Линеаризация полиномов разных степеней 


Мы поможем в написании ваших работ!



ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?

Линеаризация полиномов разных степеней



Проводится следующим образом.

В параболе второй степени,

(61)

заменяя переменные , получим двухфакторное линейное уравнение регрессии:

(62)

В параболе третьей степени,

(64)

заменяя переменные , получим трехфакторное линейное уравнение регрессии:

(65)

Аналогичным образом поступим с полиномами более высоких порядков.

Из полиномов наибольшее распространение получила парабола второго порядка.

МНК для оценки параметров функция регрессии по линеаризованной параболе второго порядка дает следующую систему уравнений:

(66)

Пример 11. Имеются данные о средней прибыли (млн. руб.) и затратах на рекламу (млн. руб.) за декаду, по выборке, равной 15-ти предприятиям сферы торговли. Рассчитать функцию регрессии параболы второго порядка

Таблица 27

  37,8 0,3
  38,0 0,5
  39,0 0,7
  37,5 0,8
  39,5 0,9
  36,8 1,1
  40,0 1,3
  40,1 1,6
  40,0 1,7
  39,0 2,2
  38,0 2,5
  41,0 2,6
  41,6 2,7
  41,0 3,0
  41,9 3,2

Решение. МНК для расчета параметров параболы второго порядка дает систему уравнений:

В таблице 28 рассчитаем все возможные значения:

Таблица 28

  37,80 0,30 0,09 0,027 0,0081 11,34 3,402 38,023560
  38,00 0,50 0,25 0,125 0,0625 19,00 9,500 38,158005
  39,00 0,70 0,49 0,343 0,2401 27,30 19,110 38,307508
  37,50 0,80 0,64 0,512 0,4096 30,00 24,000 38,387907
  39,50 0,90 0,81 0,729 0,6561 35,55 31,995 38,472071
  36,80 1,10 1,21 1,331 1,4641 40,48 44,528 38,651694
  40,00 1,30 1,69 2,197 2,8561 52,00 67,600 38,846375
  40,10 1,60 2,56 4,096 6,5536 64,16 102,656 39,166634
  40,00 1,70 2,89 4,913 8,3521 68,00 115,600 39,280917
  39,00 2,20 4,84 10,648 23,4256 85,80 188,760 39,908803
  38,00 2,50 6,25 15,625 39,0625 95,00 237,500 40,330713
  41,00 2,60 6,76 17,576 45,6976 106,60 277,160 40,478879
  41,60 2,70 7,29 19,683 53,1441 112,32 303,264 40,630810
  41,00 3,00 9,00 27,000 81,0000 123,00 369,000 41,109192
  41,90 3,20 10,24 32,768 104,8576 134,08 429,056 41,446938
Итого 591,20 25,10 55,01 137,573 367,7897 1004,63 2223,131 591,200005

 

Подставим эти значения в систему уравнений.

Разделим каждое из уравнений системы на число при , первое на 15, второе на 25,01 и третье на 55,01.

Далее вычтем из 5-го уравнения 4-е, и из 6-го уравнения 5-е. система примет вид:

Разделим каждое уравнение на число при , 7-е на 0,5183, а 8-е на 0,30924

Вычтем из 10-го уравнения 9-е

Значение параметра

Подставим значение параметра в уравнение (9) и найдем значение параметра

Подставим значение параметров в уравнение (1) и найдем значение параметра

Подставим параметры в уравнение

Подставляя в полученное уравнение и рассчитаем теоретические значения , занесем их в последний столбик таблицы.

 

Линеаризация равносторонней гиперболы

(67)

проводят, заменяя на , в результате получим уравнение линейной регрессии:

(68)

МНК для оценки параметров функция регрессии по линеаризованной равносторонней гиперболе дает следующую систему уравнений:

(69)

Также можно использовать уравнения:

(70)

(71)

Пример 12. Имеются данные о средней прибыли (млн. руб.) и затратах на рекламу (млн. руб.) за декаду, по выборке, равной 15-ти предприятиям сферы торговли. Рассчитать функцию регрессии равносторонней гиперболы

Таблица 29

  37,8 0,3
  38,0 0,5
  39,0 0,7
  37,5 0,8
  39,5 0,9
  36,8 1,1
  40,0 1,3
  40,1 1,6
  40,0 1,7
  39,0 2,2
  38,0 2,5
  41,0 2,6
  41,6 2,7
  41,0 3,0
  41,9 3,2

 

МНК для оценки параметров функция регрессии по линеаризованной равносторонней гиперболе дает следующую систему уравнений:

В таблице 30 рассчитаем все возможные значения:

Таблица 30

  37,80 0,30 3,333333 126,000000 11,111111 36,808395
  38,00 0,50 2,000000 76,000000 4,000000 38,266516
  39,00 0,70 1,428571 55,714286 2,040816 38,891425
  37,50 0,80 1,250000 46,875000 1,562500 39,086709
  39,50 0,90 1,111111 43,888889 1,234568 39,238597
  36,80 1,10 0,909091 33,454545 0,826446 39,459524
  40,00 1,30 0,769231 30,769231 0,591716 39,612474
  40,10 1,60 0,625000 25,062500 0,390625 39,770204
  40,00 1,70 0,588235 23,529412 0,346021 39,810409
  39,00 2,20 0,454545 17,727273 0,206612 39,956611
  38,00 2,50 0,400000 15,200000 0,160000 40,016262
  41,00 2,60 0,384615 15,769231 0,147929 40,033086
  41,60 2,70 0,370370 15,407407 0,137174 40,048664
  41,00 3,00 0,333333 13,666667 0,111111 40,089168
  41,90 3,20 0,312500 13,093750 0,097656 40,111951
Итого 591,20 25,10 14,269937 552,158190 22,964285 591,199995

Подставим полученные значения в систему уравнений

Разделим первое уравнение на 15, а второе на 14,269937

Вычтем из второго уравнения первое

Подставим значение параметра в первое уравнение и рассчитаем параметр

Уравнение регрессии примет вид

Подставляя в полученное уравнение регрессии значение , рассчитаем .

 



Поделиться:


Последнее изменение этой страницы: 2016-12-29; просмотров: 1331; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы!

infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 54.242.165.255 (0.017 с.)