Двухшаговый метод наименьших квадратов (ДМНК)

Параметры сверхидентифицированного уравнения нельзя определять ни МНК ни КМНК, что связанно с наличием в данных уравнениях в качестве фактора эндогенной переменной .

При оценке сверхидентифицированного уравнения применяется ДМНК.

Смысл ДМНК заключается в замене в уравнении регрессии переменной инструментальной переменной .

Инструментальная переменная это переменная, которая обладает следующими свойствами:

· находится в тесной связи с переменной

· не взаимосвязана со случайной составляющей.

При замене переменной инструментальной переменной к преобразованному уравнению можно применять классический МНК.

ДМНК включает следующие шаги:

1. Составление приведенной формы модели.

2. Получение значений приведенных параметров, применяя классический МНК к каждому уравнению приведенной системы.

3. Расчет эндогенных переменных, являющимися факторами в структурной форме модели.

4. Расчет структурных параметров каждого уравнения использую классический МНК, подставляя в качестве факторов входящие в это уравнение предопределенные переменные и расчетные значения эндогенных переменных, полученных при шаге 1.

Данный метод называется двушаговым, так как МНК используется два раза:

1. На первом шаге при определении приведенной формы модели и нахождении на ее основе эндогенной переменной.

2. На втором шаге МНК применяется к структурному сверхидентифицируемому уравнению для расчета структурных коэффициентов модели по расчетным значениям эндогенных переменных.

Применение ДМНК рассмотрим на примере.

Пример 25. Имеем следующую модель спроса и предложения.

(204)

где

1. Первое уравнение - функция предложения.

2. Второе уравнение - функция спроса.

3.Определяемыми внутри модели переменными являются эндогенные взаимозависимые переменные:

· – цена

· – количество товара.

4. Предопределенными переменными являются:

· – доход – экзогенная переменная

· – благосостояние потребителей - экзогенная переменная

· – цена в предыдущий период времени – лаговая эндогенная переменная

5. и – структурные параметры модели.

6. и – случайные переменные.

За ряд лет имеются данные таблица 51.

Таблица 51

						7,8674
						6,6092
						10,1575
						7,8737
						8,7245
						8,7692

 

В данном случае функция предложения является сверхидентифицированной, и применение МНК будет являться нарушением предпосылок применения данного метода (это связанно с наличием, в качестве фактора, эндогенной переменной ).

Для расчета применим ДМНК.

 

Шаг.

Составим приведенную форму модели:

(205)

Из второго уравнения найдем значения инструментальной переменной

(206)

Теперь второе уравнение системы можно записать как

(207)

где:

· – является линейной комбинацией трех предопределенных переменных .

· – случайная составляющая, не коррелирует с

Заменим в первом уравнении (сверхидентифицированная функция предложения) , получим:

(208)

или

(209)

где: (210)

В данном уравнении переменная является инструментальной переменной, так как обладает ее свойствами, а именно:

· находится в тесной связи с переменной

· не взаимосвязана со случайной составляющей .

Шаг.

Используя классический МНК определим параметры приведенной модели:

Шаг.

Используя второе уравнение приведенной модели, рассчитаем значения , подставляя в него значения , результат занесем в таблицу 33.

Шаг.

Использую МНК рассчитаем структурные параметры функции предложения

Таким образом, мы получили первое уравнение системы - сверхидентифицированную функцию предложения:

Второе уравнение системы (функция спроса) является точно идентифицированной, поэтому для расчета эго параметров используем КМНК.

Из второго уравнения приведенной системы

выразим переменную .

Полученное выражение подставим в первое уравнение приведенной модели

Получили второе уравнение системы (функция спроса) структурной модели.

Итак, структурная форма модели имеет вид:

 

 

Контрольные вопросы

1. Назовите системы уравнений применяемые в эконометрике.

2. Что такое система независимых уравнений?

3. Приведите систему для трех независимых переменных и четырех факторов.

4. Что такое система рекурсивных уравнений?

5. Приведите общую систему рекурсивных уравнений.

6. Что такое система взаимосвязанных уравнений?

7. Что такое структурная система уравнений?

8. Что такое приведенная система уравнений?

9. Какие переменные называются эндогенными?

10. какие переменные называются экзогенными?

11. Что такое идентифицируемая модель?

12. Что такое идентифицируемое уравнение?

13. Что такое неидентифицируемая модель?

14. Что такое неидентифицируемое уравнение?

15. Что такое сверхидентифицируемая модель?

16. Что такое сверхидентифицируемое уравнение?

17. Приведите необходимое условие идентификации модели.

18. Приведите достаточное условие идентификации модели.

19. Что такое ранг матрицы?

20. Какими способами можно оценить параметры структурной модели?

21. Для какой структурной модели применяется КМНК?

22. Какие шаги включает в себя КМНК?

23. Для какого уравнения структурной модели применяют ДМНК?

24. Что такое инструментальная переменная?

25. Какие шаги включает в себя ДМНК?

 

Вопросы к тестам

1. Система независимых уравнений - это система, где:

а) каждая зависимая переменная рассматривается как функция только от предопределенных зависимых переменных ;

б) каждая независимая переменная рассматривается как функция только от предопределенных независимых переменных ;

в) каждая зависимая переменная рассматривается как функция только от предопределенных независимых переменных .

 

2. Каждое уравнение системы:

а) может быть рассмотрено отдельно;

б) не может быть рассмотрено отдельно;

в) может быть рассмотрено отдельно, если система уравнений состоит из одного уравнения.

 

3. Метод наименьших квадратов используется для:

а) расчета параметров уравнений системы;

б) для определения вида связи в уравнениях системы;

в) для исключения уравнений из системы уравнений.

 

4. Система рекурсивных уравнений - это система, в которой:

а) каждая зависимая переменная рассматривается как функция только от предопределенных зависимых переменных ;

б) одни и те же зависимые переменные в одних уравнениях входят в левую часть, а в других уравнениях входят в правую часть системы;

в) в каждом последующем уравнении зависимая переменная представляет функцию от всех зависимых и преопределенных переменных предшествующих уравнений.

 

5. Система взаимозависимых уравнений - это система, в которой:

а) каждая зависимая переменная рассматривается как функция только от предопределенных зависимых переменных ;

б) одни и те же зависимые переменные в одних уравнениях входят в левую часть, а в других уравнениях входят в правую часть системы;

в) в каждом последующем уравнении зависимая переменная представляет функцию от всех зависимых и преопределенных переменных предшествующих уравнений.

6. Структурные системы уравнений:

а) описывают такие процессы и явления экономики, которые, в силу своей сложности, невозможно описать с помощью независимых или рекурсивных уравнений;

б) описывают такие реальные процессы и явления экономики, которые определяют с помощью независимых или рекурсивных уравнений;

в) описывают такие реальные процессы и явления экономики, которые определяют с только с помощью независимых или рекурсивных уравнений.

 

7. Эндогенные переменные, это:

а) предопределенные переменные, формируют свое значение внутри системы, оказывают влияние на эндогенные переменные, но не зависят от них;

б) зависимые переменные, число которых равно числу уравнений в системе, формируют свое значение внутри модели;

в) зависимые и независимые переменные, число которых равно числу уравнений в системе, формируют свое значение внутри модели.

 

8. Экзогенные переменные:

а) зависимые и независимые переменные, число которых равно числу уравнений в системе, формируют свое значение внутри модели;

б) зависимые переменные, число которых равно числу уравнений в системе, формируют свое значение внутри модели;

в) предопределенные переменные, формируют свое значение внутри системы, оказывают влияние на эндогенные переменные, но не зависят от них.

 

9. Приведенная форма модели это:

а) система независимых уравнений, в которой все текущие экзогенные переменные выражены через эндогенные переменные;

б) система независимых уравнений, в которой все текущие эндогенные переменные выражены через экзогенные переменные;

в) система зависимых уравнений, в которой все текущие экзогенные переменные выражены через эндогенные переменные.

 

10. Идентифицируемая модель – модель:

а) в которую входит хотя бы одно неидентифицируемое уравнение;

б) все уравнения которой точно идентифицируемые;

в) среди уравнений которой есть хотя бы одно сверхидентифицируемое уравнение.

 

11. Неидентифицируемая модель – модель:

а) в которую входит хотя бы одно неидентифицируемое уравнение;

б) все уравнения которой точно идентифицируемые;

в) среди уравнений которой есть хотя бы одно сверхидентифицируемое уравнение.

 

12. Сверхидентифицируемая модель – модель:

а) в которую входит хотя бы одно неидентифицируемое уравнение;

б) все уравнения которой точно идентифицируемые;

в) среди уравнений которой есть хотя бы одно сверхидентифицируемое уравнение.

 

13. Идентифицированное уравнение – уравнение:

а) для некоторых структурных параметров которого, можно получить более одного численного значения;

б) оценки структурных коэффициентов которого, невозможно определить по коэффициентам приведенной модели;

в) оценки структурных коэффициентов которого, можно однозначно (единственным способом) определить по коэффициентам приведенной модели.

 

14. Неидентифицируемое уравнение – уравнение:

а) для некоторых структурных параметров которого, можно получить более одного численного значения;

б) оценки структурных коэффициентов которого, невозможно определить по коэффициентам приведенной модели;

в) оценки структурных коэффициентов которого, можно однозначно (единственным способом) определить по коэффициентам приведенной модели.

 

15. Сверхидентифицируемое уравнение – уравнение:

а) для некоторых структурных параметров которого, можно получить более одного численного значения;

б) оценки структурных коэффициентов которого, невозможно определить по коэффициентам приведенной модели;

в) оценки структурных коэффициентов которого, можно однозначно (единственным способом) определить по коэффициентам приведенной модели.

 

16. Если , то уравнение:

а) точно идентифицируемо, система имеет статистическое решение;

б) неидентифицируемо, система не имеет статистического решения;

в) сверхидентифицируемо, система имеет статистическое решение.

где

– число предопределенных переменных в модели.

– число предопределенных переменных в данном уравнении.

– число эндогенных переменных в данном уравнении.

 

17. Если , то уравнение:

а) точно идентифицируемо, система имеет статистическое решение;

б) неидентифицируемо, система не имеет статистического решения;

в) сверхидентифицируемо, система имеет статистическое решение.

где

– число предопределенных переменных в модели.

– число предопределенных переменных в данном уравнении.

– число эндогенных переменных в данном уравнении.

 

18. Если , то уравнение:

а) точно идентифицируемо, система имеет статистическое решение;

б) неидентифицируемо, система не имеет статистического решения;

в) сверхидентифицируемо, система имеет статистическое решение.

где

– число предопределенных переменных в модели.

– число предопределенных переменных в данном уравнении.

– число эндогенных переменных в данном уравнении.

 

19. Необходимое условие идентификации:

а) уравнение модели может быть идентифицируемо, если число предопределенных переменных, не входящих в уравнение, было не меньше «числа эндогенных переменных, входящих в уравнение минус единица», ;

б) уравнение будет идентифицируемо, если ранг матрицы (состоящей из коэффициентов при переменных, которые не входят в это уравнение) будет равен , где - число эндогенных переменных в модели;

в) уравнение модели может быть идентифицируемо, если число предопределенных переменных, не входящих в уравнение, было не меньше «числа эндогенных переменных, входящих в уравнение минус единица», .

 

20. Достаточное условие идентификации:

а) уравнение модели может быть идентифицируемо, если число предопределенных переменных, не входящих в уравнение, было не меньше «числа эндогенных переменных, входящих в уравнение минус единица», ;

б) уравнение будет идентифицируемо, если ранг матрицы (состоящей из коэффициентов при переменных, которые не входят в это уравнение) будет равен , где - число эндогенных переменных в модели;

в) уравнение модели может быть идентифицируемо, если число предопределенных переменных, не входящих в уравнение, было не меньше «числа эндогенных переменных, входящих в уравнение минус единица», .

 

21. Ранг матрицы:

а) наибольший минор матрицы (наибольшая квадратная подматрица), определитель которого равен нулю;

б) наибольший мажор матрицы (наибольшая квадратная подматрица), определитель которого не равен нулю;

в) наибольший минор матрицы (наибольшая квадратная подматрица), определитель которого не равен нулю.

 

22. Параметры структурной модели оценивают используя:

а) косвенный метод наименьших квадратов;

б) двухшаговый метод наименьших квадратов;

в) а и б.

 

23. КМНК применяют если структурная модель:

а) неидентифицируема;

б) сверхидентифицируема;

в) точно идентифицируема.

 

24. ДМНК применяют если уравнение:

а) неидентифицируема;

б) сверхидентифицируема;

в) точно идентифицируема.

 

Ключ к тестовым вопросам

в	а	а	в	б	а	б	в	б	б	а	в
в	б	а	а	в	б	а	б	в	в	в	б

 

Задачи

Задача 19. Имеются данные за 7 лет.

Таблица 52

Вариант 1	Вариант 2	Вариант 3	Вариант 4
							0,6	4,0	0,7			0,6	4,3	0,7		92,0	25,9	0,7	29,8
							0,6	3,5	0,6			0,6	3,5	0,6		80,0	24,0	0,6	26,1
							0,5	4,7	0,9			0,5	4,7	1,3		84,0	20,0	0,8	37,6
							0,7	4,8	0,6			0,8	4,8	0,6		96,0	30,2	1,0	26,2
							0,9	6,1	0,7			0,9	6,3	0,7		104,0	35,8	1,0	31,8
							1,0	6,6	0,8			1,0	6,6	0,8		112,0	33,8	1,1	36,2
							0,9	7,0	0,8			0,8	7,0	0,8		116,0	37,8	1,3	36,0
Вариант 5	Вариант 6	Вариант 7	Вариант 8
	7,7	1,2	0,7	1,0		2,6	2,4	2,0	2,0			4,8	5,9	4,0		2,9		0,30
	5,0	0,8	0,6	0,9		1,7	1,6	1,8	1,5			3,3	5,3	1,5		2,5		0,27
	7,1	0,7	0,8	1,4		2,4	1,4	2,3	2,8			2,7	7,0	5,6		2,6		0,36
	9,0	1,0	0,9	0,9		3,2	1,8	2,9	1,8			1,8	2,9	3,6		3,4		0,35
	8,7	1,2	0,9	1,1		2,9	1,5	2,7	1,6			1,5	8,1	1,6		3,3		0,46
	9,4	1,1	1,4	1,2		3,1	2,3	4,2	2,5			4,6	12,6	4,9		3,5		0,50
	11,0	1,8	1,6	1,2		3,7	3,6	4,8	2,4			7,2	14,4	4,9		3,6		0,53
Вариант 9	Вариант 10	Вариант 11	Вариант 12
		4,8	5,9	4,0		2,6		0,30			0,30					92,0
		3,3	5,3	1,5		1,7		0,27			0,27					80,0
		2,7	7,0	5,6		2,4		0,36			0,36					84,0
		1,8	2,9	3,6		3,2		0,35			0,35					96,0
		1,5	8,1	1,6		2,9		0,46			0,46					104,0

 

Окончание таблицы 52

		4,6	12,6	4,9		3,1		0,50			0,50					112,0
		7,2	14,4	4,9		3,7		0,53			0,53					116,0
Вариант 13	Вариант 14	Вариант 15	Вариант 16
		0,6	4,3	0,7			0,6	4,3	0,7			2,4	2,0	2,0		2,9		4,0
		0,6	3,5	0,6			0,6	3,5	0,6			1,6	1,8	1,5		2,5		3,5
		0,5	4,7	0,9			0,5	4,7	0,9			1,4	2,3	2,8		2,6		4,7
		0,7	4,8	0,6			0,7	4,8	0,6			1,8	2,9	1,8		3,4		4,8
		0,9	6,3	0,7			0,9	6,3	0,7			1,5	2,7	1,6		3,3		6,1
		1,0	6,6	0,8			1,0	6,6	0,8			2,3	4,2	2,5		3,5		6,6
		0,9	7,0	0,8			0,9	7,0	0,8			3,6	4,8	2,4		3,6		7,0
Вариант 17	Вариант 18	Вариант 19	Вариант 20
		2,4	0,30	2,0		0,30	2,4	0,30	2,0			0,6		0,7				4,0
		1,6	0,27	1,5		0,27	1,6	0,27	1,5			0,6		0,6				3,5
		1,4	0,36	2,8		0,36	1,4	0,36	2,8			0,5		0,9				4,7
		1,8	0,35	1,8		0,35	1,8	0,35	1,8			0,7		0,6				4,8
		1,5	0,46	1,6		0,46	1,5	0,46	1,6			0,9		0,7				6,1
		2,3	0,50	2,5		0,50	2,3	0,50	2,5			1,0		0,8				6,6
		3,6	0,53	2,4		0,53	3,6	0,53	2,4			0,9		0,8				7,0

 

где:

· – цена

· – количество товара.

· – доход

· – цена в предыдущий период времени

Необходимо используя КМНК оценить параметры модели.

Задача 20. Имеются данные за 7 лет.

Таблица 53