) от до ;

в) от до .

 

9. Коэффициент корреляции рангов Спирмена рассчитывается как:

а) ;

б) ;

в) .

 

10. Расчет «тетрахорических показателей» основан на:

а) разности тетрахор результативного признака;

б) суме тетрахор результативного признака;

в) использовании определенной расчетной таблицы.

 

11. Коэффициент ассоциации Пирсона рассчитывается как:

а) ;

б) ;

в) .

 

 

12. Коэффициент коллигации Юла рассчитывается как:

а) ;

б) ;

в) .

 

13. Коэффициент взаимной сопряженности Пирсона рассчитывается как:

а) ;

б) ;

в) .

 

14. Коэффициент взаимной сопряженности Крамера рассчитывается как:

а) ;

б) ;

в) .

 

15. Коэффициент взаимной сопряженности Чупрова рассчитывается как:

а) ;

б) ;

в) .

 

 

16. Границы интервалов групп определяют с помощью формулы:

а) ;

б) ;

в) .

 

17. Показатель силы связи показывает:

а) на сколько процентов изменится результативный признак, если факторный увеличится на одну единицу;

б) на сколько единиц, изменится результативный признак, если факторный увеличится на один процент;

в) на сколько единиц, изменится результативный признак, если факторный увеличится на одну единицу.

 

18. В случае нелинейной связи между признаками показатель силы связи рассчитывается как:

а) ;

б) ;

в) .

 

19. Показатель силы связи в случае линейной взаимосвязи рассчитывается:

а) показатель средней силы связи;

б) показатель линейной разницы;

в) показатель регрессивной связи.

 

20. Формула расчета показателя средней силы связи имеет вид:

а) ;

б) ;

в) .

21. Показателем тесноты связи между признаками в аналитической группировки служит:

а) функциональное отношение;

б) корреляционное отношения;

в) отношение разности дисперсий.

 

22. Формула расчета корреляционного отношения имеет вид:

а) ;

б) ;

в) ;

 

23. Корреляционное отношение может принимать значения в интервале:

а) от -1 до +1;

б) от -∞ до +∞;

в) от 0 до +1.

 

24. Формула расчета коэффициент детерминации аналитических групировок имеет вид:

а) ;

б) ;

в) ;

Ключ к тестовым вопросам

б	а	а	в	б	в
в	а	в	в	в	б
а	в	б	в	в	б
а	в	б	а	в	а

Задачи

Задача 1. По совокупности, из 27 предприятий, имеются данные о фондовооруженности и производительности труда (табл. 16)

Таблица 16

Вариант 1	Вариант 2	Вариант 3	Вариант 4	Вариант 5
№			№			№			№			№
	10,0	2,0		5,2	3,0		10,0	2,0		6,0	10,0		13,2	10,0
	10,5	4,0		5,3	5,0		10,6	4,0		6,5	8,0		13,3	8,0
	10,5	3,0		5,6	3,0		10,8	3,0		6,8	9,0		13,6	9,0
	10,7	5,0		5,9	3,0		11,0	5,0		7,0	8,0		13,8	8,0
	11,0	2,0		6,0	6,0		11,1	2,0		7,2	11,0		14,1	11,0
	11,2	3,0		6,3	5,0		11,4	3,0		7,6	11,0		14,6	11,0
	11,6	4,0		6,4	5,0		11,6	4,0		7,8	12,0		14,9	12,0
	11,9	4,0		6,8	6,0		12,0	4,0		7,9	10,0		15,0	10,0
	12,0	6,0		7,0	8,0		12,3	6,0		8,0	12,0		15,1	12,0
	12,6	9,0		7,6	9,0		12,6	9,0		8,1	14,0		15,6	14,0
	12,8	8,0		7,9	10,0		12,9	8,0		8,5	14,0		15,9	14,0
	12,9	7,0		8,0	8,0		13,2	7,0		8,6	15,0		16,5	15,0
	13,2	9,0		8,3	9,0		13,6	9,0		8,9	16,0		16,9	16,0
	13,3	10,0		8,6	8,0		13,8	8,0		9,1	16,0		17,3	16,0
	13,6	12,0		8,7	11,0		13,9	11,0		9,8	18,0		17,8	14,0
	13,8	11,0		9,3	11,0		14,0	11,0		9,9	19,0		18,0	15,0
	14,1	12,0		9,8	12,0		14,6	12,0		10,0	20,0		18,3	15,0
	14,6	13,0		9,9	10,0		14,8	10,0		10,3	20,0		18,9	17,0
	14,9	13,0		10,0	12,0		14,9	12,0		10,5	19,0		19,0	19,0
	15,0	15,0		10,6	14,0		15,1	14,0		10,9	18,0		19,2	17,0
	15,1	19,0		10,8	14,0		15,3	14,0		11,0	20,0		19,5	17,0

 

Продолжение таблицы 16

	15,6	16,0		11,0	15,0		15,6	15,0		11,3	23,0		19,9	18,0
	15,9	16,0		11,1	16,0		15,8	16,0		11,5	21,0		20,0	19,0
	16,5	17,0		11,4	16,0		15,9	16,0		11,8	23,0		20,5	20,0
	16,9	18,0		11,6	18,0		16,0	18,0		11,9	23,0		20,6	20,0
	17,3	19,0		12,0	19,0		16,2	19,0		12,0	24,0		20,8	21,0
	17,8	20,0		12,3	20,0		16,3	20,0		12,6	26,0		21,0	21,0
Вариант 6	Вариант 7	Вариант 8	Вариант 9	Вариант 10
№			№			№			№			№
	5,2	2,0		5,2	10,0		6,0	2,0		10,0	6,0		10,0	10,0
	5,3	4,0		5,3	10,0		6,5	3,0		10,0	6,5		10,0	10,0
	5,6	3,0		5,6	12,0		6,8	2,0		12,0	6,8		12,0	12,0
	5,9	5,0		5,9	14,0		7,0	2,0		14,0	7,0		14,0	14,0
	6,0	2,0		6,0	14,0		7,2	3,0		14,0	7,2		14,0	14,0
	6,3	3,0		6,3	15,0		7,6	3,0		15,0	7,6		15,0	15,0
	6,4	4,0		6,4	16,0		7,8	4,0		16,0	7,8		16,0	16,0
	6,8	4,0		6,8	16,0		7,9	5,0		16,0	7,9		16,2	16,0
	7,0	6,0		7,0	14,0		8,0	4,0		14,0	8,0		16,6	14,0
	7,6	9,0		7,6	15,0		8,1	4,0		16,2	9,0		16,9	15,0
	7,9	8,0		7,9	15,0		8,5	6,0		16,5	8,0		17,0	15,0
	8,0	7,0		8,0	17,0		8,6	7,0		16,6	7,0		17,2	17,0
	8,3	9,0		8,3	19,0		8,9	8,0		16,9	9,0		17,8	19,0
	8,6	10,0		8,6	17,0		9,3	9,0		17,0	10,0		17,9	17,0
	8,7	10,0		8,7	18,0		9,8	7,0		17,1	10,0		18,0
	9,3	12,0		9,3	19,0		9,9	8,0		17,2	12,0		18,1
	9,8	14,0		9,8	20,0		10,0	9,0		17,6	14,0		18,4
	9,9	14,0		9,9	20,0		10,0	10,0		17,9	14,0		18,6
	10,0	15,0		10,0	21,0		12,0	11,0		18,0	15,0		19,3
	10,6	16,0		10,0	19,0		14,0	10,0		18,3	16,0		19,4

 

 

Окончание таблицы 16

	10,8	16,0		12,0	20,0		14,0	12,0		18,7	16,0		19,6
	11,0	14,0		14,0	21,0		15,0	11,0		19,0	14,0		19,9
	11,1	15,0		14,0	22,0		16,0	11,0		19,1	15,0		20,1
	11,4	15,0		15,0	25,0		16,2	12,0		19,2	15,0		20,3
	11,6	17,0		16,0	22,0		16,6	13,0		19,6	17,0		20,5
	12,0	19,0		16,0	25,0		16,9	13,0		19,8	19,0		20,8
	12,3	17,0		14,0	27,0		17,0	14,0		20,0	17,0		21,0

Необходимо определить направление и тесноту связи с помощью коэффициента Фехнера и коэффициента корреляции рангов. Выводы.

 

Задача 2. Имеются данные об уровне средней прибыли и уровне затрат на маркетинговые исследования на отдельных торговых точках (табл. 17).

Таблица 17

Вариант 1

Вариант 2

Вариант 3

Прибыль

Маркетинговые исследования

Прибыль

Маркетинговые исследования

Прибыль

Маркетинговые исследования

Низкий

Средний

Высокий

Итого

Низкий

Средний

Высокий

Итого

Низкий

Средний

Высокий

Итого

Низкая

Низкая

Низкая

Средняя

Средняя

Средняя

Высокая

Высокая

Высокая

Итого

Итого

Итого

Вариант 4

Вариант 5

Вариант 6

Прибыль

Маркетинговые исследования

Прибыль

Маркетинговые исследования

Прибыль

Маркетинговые исследования

Низкий

Средний

Высокий

Итого

Низкий

Средний

Высокий

Итого

Низкий

Средний

Высокий

Итого

Низкая

Низкая

Низкая

Средняя

Средняя

Средняя

Высокая

Высокая

Высокая

Итого

Итого

Итого

 

Окончание таблицы 17

Вариант 7	Вариант 8	Вариант 9
Прибыль	Маркетинговые исследования	Прибыль	Маркетинговые исследования	Прибыль	Маркетинговые исследования
Низкий	Средний	Высокий	Итого	Низкий	Средний	Высокий	Итого	Низкий	Средний	Высокий