Расчет параметров уравнения множественной регрессии

Параметры множественной регрессии, как и параметры парной регрессии можно определить, используя МНК. Так для расчета параметров уравнения множественной линейной регрессии:

МНК даст систему уравнений:

(122)

Параметры уравнения находим как отношение частных определителей к определителю системы

, , ,…, (123)

где

- определитель системы, находится, как:

(124)

- частные определители системы рассчитывают, заменяя соответствующий столбец матрицы определителя системы данными левой части системы.

Параметр во множественной регрессии называется свободным членом уравнения регрессии и также как в парной регрессии не имеет экономической интерпретации. Параметр - коэффициентом регрессии, он показывает, на сколько единиц, в среднем, изменится результативный признак , если соответствующий данному коэффициенту фактор увеличится на одну единицу при постоянной величине остальных факторов.

Коэффициенты регрессии можно рассчитать и используя уравнения регрессии в стандартизованном виде представив все переменные уравнения как центрированные и нормированные. Для этого выразим их как отношение их отклонений от средних величин на их стандартное отклонение:

(125)

где

- стандартизованные переменные:

(126)

(127)

- стандартизованные коэффициенты регрессии , показывают на сколько, в среднем, среднеквадратических отклонений изменится вариация результативного признака , если вариация соответствующего фактора увеличится на одно среднеквадратическое отклонение, при постоянной величине остальных факторов. Расчет параметров уравнения в стандартизированной форме более прост, так как, по сравнению с уравнением в натуральной форме отсутствует параметр .

МНК для уравнения множественной регрессии в стандартизированном масштабе даст следующую систему уравнений:

(128)

где

- коэффициент парной корреляции (38)

или (39)

Как, и в уравнении в натуральном масштабе параметры стандартизированного уравнения можно найти методом определителей:

(129)

где:

(130)

Определитель получается из определителя , заменой в нем соответствующего столбца столбцом свободных членов исходной системы.

Кроме того, можно рассчитать используя их взаимосвязь с коэффициентами парной линейной корреляции. Так, например, для двухфакторной линейной модели, выраженной в стандартизованном масштабе, рассчитываются, как:

(131)

Определив значение b -коэффициентов и зная, что между b -коэффициентами и коэффициентами регрессии в натуральном масштабе существует следующая взаимосвязь:

или (132)

От уравнения множественной регрессии в стандартизованном виде

(125)

перейдем к уравнению в натуральном масштабе

(116)

параметр , который не рассчитали в стандартизованном уравнении, рассчитаем, как

(133)

Расчет параметров нелинейных уравнений множественной регрессии ведется так же, как и в линейной модели используя МНК. Разница заключается в том, что нелинейные модели вначале линеаризуются, и расчет параметров проводится по преобразованным данным (см. парную регрессию).

Частные уравнения регрессии

Частные уравнения регрессии, рассчитываются на основе множественного уравнения регрессии:

(116)

Они показывают изолированное влияние одного конкретного фактора на результативный признак , при зафиксированном, на среднем уровне, положении остальных, включенных в модель факторов. Влияния зафиксированных факторов в уравнениях частной регрессии присоединены к свободному члену уравнения регрессии .

Частные множественные регрессии записываются, как:

(134)

Обозначение показывает, что изучается влияние на результат , фактора , при зафиксированном на среднем уровне положении факторов . Обозначение показывает, что изучается влияние на результат , фактора , при зафиксированном на среднем уровне положении факторов , и т, д. Знак в нижнем индексе обозначения отделяет фактор влияния, которого исследуется, от факторов, влияние которых изолируется.

Частные уравнения множественной регрессии для линейной модели имеют вид:

(135)

На основе частных уравнений регрессии рассчитывают частные коэффициенты эластичности:

(136)

Частные коэффициенты эластичности отличаются от средних коэффициентов.

Частный коэффициент эластичности показывает, на сколько, в среднем, процентов изменится результат при подстановке в уравнение регрессии конкретного значения .

Средний коэффициент эластичности показывает, на сколько в среднем процентов изменится результат, если соответствующий данному коэффициенту фактор увеличится на 1%, при зафиксированных, на средних уровнях величин остальных, включенных в модель, факторов.

(137)

Пример 20. Имеются данные по 40 хозяйствам о средней урожайности (ц/га), качества почвы (баллов), затратах труда (чел-час./1га.), внесение минеральных удобрений (ц.д.в. на 1га.), стоимость основных фондов (тыс. руб. на 100 га.) (табл. 42).

Таблица 42

№	Урожайность, ц/га	Качество пашни, балов	Затраты труда чел.-час на 1 га	Внесение мин. удобрений на 1 га ц.д.в.	Стоимость ОФ на тыс.руб. 100 га
	10,49		15,45	0,76	18,21	10,048113
	8,57		16,13	1,06	19,17	9,601560
	10,95		17,59	1,06	20,42	11,593826
	9,23		18,84	0,52	20,00	8,633346
	11,97		18,43	0,99	20,37	11,524121
	8,56		12,44	0,67	21,04	8,887059
	12,18		15,50	1,02	20,25	9,800000
	7,93		16,34	0,44	17,68	7,427264
	15,75		17,13	1,22	28,19	14,929855
	13,61		17,10	0,72	22,63	11,502371
	13,99		27,16	1,59	40,16	15,194027
	12,57		14,92	1,23	21,12	13,414848
	10,93		18,17	0,82	26,01	11,506605
	9,86		17,24	0,98	17,99	9,461020
	7,39		14,64	0,41	21,90	7,917362
	9,23		14,70	0,79	20,47	9,804117
	15,40		28,81	1,20	29,01	15,372985
	13,14		21,87	0,99	23,40	13,824023
	13,12		16,88	0,91	25,53	13,217642
	10,27		16,65	0,83	21,18	10,512752
	9,12		16,10	0,81	20,24	9,395289
	13,42		18,02	1,21	20,22	12,140147
	10,29		16,91	0,78	24,89	11,485126
	11,55		14,90	0,86	20,86	11,101097
	15,26		17,64	1,21	28,42	14,808601
	12,35		14,41	1,20	19,73	12,305857
	8,24		12,62	1,07	18,57	8,749497
	10,41		18,13	0,79	21,07	10,573475
	9,62		17,30	0,77	24,46	9,806811
	10,76		17,16	0,82	20,46	10,532588
	8,35		14,65	0,63	22,82	8,842748
	10,31		13,66	0,79	19,89	10,941740
	9,38		12,07	0,73	22,92	9,174913
	14,93		14,38	1,05	33,99	13,502339
	12,46		14,53	1,03	22,95	12,436891
	10,45		16,54	0,92	23,20	10,534678
	12,38		21,64	0,95	21,64	12,955222
	7,74		10,27	0,65	16,87	9,872332
	14,49		19,44	1,05	24,49	14,236792
	8,50		15,05	0,56	17,89	7,582986
Итого	445,15	2657,00	671,41	36,09	900,31	445,152022
Среднее	11,128750	66,425000	16,785250	0,902250	22,507750
	2,305561	12,959335	3,458573	0,240692	4,463267

Необходимо построить уравнение множественной линейной регрессии, рассчитать парные коэффициенты регрессии, частные и средние коэффициенты эластичности, провести прогнозирование урожайности, при различных значениях факторов, то есть рассчитать:

· максимально возможную урожайность,

· минимальную урожайность,

· урожайность для средних значений фактора,

· частные уравнения регрессии, при максимальном значении одного фактора и средних значениях двух других факторов.

Решение.

1) Уравнение множественной линейной регрессии для данного примера имеет вид:

Для решения данного уравнения представим его в стандартизированном масштабе:

где: - стандартизованные переменные:

,

- стандартизованные коэффициенты регрессии

МНК для решения множественного уравнения линейной регрессии в стандартизованном виде дает систему уравнений:

Для нашего примера:

Между стандартизированными переменными и коэффициентами парной корреляции существует следующая взаимосвязь:

2) Рассчитаем коэффициенты парной корреляции. Расчет проведем, используя программу Microsoft, таблица 43.

Таблица 43

	Столбец 1 y	Столбец 2 x1	Столбец 3 x2	Столбец 4 x3	Столбец 5 x4
Столбец 1 y	1,000000
Столбец 2 x1	0,749996	1,000000
Столбец 3 x2	0,545459	0,188222	1,000000
Столбец 4 x3	0,731053	0,474013	0,466501	1,000000
Столбец 5 x4	0,640037	0,223318	0,549570	0,539163	1,000000

 

3) Подставим значения коэффициентов корреляции в систему.

Для решения системы уравнения воспользуемся методом Гаусса.

4). Составим матрицу, в которую внесем все числа (коэффициенты) при переменных , за горизонтальную черту вынесем итог по каждому уравнению:

– матрица 1

5) Далее необходимо привести к нулю первые коэффициенты строк 2,3,4, первая строка остается без изменений – рабочая строка. Для этого:

а) Умножим первую (рабочую) строку на число противоположное 1-му коэффициенту второй строки матрицы 1, т.е. на , получим

суммируем полученную строку со второй строкой матрицы 1, получим расчетную строку 1.

б) Умножим первую (рабочую) строку на число противоположное 1-му коэффициенту третьей строки матрицы 1, т.е. на получим

суммируем полученную строку с третьей строкой матрицы 1, получим расчетную строку 2.

в) Умножим первую (рабочую) строку на число противоположное 1-му коэффициенту четвертой строки матрицы 1, т.е. на получим

суммируем полученную строку с четвертой строкой матрицы 1, получим расчетную строку 3.

6) Составим новую матрицу (матрица 2). Первой строкой данной матрицы будет первая строка матрицы 1, второй строкой (рабочей) – расчетная строка 1, третьей – строка 2, четвертой – строка 3.

– матрица 2

7) Далее, необходимо привести к нулю вторые коэффициенты строк 3 и 4 матрицы 2, первая строка остается без изменений, рабочей будет вторая строка. Для этого:

а) Найдем число, которое при умножении на второй коэффициент рабочей строки матрицы 2 - , даст число, противоположное (с другим знаком) второму коэффициенту третьей строки - . Для этого найдем отношение: , так как второй коэффициент третьей строки число положительное, полученное число возьмем со знаком минус и умножим на него вторую (рабочую) строку матрицы 2:

суммируем полученную строку с третьей строкой матрицы 2, получим расчетную строку 4:

б) Найдем число, которое при умножении на второй коэффициент рабочей строки матрицы 2 - , даст число, противоположное (с другим знаком) второму коэффициенту четвертой строки - . Для этого найдем отношение: , так как второй коэффициент четвертой строки число положительное, полученное число возьмем со знаком минус и умножим на него вторую (рабочую) строку матрицы 2:

суммируем полученную строку с четвертой строкой матрицы 2, получим расчетную строку 5:

8). Составим новую матрицу – 3. Первые две строки возьмем без изменений из матрицы два, третьей строкой (рабочей) будет расчетная строка 4, четвертой строкой – расчетная строка 5.

– матрица 3

9) Далее необходимо привести к нулю третий коэффициент строки 4. Для этого:

Найдем число, которое при умножении на третий коэффициент рабочей строки матрицы 3 - , даст число, противоположное (с другим знаком) третьему коэффициенту четвертой строки - . Для этого найдем отношение , так как третий коэффициент четвертой строки число положительное, полученное число возьмем со знакам минус и умножим на него третью (рабочую) строку матрицы 3.

суммируем полученную строку с четвертой строкой матрицы 3

10) Составим новую матрицу – 4. Первые три строки возьмем без изменений из матрицы три, а четвертой строкой – расчетная строка 6.

– матрица 4

 

11) Подставим полученные коэффициенты в систему

12) Рассчитаем значение стандартизированных коэффициентов регрессии .

а) Из четвертого уравнения системы рассчитаем :

б) Подставим полученное значения в третье уравнение системы и рассчитаем значение :

в) Подставим значения и во второе уравнения системы и получим значение :

г) Подставим значения , , во второе уравнения системы и получим значение :

13) Зная, что между b -коэффициентами и коэффициентами регрессии в натуральном масштабе существует следующая взаимосвязь:

соответственно

а)

б)

в)

г)

Таким образом, используя метод Гаусса, рассчитали коэффициенты регрессии , параметр найдем по формуле:

14) Подставим рассчитанные параметры в уравнение множественной регрессии:

а) Коэффициент регрессии показывает, что при увеличении фактора - качество пашни на 1 балл, средняя урожайность в среднем возрастет на 0,096083 ц/га., при фиксированном положении остальных факторов.

б) Коэффициент регрессии показывает, что при увеличении фактора - затраты труда на 1 чел.-час./га, средняя урожайность в среднем возрастет на 0,113165 ц/га., при фиксированном положении остальных факторов.

в) Коэффициент регрессии показывает, что при увеличении фактора - внесение минеральных удобрений на 1 ц.д.в./га средняя урожайность в среднем возрастет на 2,243155 ц/га., при фиксированном положении остальных факторов.

г) Коэффициент регрессии показывает, что при увеличении фактора - стоимость ОФ на одну тыс.руб./100га, средняя урожайность в среднем возрастет на 0,15490 ц/га., при фиксированном положении остальных факторов.

15) Проведем прогнозирование средней урожайности на основе полученного уравнения множественной регрессии:

а) Рассчитаем максимально возможную урожайность, для этого по каждому из факторов , в уравнение подставим максимальное значение, если коэффициент регрессии для данного фактора положителен, или минимальное значение, если коэффициент регрессии для данного фактора отрицателен. В данном примере все коэффициенты регрессии положительны, соответственно значения факторов берем максимальные , , , , и подставляем в уравнение.

б) Рассчитаем минимально возможную урожайность, для этого по каждому из факторов , в уравнение подставим минимальное значение, если коэффициент регрессии для данного фактора положителен, или максимальное значение, если коэффициент регрессии для данного фактора отрицателен. В данном примере все коэффициенты регрессии положительны, соответственно значения факторов берем минимальные , , , , и подставляем в уравнение.

в) Рассчитаем среднюю возможную урожайность, для этого по каждому из факторов , в уравнение подставим средние значения , , , .

16) Рассчитаем частные уравнения регрессии

а) Рассчитаем среднюю возможную урожайность при максимальном значении фактора (учитывая знак коэффициента регрессии), и зафиксированных на среднем уровне значении остальных факторов , , .

б) Рассчитаем среднюю возможную урожайность при максимальном значении фактора (учитывая знак коэффициента регрессии), и зафиксированных на среднем уровне значении остальных факторов , , .

в) Рассчитаем среднюю возможную урожайность при максимальном значении фактора (учитывая знак коэффициента регрессии), и зафиксированных на среднем уровне значении остальных факторов , , .

г) Рассчитаем среднюю возможную урожайность при максимальном значении фактора (учитывая знак коэффициента регрессии), и зафиксированных на среднем уровне значении остальных факторов , , .

17) На основе частных уравнений регрессии рассчитаем частные коэффициенты эластичности:

а) При максимальном значении фактора , и зафиксированных на среднем уровне значении остальных факторов , , .

то есть средняя урожайность в среднем возрастет, при подстановке в уравнение регрессии конкретного значения на 0,64%, и зафиксированных на среднем уровне значении остальных факторов.

б) При максимальном значении фактора (учитывая знак коэффициента регрессии), и зафиксированных на среднем уровне значении остальных факторов , , .

то есть средняя урожайность в среднем возрастет, при подстановке в уравнение регрессии конкретного значения на 0,26%, и зафиксированных на среднем уровне значении остальных факторов.

в) При максимальном значении фактора (учитывая знак коэффициента регрессии), и зафиксированных на среднем уровне значении остальных факторов , , .

то есть средняя урожайность в среднем возрастет, при подстановке в уравнение регрессии конкретного значения на 0,28%, и зафиксированных на среднем уровне значении остальных факторов.

г) При максимальном значении фактора (учитывая знак коэффициента регрессии), и зафиксированных на среднем уровне значении остальных факторов , , .

то есть средняя урожайность в среднем возрастет, при подстановке в уравнение регрессии конкретного значения на 0,45%, и зафиксированных на среднем уровне значении остальных факторов.

18) Рассчитаем средние коэффициенты эластичности для каждого фактора:

а) Рассчитаем средний коэффициент эластичности для фактора

то есть средняя урожайность, при увеличении фактора на 1%, в среднем возрастет на 0,57%, при фиксированном положении остальных факторов.

б) Рассчитаем средний коэффициент эластичности для фактора

то есть средняя урожайность, при увеличении фактора на 1%, в среднем возрастет на 0,17%, при фиксированном положении остальных факторов.

в) Рассчитаем средний коэффициент эластичности для фактора

то есть средняя урожайность, при увеличении фактора на 1%, в среднем возрастет на 0,18%, при фиксированном положении остальных факторов.

г) Рассчитаем средний коэффициент эластичности для фактора

то есть средняя урожайность, при увеличении фактора на 1%, в среднем возрастет на 0,31%, при фиксированном положении остальных факторов.

19) Коэффициенты средней эластичности позволяют ранжировать факторы по степени их влияния на результативный признак, для нашего примера:

1. - качество пашни, балов

2. - стоимость ОФ тыс.руб. на 100га

3. - внесение минеральных удобрений на 1га.тыс.руб.

4. - затраты труда, чел.-час.

20) Расчет множественной регрессионной модели в программе Microsoft Excel аналогичен расчету парной регрессии и рассмотрен в примере 1 (вводим входной интервал, выделяя все столбики содержащие факторы ). Для данного примера приведем таблицу, содержащую результаты – рисунок 9.

 

Рисунок 9.

Параметр в данной таблице находится на пересечении столбика «Коэффициенты» и строки «Y-пересечение», параметр - на пересечении столбика «Коэффициенты» и строки «Переменная Х1», - строки «Переменная Х2», - строки «переменная Х3», - строки «Переменная Х4».

Множественная корреляция

Силу связи во множественных моделях изучают с помощью показателя множественной корреляции и его квадрата – показателя множественной детерминации.

Показатель множественной корреляции – показывает тесноту связи между результативным признаком и всеми включенными в модель факторами. Может принимать значения от 0 до 1, то есть в отличие от парной модели не показывает направление связи.

Показатель множественной детерминации - показывает часть вариации результативного признака, которая сложилась под влиянием всех включенных в модель факторов.

В статистике и эконометрике показатель множественной корреляции (детерминации) принято называть индексом или коэффициентом множественной (совокупной) корреляции.

Для линейной множественной функции и для функций нелинейных по переменным (полиномы разных степеней, равносторонняя гипербола и т.п. функции) индекс множественной корреляции совпадает скоэффициентом множественной корреляции.

Коэффициент (индекс) множественной корреляции рассчитывают, используя следующие формулы:

(138)

где:

- остаточная дисперсия (139)

- общая дисперсия для признака (140)

(141)

Коэффициент множественной корреляции можно рассчитать и, как:

(142)

где:

- парные коэффициенты корреляции между результативным признаком и одним из факторов .

Для функций нелинейных по оцениваемым параметрам (степенная, показательная, экспоненциальная и т. п. функции) индекс множественной корреляции не совпадает скоэффициентом множественной корреляции. Его называют «» и определяют как

(143)

Коэффициенты (индексы) множественной детерминации получают, возводя коэффициенты (индексы) корреляции в квадрат, или по формулам.

(144)

(145)

(146)